中考數學應用類問題研究

江蘇省常熟市孝友中學(215500) 陳 進 ●

中考數學應用類問題研究

江蘇省常熟市孝友中學(215500) 陳 進 ●

數學應用類問題是中考數學的重要考點，對本市中考數學中的應用問題進行研究，對提高學生的中考成績具有重要的意義．文中對常見的中考數學應用類問題進行了分類匯總，并對某些種類的問題的解決方法做了簡要的說明，最后結合教學實踐經驗對學生的數學應用類問題的學習做了概述．

中考數學;應用類;問題研究

隨著新課程改革的實施，對學生知識運用能力的考查成為了重點，雖然很多學校已經注意到這方面的問題，但是數學應用類問題的解決還存在較大的問題．從教材和課后練習題的整體編排上來看，多數習題均是以情景為背景的純數學問題，與中考中出現的貼近學生實際生活的問題有一定的差距，需要教師能夠結合考試要求獨立地進行數學應用問題的編排設計．研究中考數學應用問題的分類，提高教師數學應用問題的編排能力，對于提高學生的數學知識的應用能力具有重要的現實意義．

一、中考數學應用問題分類

根據數學問題引入實際生活中的程度可以分為仿真應用題和全真應用題，其中仿真應用題主要是指以學生的實際生活為背景，但是學生又不經常接觸到的問題為背景，通過教師改造來設計的數學問題．例如:住在小河上游的居民A發現處在小河下游的同側居民B家著火，居民A拿起水桶去河中打水，之后快速趕往B家救火，請同學們替居民A規劃出最佳的行動路線．全真應用題是指學生生活中的現實場景，沒有經過任何的修飾和改造的數學問題．例如:國慶節來臨之際，超市舉行大型的“買滿贈”活動，超市購物滿300送100購物卷，滿500送260元購物卷，超500元送260元現金，其中購物卷所抵扣的錢數不再結算的金額內，小明在超市看中一個襯衣、一件大衣和一個夾克，售價分別是120、500和320，問小明選擇哪種方案最劃算?

二、數學模型的建立種類

數學建立模型的過程就是將實際問題向純數學化問題過渡的過程，從整體上來看主要分為以下幾個方面:第一，直接套用相應的公式來解決問題．第二，通過以給定的條件進行定性和定量分析后來解決問題．第三，剔除干擾信息，分析主要矛盾，通過信息加工再進一步數學化．第四，根據已知條件建立數學模型，再對所得數學模型進行求解．

1．方程模型

對于解決存在較多等量關系的數學問題時可以通過方程模型來解決，例如比較常見的儲蓄利率問題、施工問題等．例:2014年蘇州中考數學第16題，某地準備對一段長為120米的河道進行疏通，如果甲工程隊先單獨干4天，剩余的由乙工程隊單獨干需要9天;如果甲工程隊先單獨干8天，剩余的由乙工程隊單獨干需要3天，設甲工程隊每天平均疏通河道x米，乙工程隊每天平均疏通河道y米，那么(x+y)的值是多少?對于這類問題可以通過:分析問題——建立模型——求解模型——分析驗證——解答，五個步驟來完成．

2．函數模型

函數關系廣泛存在于日常生活中，它反映了事物之間存在的廣泛聯系．對于這一類的問題可以通過建立直角坐標系，通過直觀圖形等方式來解決，常見的問題有工程計劃決策、最小成本、最佳方案等．例如:2012年蘇州中考數學第26題，已知斜坡AB長60米，坡角為30°，BC⊥AC．現計劃在斜坡中點D處挖去部分坡體(用陰影表示)修建一個平行于水平線CA的平臺 DE和一條新的斜坡BE．(1)若修建的斜坡BE的坡角(即∠BEF)不大于45°，則平臺DE的長最多為多少米?

3．三角模型

三角形不論是在幾何還是代數部分都具有較強的應用性，我們可以通過三角模型來解決航海、天文、測量等方面的問題．例如:2012年蘇州中考數學第26題，在一筆直的海岸線l上有A、B兩個觀測站，A在B的正東方向，AB=2(單位:km)．有一艘小船在點P處，從A測得小船在北偏西60°的方向，從B測得小船在北偏東45°的方向．(1)求點P到海岸線l的距離．對于這道題主要考查學生方向角的問題，它是以實際問題為背景的三角形應用問題．解答此類問題需要通過圖形找出代數關系，最后通過方程來解答．就此題而言，可以先通過P點作出到海岸線的垂線PD，并將PD的距離表示為x，將BD和AD的距離分別用x表示出來，最后通過AB=BD+AD的關系，列出方程求解．

4．統計模型

統計類問題也是中考數學中常見的問題，對于這類問題學生要學會如何收集數據和分析數據，能夠把握樣本的統計思想．例如:2016年蘇州中考數學第23題，在一個不透明的布袋中裝有三個小球，小球上分別標有數字1、0、2，它們除了數字不同以外，其他的都相同．隨機地從布袋中摸出一個小球，則摸出的球為標有數字2的小球的概率為___．

三、中考數學應用類問題的應對

1．準確把握已知條件

對于數學應用類問題首先要做的就是理解題意，要搞清楚題目中的已知條件，搞清楚相關數據的用途．尤其是在以大量的生活化語言為載體的應用類問題，學生要具備能夠將生活化語言轉化成數學語言的能力，這樣才能夠從繁瑣的語言表述中找出引發結論的條件．例如:隨著人們出行數量的增加，本市火車站壓力明顯增加，為了滿足人們出行的需求，現將火車站作進一步的擴展工程，該項工程如果由甲隊來完成所用的時間比乙隊單獨完成所需要的時間多5個月，并且兩隊單獨完成該工程需要的時間的乘積等于兩隊單獨完成該工程所需時間之和的6倍，問:兩個工程隊各需要多長時間能夠完成該工程?如果甲隊的施工開支為每月100萬，乙隊的施工開支每月比甲隊多50萬，為了縮短工期讓兩支隊伍一起開工．完成工程中，甲隊的工作時間是乙隊的2倍，問甲隊最多施工多久才能夠保證工程款不超過1500萬?對于這個問題，第一問較為明顯，但是第二問表述相對較為繁瑣，學生就需要把握題目中的關鍵信息，尋找其中的等量關系來列出方程和不等式．

2．提煉正確的解題方法

對于數學應用類問題都會有與之相對應的解題方法，通過對題意的理解尋找正確的解題方法是快速解題的關鍵．通常情況下，應用類問題的解題方法主要包括數形結合、化歸與轉化、類比、分類、換元和配方等方法．一般情況下，對于數與代數、圖形與幾何、統計與概率等問題可以采用數形結合的方法來解決．另外，數學模型也是中考數學重要的解題方法之一，其本質就是通過題目的條件抽取出一次函數和二次函數模型，其大體步驟分為:首先根據題目條件概括出數學模型，之后對數學模型進行推理演算求出數學模型的解，最后將數學模型得出的結果套用到應用類問題中，得出實際的答案．從整體教學的角度來看，還要教授學生如何發現題目中的數學思想，例如:在學習方程部分的相關知識時，可以引導學生完成從特殊到一般的概括，引導學生有目的地層層遞進地發掘問題的本質，要教育學生從學習知識到發掘數學思想逐步過渡，形成思想和知識并重的學習方式．

3．重視試題的反思與檢驗

數學應用問題對學生的邏輯思維能力要求較高，重視試題的反思與檢驗能夠促進學生養成嚴謹的思維，提高數學應用題的解題能力．在平時的練習中，做完數學題后要及時地反思和檢驗，尤其是對解題結果的檢驗能夠幫助學生發現自己錯誤的根源，并做好反思工作，對于同一類問題做到觸類旁通．另外，教師平時的教學中還要教育學生注重對生活中遇見的一些事情進行生活經驗的積累，通過加強生活與書本知識之間的聯系增強學生學習的積極性和自信心．

［1］梅俊雷．數學試題中的數學化原則［J］．數學教育學報，2014(10)

［2］景敏，陳麗敏，王瑾．2013年中考數學試題分類解析－－圖形與幾何［J］．中考指南，2014(1－2)

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