保險產品設計方案的數學模型

張金戰

(隴南師范高等專科學校，甘肅 成縣 742500)

保險產品設計方案的數學模型

張金戰

(隴南師范高等?？茖W校，甘肅 成縣 742500)

在保證保險公司不盈不虧的前提下，利用等比數列的求和公式，建立了月保險費a，交納年限n，固定工資b，死亡年限m及銀行利率c之間的指數模型。利用已知數據和MathType公式編輯器、Excel等工具軟件給出了在a，n，m，c已知的情況下，b的計算公式及b的值。確定了n和m的關系式，用Excel工具對m，n的值進行了計算，并用Excel作圖工具做出了m與n的關系圖。

指數模型；對數模型；等比數列;復利

1 問題的提出

某保險公司擬設計一個新的保險產品。設計方案的總體思路是：投保人從一出生開始，每月交納固定費用a元，交滿n年(n是正整數)停止繳費，并從下一月開始按月領取固定額度的工資b元,直至投保人死亡。已知銀行月利率為c，一直不變。保險公司只將投保人的繳費及時存入銀行，不進行其它投資。

問題1:假設投保人恰好滿m歲死亡(m為正整數)，保險公司不盈不虧，試建立常數a，b，c，m，n的關系式，并盡量簡化。

問題2:在問題1中，假設a=1000元，n=20年，m=80歲，c=0.25%，求b的值。并寫出所用計算工具及操作步驟。

問題3:在問題1中，假設a=1000元，b=2000元，c=0.25%，求m,n的關系式，并用圖表或表格形象描述m,n的關系。

問題4：要完成本產品的最終設計，需要哪些數據？并探討獲取和加工數據的有效方案。

2 模型的假設及符號說明

為了簡化模型，便于討論和計算，現對模型中的變量和符號進行說明，并做一些合理的的假設，如下所示：

(1)模型的假設

1)投保人交滿n年保險金，并在第m年(m>n，m、n為正整數)死亡，投保人除了按月領取b元固定工資外，保險公司不另行其他賠償；

2)月份按自然月計算，不分大月和小月，也不考慮閏年；

3)保險公司每月將投保人的保險金及時存入銀行；

4)銀行的存款利息按復利計算，即銀行在每月月底結息，并自動滾入下一月，作為下一月的本金；

5)投保人交滿n年保險金后，從n+1年起每月領取固定工資b元。

(2)符號說明

a表示投保人每月交納的保險金(單位：元)；

b表示投保人在交費期滿后每月領取的固定工資(單位：元)；

n表示投保人交納保險金的年限(單位：年)；

m表示投保人死亡的年限(單位：年)；

c表示銀行利率。

3 模型的建立與求解

(1)問題1的解答

1)投保人n年共交納的保險金本利和的計算

我們可以對投保人n年所交費用與銀行所產生的利息的總金額進行分析，具體分析如下：

投保人每月交納固定費用a元，所交總月份為12n，銀行的月利率為c，設到第p個月時，投保人所交保險金的本利和為Ap,(p=1,2，…,12n),則

A1=a

A2=a(1+c)+a

A3=[a(1+c)+a](1+c)+a=a(1+c)2+a(1+c)+a

…

2)投保人交滿n年保險金后，從第n+1年起每個月領取固定工資b元直至投保人第m年死亡，設從投保人繳費期滿領取工資后的第t個月剩余金額為Bt(t=1，2，3，…，12(m-n)),則有

B1=A12n(1+c)-B

B2=[A12n(1+c)-b](1+c)-b=A12n(1+c)2-b(1+c)-b

…

Bt=A12n(1+c)t-b(1+c)t-1+…-b=A12n(1+c)t-b[(1+c)t-1+(1+c)t-2+…+(1+c)+1]

從而有：

所以

要使保險公司不盈不虧，則有投保人滿m歲死亡時剩余金額為0元，即投保人領完第12(m-n)月的工資b元后剩余金額為0元，具體列式如下:

B12(m-n)=0。

即

從而有：

a[(1+c)12n-1](1+c)12(m-n)=b[(1+c)12(m-n)-1]，a(1+c)12n(1+c)12(m-n)-a(1+c)12(m-n)=b(1+c)12(m-n)-b。

即有：

a[(1+c)12m-(1+c)12(m-n)]-b[(1+c)12(m-n)-1]=0

(1)

即假設投保人恰好滿m歲死亡(m>n,m，n均為整數)，保險公司不贏不虧，可建立關于a、b、c、m、n的關系式為:

a[(1+c)12m-(1+c)12(m-n)]-b[(1+c)12(m-n)-1]=0。

(2)問題2的解答

在問題1中，假設a=1000元，n=20年，m=80歲，c=0.25%，欲求b的值。

由問題1中得到的關于a、b、c、m、n的關系式(1)式

a[(1+c)12m-(1+c)12(m-n)]-b[(1+c)12(m-n)-1]=0

可得，

(2)

在Excel中，將c,m,n,a的值分別輸入到單元格A2，B2，C2，D2中，并在E2單元格中將關系式(2)式用公式輸入，其中(1+c)12m和(1+c)12(m-n)利用POWER函數(乘冪函數)，這時在公式欄顯示的公式為：

=((POWER(1+A2,12*B2)-POWER(1+A2,12*(B2-C2)))/(POWER(1+A2,12*(B2-C2))-1))*D2。

表1 利用Excel計算b值

按回車鍵即在單元格E2顯示出計算出的b值，即

b=983.7302(元)。

(3)問題3的解答

在問題1中，假設a=1000元，b=2000元，c=0.25%，求m,n的關系式。

對問題1中得到的關系式(1)進行化簡，有

a[(1+c)12m-(1+c)12(m-n)]=b[(1+c)12(m-n)-1]，

a(1+c)12m-a(1+c)12(m-n)=b(1+c)12(m-n)-b，

(a+b)(1+c)12(m-n)=a(1+c)12m+b。

對兩邊分別取對數，有：

lg(a+b)(1+c)12(m-n)=lg[a(1+c)12m+b]，

lg(a+b)+12(m-n)lg(1+c)=lg[a(1+c)12m+b]，

12(m-n)lg(1+c)=lg[a(1+c)12m+b]-lg(a+b)，

于是得m與n的關系式：

(3)

在Excel中，將m(單位：年)的取值輸入到單元格Ai(i=2,3,…,80,…)中，并將上面得到的關系式(3)式用公式輸入到單元格B2中，其中a=1000,b=2000,c=0.25%。這時在公式欄顯示的公式為：

=A2-(LOG10(1000*(1.0025)^(12*A2)+2000)-LOG10(3000))/(12*LOG10(1.0025))。

利用Excel計算工具計算出與m所對應的n值，再用Excel的作圖功能作出m與n的關系圖，如圖1所示。

(4)問題4的解答

要完成該保險產品的最終設計，需要確定出投保人月交納費用a，交納年限n,交費期滿后保險公司按約定應付給投保人的保險工資b，銀行利率c是相對確定的，投保人領取保險工資的年限m在進行產品設計時也是應當考慮的重要因素。

a,b,n,m的值是相互制約的，從投保人的角度來看，a值和n值越小越好，但a值小就意味著將來的保險工資b值低，投保人不劃算；a值和n值過高，雖然保險工資b值會相應提高，但投保人在經濟上難以承受。從保險公司的角度看，當然希望a,n的值高一些，b值低一些，但這又是投保人所不能接受的。因此，確定a,b,n,m的值需要綜合考慮。

①a值的確定

a值就是投保人每月向保險公司應交納的費用。要確定合理的a值，需要考慮一定范圍內投保人的收入情況、投保人的參保意識、投保人的保險收益以及保險公司的收益等多種因素，其中收入情況是需要參考的重要因素。另外還需考慮保險費用a占收入的百分比。

②n值的確定

n值就是投保人向保險公司交納費用的年限。由問題3中得到的n,m之間的關系式，n的值一般依賴于a,b,m,c的取值，在確定了a,b的條件下可以設置合理的n值。

③b值的確定

b值就是保險公司向投保人每月應返還的保險工資。b值同樣依賴于a，n,m的值。在a，n一定的條件下，m越大，b值應越小。

④m值的確定

m實際上就是投保人的壽命。確定m值最簡單的方法就是考慮人們的平均壽命，把它作為m的一個參考值。

在具體進行保險產品設計時，一般應先確定一個合理的a值，再確定一個預期的m值，然后可以根據問題1中得到的a,b,n,m,c的關系式，利用Excel工具或Mathcad軟件進行計算，由此確定b和n的值。

4 對模型的分析

保險產品的設計是一個比較復雜的系統工程，與經濟發展水平、人們的消費觀念、保險意識、投保人的預期以及保險公司的利益相聯系，需要綜合考慮。本模型僅是在不考慮其它例外情況的條件下，只保證保險公司不盈不虧時得到的a,b,n,m,c的關系式，并利用Excel工具得到了m與n之間的關系圖(見圖1)。該模型對保險公司設計保險產品具有一定的參考作用。但其缺陷是所考慮的情形比較簡單，因素較單一，因而不能完全地反映社會對保險業的需求，需要可根據一定的限制條件對模型進行相應地改進。

[1] 楊啟帆,康旭升,趙雅囡.數學模型[M].北京:高等教育出版社,2005.

[2] 楊啟帆,李浙寧,等.數學建模案例集[M].北京:高等教育出版社,2006.

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[4] 宋金珂,孫壯,許小重,等.計算機應用基礎[M].北京:中國鐵道出版社,2005.

[5] 劉玉璉,傅沛仁,等.數學分析[M].北京:高等教育出版社,2003.

The Mathematical Model of Insurance Product Design

ZHANGJin-zhan

(LongnanTeachersCollege,Chengxian742500,China)

Under the premise that the insurance company does not break, using the summation formula of geometric progression, the exponential model is established between monthly premium(a), payment term(n), fixed salary(b), age of death(m) and bank rate(c). Using known data and MathType formula editor, Excel, etc, under the condition that a, n, m and c are informed and b's calculation formula and value, try to determine the relationship between N and M, and the value of M and N is calculated by using the Excel tool.

index model; logarithm model; geometric sequence; compound interest

2016-10-28

張金戰(1965-)，男，教育碩士，隴南師范高等專科學校副教授，研究方向：基礎數學教學。

O143

A

1674-3229(2017)01-0089-03