構建有效思維 感悟數學思想
——對三則“反比例函數的圖象和性質”教學片斷的評析與思考

江蘇省蘇州高新區實驗初級中學(215000) 李樹平 ●

構建有效思維 感悟數學思想
——對三則“反比例函數的圖象和性質”教學片斷的評析與思考

江蘇省蘇州高新區實驗初級中學(215000) 李樹平 ●

按照《課程標準》的要求，“讓學生獲得適應末來生存與發展所必需的數學思想”是一個重要的課程目標．那么，如何在教學過程中能夠做到這一點，自然成為數學教學研究的一個重要問題．

筆者2015年4月16日參加了蘇州高新區八年級教改組的活動，本次活動是以“反比例函數的圖象和性質”為題，由蘇州高新區通安中學兩位老師各上了一堂現場研究課．這節課內容看似簡單，但卻蘊含著豐富的數學思想方法．在評課環節，大家對課堂教學的得失進行了客觀的分析，其中很多老師都提到如何構建有效教學活動，讓學生自然感悟本節內容中所蘊含的數學思想方法．本文選取三則教學片斷進行回顧與評析，與同仁一起探究數學思想方法的教學．

一、三則“反比例函數的圖象和性質”教學片斷回顧與評析

片斷一:課堂引入環節

教師:在研究分式的時候，我們是先從分數的概念、性質、運算法則來類比學習的，今天我們研究反比例函數的圖象和性質，誰來說說你準備從哪些知識入手進行類比學習?

(學生一臉茫然，經教師多次引導終于說出了正比例函數．)

教師:正比例函數的圖象是什么?性質有哪些?

(學生回答了正比例函數的圖象和性質)

教師:今天我們就類比正比例函數的圖象與性質來學習反比例函數的圖象和性質．

評析 奧蘇伯爾提出:在呈現具體內容之前，先呈現一些密切相關的、包容范圍廣但又非常容易使人理解和記憶的引導性材料——先行組織者．在提供學習材料之前，可向先學習者提供一個研究問題的線索及方法，有利于學習者從整體上把握研究問題的方向．在片斷1中，教者試圖告訴學生用類比正比例函數的圖象和性質的思想來學習反比例函數的圖象和性質，這樣的教學也體現了類比的思想，但立意似乎低了些，沒有讓學生真正體會到研究函數圖象和性質的思想方法，感覺是教者自己貼上了類比的思想方法的標簽．

筆者認為:在給出學習課題后，可以先給學生這樣的先行組織者:在研究反比例函數圖象之前我們學習過哪些函數?當時研究了關于這些函數的哪些問題?通過什么方法研究的?通過這樣的問題，既可以讓學生回顧一次函數的圖象與性質，也讓學生明確了之前研究了關于一次函數的哪些方面(定義、圖象、性質及應用)的問題，是通過什么方法研究的．這樣從整體上概括研究的內容和方法，讓學生在學習之前做到心中有數，心中有法，不僅有利于學生領悟數學思想方法，也有助于培養學生創新意識和實踐能力．

片斷二:反比例函數性質探索環節

學生1:它們的圖象都分布在一、三象限．

學生2:通過觀察圖象可發現隨著x值的增大，y的值越來越?。?/p>

教師:你能從解析式和圖象兩個方面來說明嗎?

學生1:解析式中的k為正數時，說明圖象上每個點的橫縱坐標同號，這樣的點在第一或第三象限．

學生2:通過觀察畫圖象所列表格發現，隨著x值的增大，y的值在減?。?/p>

教師:那你能歸納你的發現嗎?

學生2:當k＞0時，y隨x的增大而減?。?/p>

學生3:不對，當x=－1時，y=－6，當x=1時，y=6，隨著x值的增大，y的值在增大．

教師:這又是怎么一回事呢?

(學生疑惑不解)

教師:學生2說的結論有成立的條件嗎?

學生4:我發現在第一象限和第三象限都是成立的，對整個圖象就不成立了．

教師:觀察真仔細，所以在描述反比例函數圖象性質時應強調在每個象限內．誰來重新歸納一下反比例函數圖象的性質?

……

教師:剛才在發現反比例函數圖象的性質時用了什么樣的數學思想方法?

學生5:數形結合．

評析 函數圖象和性質，本身就是“數”與“形”的統一體．通過對函數圖象的分析與研究，除了關注函數的性質的知識目標，更要關注研究過程中體現的數形結合等數學思想方法．在這個教學環節中，教師引導學生先觀察函數解析式中兩變量的取值特點，及畫圖象過程中所列表格中兩變量的變化規律，再到函數性質的探究、歸納，充分體現了由“數”到“形”，再由“形”到“數”的相互轉化的過程．這種從函數的解析式、表格、圖象、性質相互間關聯入手的研究方法，使數學結合思想無聲地滲透到學習過程中，也體現了相互之間的轉化對研究問題的特殊作用，是轉化思想的具體應用，教學效果較好．

片斷三:反比例函數性質的應用環節

例 點(－4，y1)、(－1，y2)、(1，y3)在反比例函數y的圖象上，比較y、y、y的大?。?23

教師:你能求y1、y2、y3的值并比較大小嗎?

學生1:y1、y2、y3的值分別為1、4、－4．所以y3＜y1＜y2．

教師:這里采用代入求函數值，再進行比較大小的方法，這樣的結果很可靠，但如果所給的自變量的數值較大，顯然我們再用代入法去求值就會加大運算量．大家看看還有沒有其他的辦法比較大小?

學生2:我覺得可以利用剛學習的反比例函數的增減性來比較大?。?/p>

∴ y隨x的增大而增大．

又∵ －4＜ －1＜1，∴ y1＜y2＜y3．

但為什么結果跟剛才不同呢?

(學生一時感到很迷茫，小聲討論，但還是找不出問題的癥結所在．)

教師:在圖象上描出這三個點的大致位置，仔細觀察，找到問題的答案!

(學生畫出各點的位置，并展開了討論．)

學生3:三個點在兩支不同的曲線上，分布在不同的象限內，而反比例函數的增減性描述的是同一象限內的變化規律．

教師:反比例函數圖象是不連續的兩支曲線，當我們研究它的增減性時，必須考慮所給的點是否分布在同一象限內．如果拋開圖象來直接進行比較就顯得復雜抽象，而借助圖象描出各點的位置，就可以直觀地比較出函數的大小關系．

評析 片斷3的教學過程彰顯了教者的教學智慧．關于函數值的大小比較，學生并不陌生，在八年級一次函數的學習中已積累了處理問題的經驗．由于一次函數圖象是連續的，關于它的函數值的大小比較可以直接利用增減性比較，或通過求值比較．學生在這樣的已有知識經驗基礎上，對于本例中的問題，自然想到直接代入求值比較或借助增減性比較．這恰是反比例函數性質與一次函數性質的關鍵不同之處．教師并沒有急于給出方法指導，而是讓學生自己充分嘗試，發現不同的結果，讓學生產生思維沖突，激發了求知欲，再通過巧妙設問，點撥學生畫出圖象，描出點的大致位置，學生從抽象思考的迷茫到對直觀的圖象的明了，豁然開朗，也加深理解了反比例函數在不同象限內分別描述增減性的內涵．這種把抽象問題通過直觀圖象來研究的過程，使學生進一步感悟了數形結合的思想方法．

二、對滲透數學思想方法的教學的思考與感悟

數學思想方法是數學知識的靈魂，是對數學知識內容的本質認識，是對所使用的方法和規律的理性認識，如此理性的認識必然隱性地存在于一定的載體中，因此，將問題解決轉化為思維建構是衍生數學思想方法的有效路徑，讓學生在對比、探索及內化中感悟數學思想方法，從而讓看不見的數學思想方法漸次模仿、內化及運用，在有效思維構建活動中自覺地改變個體思維的方法，感悟數學思想方法．

1．在比對與模仿中感悟數學思想方法

認知心理學研究表明，數學思想方法要注意屏蔽“功能固著”，即通過具有不同的問題情境，把那些在解題思想方法上具有相似或相關的問題串聯起來，在變化中求不變，感悟數學思想方法的本質．例如:本課例中學習反比例函數的圖象與性質可類比一次函數的圖象與性質，一方面是對一次函數圖象與性質的復習，另一方面也讓學生從整體上明確研究函數圖象和性質的的基本套路，明確通過什么方法研究，通常研究哪些方面的問題，這對學生終身學習及終身的發展都有很大幫助．通過對不同類型函數的研究，逐步理解函數的內涵，學生對函數內涵的逐步理解提高的過程，也可以說是一個漸進的比對與模仿的過程．

2．在自主探索與合作交流中感悟數學思想方法

《課程標準》指出:“數學思想蘊涵在數學知識的發生、發展及應用過程中，是數學知識與方法在更高層次上的抽象與概括，學生在參與數學活動中的過程中，通過自主探索、合作交流，逐步感悟數學思想．”因此，數學思想方法重在悟，悟就需要過程，一個循序漸進、逐步逼近思想本質的過程．例如本課例片斷2中教學設計，通過啟發式教學，意在讓學生親身經歷觀察、實驗、猜想、歸納的過程，通過巧妙設問，引導學生由“解析式”、“表格”到“圖象”，再到“性質”，將數的刻畫和形的表達兩者緊密聯系起來，在一次次由數到形、由形到數的思維活動中，讓學生運用觀察、猜測、歸納、表達等多種方式，充分感受數學問題研究中數與形兩種方法之間相輔相成．

3．在內化與運用中感悟數學思想方法

數學思想離不開具體的數學內容，只有對數學內容進行深入的思考，才能逐步感悟其中蘊涵的數學思想．而一種數學思想方法的形成往往需要在不同的問題背景中經歷提煉、理解、應用等循環過程，讓學生切實參與，才能漸次領悟．鑒于此，運用新知識解決問題，恰好能讓學生感悟的數學思想方法得到有效的順應，讓數學思想方法由淺層面的認識漸次走向深刻的理解，真正得以內化．例如本課例片斷3中例題的教學設計，學生在已有的知識經驗支持下，通過代入計算比較大小和利用增減性進行函數值的大小比較進一步強化反比例函數與一次函數性質的關鍵不同之處．在教師畫出圖象的點撥下，學生豁然開朗，讓學生在解決問題過程中內化了數形結合的數學思想方法，并形成了一定的運用思想方法的意識．

［1］馬復，凌曉牧．新版課程標準解析與教學指導［M］．北京:北京師范大學出版社．

［2］馬敏．讓學生在思維建構中“默會”數學思想方法［J］．中學數學教學參考:中旬，2013(12):14－16

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1008－0333(2017)02－0040－02