保險(xiǎn)產(chǎn)品設(shè)計(jì)方案的數(shù)學(xué)模型

張金戰(zhàn)

(隴南師范高等?？茖W(xué)校，甘肅 成縣 742500)

保險(xiǎn)產(chǎn)品設(shè)計(jì)方案的數(shù)學(xué)模型

張金戰(zhàn)

(隴南師范高等?？茖W(xué)校，甘肅 成縣 742500)

在保證保險(xiǎn)公司不盈不虧的前提下，利用等比數(shù)列的求和公式，建立了月保險(xiǎn)費(fèi)a，交納年限n，固定工資b，死亡年限m及銀行利率c之間的指數(shù)模型。利用已知數(shù)據(jù)和MathType公式編輯器、Excel等工具軟件給出了在a，n，m，c已知的情況下，b的計(jì)算公式及b的值。確定了n和m的關(guān)系式，用Excel工具對m，n的值進(jìn)行了計(jì)算，并用Excel作圖工具做出了m與n的關(guān)系圖。

指數(shù)模型；對數(shù)模型；等比數(shù)列;復(fù)利

1 問題的提出

某保險(xiǎn)公司擬設(shè)計(jì)一個(gè)新的保險(xiǎn)產(chǎn)品。設(shè)計(jì)方案的總體思路是：投保人從一出生開始，每月交納固定費(fèi)用a元，交滿n年(n是正整數(shù))停止繳費(fèi)，并從下一月開始按月領(lǐng)取固定額度的工資b元,直至投保人死亡。已知銀行月利率為c，一直不變。保險(xiǎn)公司只將投保人的繳費(fèi)及時(shí)存入銀行，不進(jìn)行其它投資。

問題1:假設(shè)投保人恰好滿m歲死亡(m為正整數(shù))，保險(xiǎn)公司不盈不虧，試建立常數(shù)a，b，c，m，n的關(guān)系式，并盡量簡化。

問題2:在問題1中，假設(shè)a=1000元，n=20年，m=80歲，c=0.25%，求b的值。并寫出所用計(jì)算工具及操作步驟。

問題3:在問題1中，假設(shè)a=1000元，b=2000元，c=0.25%，求m,n的關(guān)系式，并用圖表或表格形象描述m,n的關(guān)系。

問題4：要完成本產(chǎn)品的最終設(shè)計(jì)，需要哪些數(shù)據(jù)？并探討獲取和加工數(shù)據(jù)的有效方案。

2 模型的假設(shè)及符號說明

為了簡化模型，便于討論和計(jì)算，現(xiàn)對模型中的變量和符號進(jìn)行說明，并做一些合理的的假設(shè)，如下所示：

(1)模型的假設(shè)

1)投保人交滿n年保險(xiǎn)金，并在第m年(m>n，m、n為正整數(shù))死亡，投保人除了按月領(lǐng)取b元固定工資外，保險(xiǎn)公司不另行其他賠償；

2)月份按自然月計(jì)算，不分大月和小月，也不考慮閏年；

3)保險(xiǎn)公司每月將投保人的保險(xiǎn)金及時(shí)存入銀行；

4)銀行的存款利息按復(fù)利計(jì)算，即銀行在每月月底結(jié)息，并自動(dòng)滾入下一月，作為下一月的本金；

5)投保人交滿n年保險(xiǎn)金后，從n+1年起每月領(lǐng)取固定工資b元。

(2)符號說明

a表示投保人每月交納的保險(xiǎn)金(單位：元)；

b表示投保人在交費(fèi)期滿后每月領(lǐng)取的固定工資(單位：元)；

n表示投保人交納保險(xiǎn)金的年限(單位：年)；

m表示投保人死亡的年限(單位：年)；

c表示銀行利率。

3 模型的建立與求解

(1)問題1的解答

1)投保人n年共交納的保險(xiǎn)金本利和的計(jì)算

我們可以對投保人n年所交費(fèi)用與銀行所產(chǎn)生的利息的總金額進(jìn)行分析，具體分析如下：

投保人每月交納固定費(fèi)用a元，所交總月份為12n，銀行的月利率為c，設(shè)到第p個(gè)月時(shí)，投保人所交保險(xiǎn)金的本利和為Ap,(p=1,2，…,12n),則

A1=a

A2=a(1+c)+a

A3=[a(1+c)+a](1+c)+a=a(1+c)2+a(1+c)+a

…

2)投保人交滿n年保險(xiǎn)金后，從第n+1年起每個(gè)月領(lǐng)取固定工資b元直至投保人第m年死亡，設(shè)從投保人繳費(fèi)期滿領(lǐng)取工資后的第t個(gè)月剩余金額為Bt(t=1，2，3，…，12(m-n)),則有

B1=A12n(1+c)-B

B2=[A12n(1+c)-b](1+c)-b=A12n(1+c)2-b(1+c)-b

…

Bt=A12n(1+c)t-b(1+c)t-1+…-b=A12n(1+c)t-b[(1+c)t-1+(1+c)t-2+…+(1+c)+1]

從而有：

所以

要使保險(xiǎn)公司不盈不虧，則有投保人滿m歲死亡時(shí)剩余金額為0元，即投保人領(lǐng)完第12(m-n)月的工資b元后剩余金額為0元，具體列式如下:

B12(m-n)=0。

即

從而有：

a[(1+c)12n-1](1+c)12(m-n)=b[(1+c)12(m-n)-1]，a(1+c)12n(1+c)12(m-n)-a(1+c)12(m-n)=b(1+c)12(m-n)-b。

即有：

a[(1+c)12m-(1+c)12(m-n)]-b[(1+c)12(m-n)-1]=0

(1)

即假設(shè)投保人恰好滿m歲死亡(m>n,m，n均為整數(shù))，保險(xiǎn)公司不贏不虧，可建立關(guān)于a、b、c、m、n的關(guān)系式為:

a[(1+c)12m-(1+c)12(m-n)]-b[(1+c)12(m-n)-1]=0。

(2)問題2的解答

在問題1中，假設(shè)a=1000元，n=20年，m=80歲，c=0.25%，欲求b的值。

由問題1中得到的關(guān)于a、b、c、m、n的關(guān)系式(1)式

a[(1+c)12m-(1+c)12(m-n)]-b[(1+c)12(m-n)-1]=0

可得，

(2)

在Excel中，將c,m,n,a的值分別輸入到單元格A2，B2，C2，D2中，并在E2單元格中將關(guān)系式(2)式用公式輸入，其中(1+c)12m和(1+c)12(m-n)利用POWER函數(shù)(乘冪函數(shù))，這時(shí)在公式欄顯示的公式為：

=((POWER(1+A2,12*B2)-POWER(1+A2,12*(B2-C2)))/(POWER(1+A2,12*(B2-C2))-1))*D2。

表1 利用Excel計(jì)算b值

按回車鍵即在單元格E2顯示出計(jì)算出的b值，即

b=983.7302(元)。

(3)問題3的解答

在問題1中，假設(shè)a=1000元，b=2000元，c=0.25%，求m,n的關(guān)系式。

對問題1中得到的關(guān)系式(1)進(jìn)行化簡，有

a[(1+c)12m-(1+c)12(m-n)]=b[(1+c)12(m-n)-1]，

a(1+c)12m-a(1+c)12(m-n)=b(1+c)12(m-n)-b，

(a+b)(1+c)12(m-n)=a(1+c)12m+b。

對兩邊分別取對數(shù)，有：

lg(a+b)(1+c)12(m-n)=lg[a(1+c)12m+b]，

lg(a+b)+12(m-n)lg(1+c)=lg[a(1+c)12m+b]，

12(m-n)lg(1+c)=lg[a(1+c)12m+b]-lg(a+b)，

于是得m與n的關(guān)系式：

(3)

在Excel中，將m(單位：年)的取值輸入到單元格Ai(i=2,3,…,80,…)中，并將上面得到的關(guān)系式(3)式用公式輸入到單元格B2中，其中a=1000,b=2000,c=0.25%。這時(shí)在公式欄顯示的公式為：

=A2-(LOG10(1000*(1.0025)^(12*A2)+2000)-LOG10(3000))/(12*LOG10(1.0025))。

利用Excel計(jì)算工具計(jì)算出與m所對應(yīng)的n值，再用Excel的作圖功能作出m與n的關(guān)系圖，如圖1所示。

(4)問題4的解答

要完成該保險(xiǎn)產(chǎn)品的最終設(shè)計(jì)，需要確定出投保人月交納費(fèi)用a，交納年限n,交費(fèi)期滿后保險(xiǎn)公司按約定應(yīng)付給投保人的保險(xiǎn)工資b，銀行利率c是相對確定的，投保人領(lǐng)取保險(xiǎn)工資的年限m在進(jìn)行產(chǎn)品設(shè)計(jì)時(shí)也是應(yīng)當(dāng)考慮的重要因素。

a,b,n,m的值是相互制約的，從投保人的角度來看，a值和n值越小越好，但a值小就意味著將來的保險(xiǎn)工資b值低，投保人不劃算；a值和n值過高，雖然保險(xiǎn)工資b值會(huì)相應(yīng)提高，但投保人在經(jīng)濟(jì)上難以承受。從保險(xiǎn)公司的角度看，當(dāng)然希望a,n的值高一些，b值低一些，但這又是投保人所不能接受的。因此，確定a,b,n,m的值需要綜合考慮。

①a值的確定

a值就是投保人每月向保險(xiǎn)公司應(yīng)交納的費(fèi)用。要確定合理的a值，需要考慮一定范圍內(nèi)投保人的收入情況、投保人的參保意識、投保人的保險(xiǎn)收益以及保險(xiǎn)公司的收益等多種因素，其中收入情況是需要參考的重要因素。另外還需考慮保險(xiǎn)費(fèi)用a占收入的百分比。

②n值的確定

n值就是投保人向保險(xiǎn)公司交納費(fèi)用的年限。由問題3中得到的n,m之間的關(guān)系式，n的值一般依賴于a,b,m,c的取值，在確定了a,b的條件下可以設(shè)置合理的n值。

③b值的確定

b值就是保險(xiǎn)公司向投保人每月應(yīng)返還的保險(xiǎn)工資。b值同樣依賴于a，n,m的值。在a，n一定的條件下，m越大，b值應(yīng)越小。

④m值的確定

m實(shí)際上就是投保人的壽命。確定m值最簡單的方法就是考慮人們的平均壽命，把它作為m的一個(gè)參考值。

在具體進(jìn)行保險(xiǎn)產(chǎn)品設(shè)計(jì)時(shí)，一般應(yīng)先確定一個(gè)合理的a值，再確定一個(gè)預(yù)期的m值，然后可以根據(jù)問題1中得到的a,b,n,m,c的關(guān)系式，利用Excel工具或Mathcad軟件進(jìn)行計(jì)算，由此確定b和n的值。

4 對模型的分析

保險(xiǎn)產(chǎn)品的設(shè)計(jì)是一個(gè)比較復(fù)雜的系統(tǒng)工程，與經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平、人們的消費(fèi)觀念、保險(xiǎn)意識、投保人的預(yù)期以及保險(xiǎn)公司的利益相聯(lián)系，需要綜合考慮。本模型僅是在不考慮其它例外情況的條件下，只保證保險(xiǎn)公司不盈不虧時(shí)得到的a,b,n,m,c的關(guān)系式，并利用Excel工具得到了m與n之間的關(guān)系圖(見圖1)。該模型對保險(xiǎn)公司設(shè)計(jì)保險(xiǎn)產(chǎn)品具有一定的參考作用。但其缺陷是所考慮的情形比較簡單，因素較單一，因而不能完全地反映社會(huì)對保險(xiǎn)業(yè)的需求，需要可根據(jù)一定的限制條件對模型進(jìn)行相應(yīng)地改進(jìn)。

[1] 楊啟帆,康旭升,趙雅囡.數(shù)學(xué)模型[M].北京:高等教育出版社,2005.

[2] 楊啟帆,李浙寧,等.數(shù)學(xué)建模案例集[M].北京:高等教育出版社,2006.

[3] 趙靜,但琦.數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)[M].北京:高等教育出版社,2003.

[4] 宋金珂,孫壯,許小重,等.計(jì)算機(jī)應(yīng)用基礎(chǔ)[M].北京:中國鐵道出版社,2005.

[5] 劉玉璉,傅沛仁,等.數(shù)學(xué)分析[M].北京:高等教育出版社,2003.

The Mathematical Model of Insurance Product Design

ZHANGJin-zhan

(LongnanTeachersCollege,Chengxian742500,China)

Under the premise that the insurance company does not break, using the summation formula of geometric progression, the exponential model is established between monthly premium(a), payment term(n), fixed salary(b), age of death(m) and bank rate(c). Using known data and MathType formula editor, Excel, etc, under the condition that a, n, m and c are informed and b's calculation formula and value, try to determine the relationship between N and M, and the value of M and N is calculated by using the Excel tool.

index model; logarithm model; geometric sequence; compound interest

2016-10-28

張金戰(zhàn)(1965-)，男，教育碩士，隴南師范高等專科學(xué)校副教授，研究方向：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教學(xué)。

O143

A

1674-3229(2017)01-0089-03