基于單元知識結構的數學學習心理探微

摘要：基于單元知識結構的教學設計，要求教師在確立單元知識結構后建構學習心理過程，然后以它們為基礎進行教學設計，讓教學更貼近學生。為了展現小學數學學習心理過程建構的方式，以蘇教版小學數學四年級下冊第一單元《平移、旋轉和軸對稱》為例，從“已知—新知—未知”“整體—部分—整體”“類合—架構—模塊”“范例—運用—綜合”四個維度略作闡述。

關鍵詞：單元教學學習心理整體類合圖形的運動

學生的學習心理是教師課堂教學必須關注的一個方面，尤其是在新課程倡導“以學生為主體”“以人為本”的教育理念的大背景下。因此，徐文彬教授提出基于單元知識結構的教學設計時，要求教師在確立單元知識結構后建構學習心理過程，然后以它們為基礎進行教學設計，讓教學更貼近學生。一方面，知識結構是客觀而靜態的存在，它獨立于學生的學習，不等同于作用于它的心理過程；而另一方面，心理過程是主觀而動態的存在，它依附于學習的對象，不能脫離被它作用的知識結構。

為了展現小學數學學習心理過程建構的方式，筆者以蘇教版小學數學四年級下冊第一單元《平移、旋轉和軸對稱》為例，從“已知—新知—未知”“整體—部分—整體”“類合—概括—模塊”“范例—運用—綜合”四個維度略作闡述。

一、從“已知”到“新知”再到“未知”

傳統認識論認為，學生是“一塊白板”，因此教學就是向學生灌輸知識。而“發生認識論”的誕生使人們對學生學習的看法從根本上發生改變：學生在進入課堂之前不是“一片空白”，而會帶著具有個體性的已有知識，這種已有知識是影響學生學習的重要因素。皮亞杰指出，兒童的發展是通過同化與順應兩個彼此聯系的主要過程，不斷引起圖式的形成與變化。這個過程實際上就是已有知識與新知的相互聯系。一方面，已有知識為理解新知提供了起點，即學生總是會基于已有知識形成對新知的初步定位；另一方面，隨著學習的不斷深入，新知會成為“新近”的已有知識，為學生進一步理解“未知”提供起點。因此，這種從已知到新知再到未知的認知過程就是把具有聯系的知識結構“加工”成有意義的心理結構的過程，特別強調聯系性以及意義建構。

此外，已有知識具有個體性，其與新知的關系是錯綜復雜的。在面對新知時，已有知識既可能是積極的，也可能是消極的；既可能影響新知，也可能被新知影響。這就要求教師充分調動學生的系統思維，幫助學生激活已有知識，審視已有知識，精煉已有知識，在此基礎上主動聯結已有知識與新知，形成新知的理解內化過程。

學習本單元的內容時，學生關于“圖形的運動”的已有經驗十分豐富，這些已有經驗決定了學生對所學內容的一種初步判斷。學生接觸到本單元中的“平移”“旋轉”和“軸對稱”時，首先想到的是這是我之前學過的內容，而且在生活中也有很多例子，于是已有知識就會自發地開始運作，產生意義的聯結。圖1所示是關于“平移”的意義聯結。可以看出，這種聯結是豐富的，既有數學經驗，也有生活經驗，兩者交織在一起，整體地與新知相聯結。需要注意的是，這些已有經驗一般不會

自動顯現并與新知相聯結，而需要引導和激發；而且這個初次體驗新知的過程是重要的，因為得到的學習結果會給學生留下深刻的第一印象。這就意味著教師要充分考慮學生可能的已有知識，其所設置的情境，所提出的問題，所安排的活動，都要有意識地、主動地與學生可能的已有經驗融合在一起。

此外，需要特別關注的是學生可能的消極的已有知識。比如，在數學經驗上，認為只有豎著與橫著的直線運動是平移，而斜著的直線運動不是；在生活經驗上，把汽車行駛等在不同視角下可以產生不同理解的復雜運動，簡單地理解成平移。因為基于錯誤推動認知的發展也是一種重要的學習方式。

二、從“整體”到“部分”再到“整體”

學生作為獨立的存在，有一個整體的認識系統；學習內容作為獨立的存在，是一個整體的知識系統。學習過程就是這兩個整體性系統之間的碰撞與融合，對于學習心理可以從認識系統如何內化知識系統的角度來審視。對于整體而言，其所包含（具有）的各個部分之間是相互聯系（聯結）的，否則整體就無從談起。一般地，學生總是先對所要學習的知識形成一個整體的印象，這一印象是樸素的、粗糙的。再從某一個部分開始學習，不斷地認識更多的部分，這樣的學習是直接的，可以獲得對整體的華麗、精致的印象。或者說，學生一方面通過對部分的學習，間接地豐富對整體的認識，此時部分影響著整體；另一方面基于對整體的認識，潛在地審視對部分的學習，此時整體又影響著部分。可見，在學習過程中，整體與部分總是循環地相互影響、相互生成。因此，處理好作為知識系統的整體與部分的關系，是理解學習過程的必要條件。

此外，要讓上述循環較好地進行下去，就要同時注意部分的聯系性與獨立性。部分的聯系性把部分聯結起來，形成整體。如果學習中忽視這些聯系，那么部分就會被割裂，整體就會被解構。正是不同的部分獨立存在，才讓整體更加豐富，更有意義，形成更廣、更深的結構。總的來說，部分之間“不同而相通”是構成整體的核心。

學習本單元的內容時，“圖形的運動”這一主題作為一個整體，其中包含了“平移”“旋轉”和“軸對稱”三個相互聯系的部分。表面上，學生的學習是可以一部分一部分“線性”地展開的，即經歷三次全新的體驗。但是，這樣就忽視了各個部分之間的聯系，將一個大單元機械地分裂成三個小部分，導致了單元整體的解構。

實際上，學生學習時，首先要基于自身關于“圖形的運動”的一般性認識，從整體上產生一系列相互聯系的問題（如圖2所示），以引導三種運動的學習，形成整體與部分的循環；其次要從一種運動出發（從哪種運動出發可以討論），初步認識三種運動，形成對“圖形的運動”的整體認識；再次要依次展開對三種運動的學習，同時注意聯系其他運動（比如，學習平移時滲透旋轉，學習旋轉時回顧平移），從而進一步認識三種運動；最后要以聯系的視角，把三種運動綜合起來深入研究，通過各種運動的對比，發現它們之間的一致與區別，概括出各種運動的關鍵點（如圖3所示），從而進一步形成對“圖形的運動”的整體認識。這一過程實際上就是一種“整體-部分-整體”的學習過程，它更符合學生學習的規律，更能促成知識整體的形成，使得知識整體融入認知整體中。

此外，學習本單元的內容時，要讓學生既體驗各種運動的不同，又體驗各種運動的相通，這是將知識整體內化進認知整體的最佳方式。以平移為例，與其他運動不同，平移是一種直線運動，是最簡單的運動方式；與其他運動一樣，平移前后圖形中每個點之間的距離相等，這是三種運動的關鍵點所在。

三、從“類合”到“架構”再到“模塊”

通常來看，學生在學習時，總是會接觸到各種感覺材料。這些感覺材料是最直觀、最基礎的知識因子。隨著這些因子的不斷豐富，學生需要對其進行進一步的處理，從而避免過多糅雜的知識因子在大腦中以混亂的形式存在，增加大腦的負擔。這個進一步的處理就是類合，即給所接觸到的具體對象賦予意義，再依據各個知識因子的某些性質或特點，將其進行分類與概括。類合是人類的一種本能，也是人類認識世界的一種重要方式，可以理順、厘清知識因子的層次結構，減輕大腦的負擔。這時，類合起來的因子就成了一種更高層次的類目，它是包含了對多方面因素的理解并能夠與其他類目相互聯系和區別的獨立存在。基于類目之間的聯系與區別，將各個類目進行更進一步的組合則是架構的過程，而架構的結果就形成了模塊。可見，學習就是一種對知識因子不斷類合與架構，從而形成蘊含高層次理解的類目與模塊的過程，這個過程實際上就是構建知識的過程。對此，布魯納曾經指出：學習就是類目化，就是將各種知識組織分類，形成具有結構的知識系統。數學作為一門極具結構性的學科，類合自然就成為其學習的一種重要手段。

學習本單元的內容時，圖形的運動就是最后被架構成的模塊，平移、旋轉和軸對稱就是其下被類合成的類目，那么這些類目是怎么構成的呢？學生需要基于經驗去思考：以哪些要素、哪些內容去把各種運動區分開來，使它們成為一個個獨立的類目？大致的學習過程如圖4所示。從圖中可以看出，學生通過各種方式接觸大量關于運動的感知材料，在賦予意義后，通過對知識因子的性質或特點的審視，即考察運動的結果、過程、前后變化等，就會在大量的經驗中總結出“像這樣的運動過程就是平移”“像這樣的運動結果就是旋轉”等等，從而形成三種類目（這是類合的過程）。此時的類目是通過系統的活動從直觀感受中獲得的，可以使原本模糊的認識逐漸清晰。從圖中還可以看出，學生基于三種運動的聯系與區別，去思考如何將它們統一起來，即通過對各個運動的性質或特點的再審視，可以架構出“圖形的運動”這一模塊。此時的模塊不再是偏向于各個獨立的類目的，可以使原本膚淺的認識逐漸深刻綜合來看，類合過程更多針對單個類目思考其不同點，如平移有什么特征，與旋轉有什么不同點；而架構過程更多針對各個類目思考其共同點，如平移、旋轉和軸對稱有什么共同點，是否可以進一步概括。通過這些問題的探究與解決，“圖形的運動”模塊能夠自然地形成。

在這一過程中，需要注意兩方面：（1）要利用“類”的思維找到所形成類目時可供探究的內在因素，即具體材料的性質或特點。如果沒有對這些因素的探究，可能就不能顯現出同類之間的聯系，從而難以很好地類合成類目，也不能深入地架構出模塊。例如，知道了平移的結果，但是同時在想的是旋轉的過程，可能就不能很好地把這兩者結合起來思考，因為它們并不是同一因素下的內容。（2）要注意不同的因素不一定是同一層次的并列，也可能是不同層次的深入。例如，從靜態的運動結果，想象動態的運動過程，再聯系起來考慮運動的前后變化，綜合這些方面的因素，可以總結歸納出運動的關鍵點。上述的因素排列就是一直不斷深化的過程——得到了各個運動的關鍵點，也就得到了形成類目的核心。

四、從“范例”到“運用”再到“綜合”

數學學習不能單純地基于抽象的概念進行操作，還要基于具體的現實、基于特殊的事例進行分析。這是數學本質的體現：數學作為一門學科，既有抽象性，也有現實性；既有理論性，也有實踐性。正如史寧中教授所說：數學雖然是抽象的、可以超越現實的，但是對于它的研究卻必須借助于現實、借助于事例，這是數學的一個特點。因此，數學學習往往需要從“范例”開始。這里的“范例”就是指現實、具體且與抽象對象有足夠聯系的一種情境。作為教學的情境，它應該具有典型性與深刻性，能夠觸及學生的生活經驗，使得知識更有效地呈現在學生面前。

學習本單元的內容時，可以設計學生熟悉和喜愛的摩天輪情境，引導學生從數學的角度討論摩天輪座艙的運動是平移還是旋轉，從而發現：如果僅就現實中的情況來看，座艙的運動只能算是平移，因為運動中任意兩個位置之間對應點的距離都相等（如圖5所示）；如果把座艙看成一個點，那么它的運動就可以看作旋轉，相當于一個點在圓周上運動（如圖6所示）。這個“范例”中，摩天輪是學生十分熟悉和喜歡的娛樂項目，可以讓學生輕易地“走進”其中。同時，其中涉及的問題又具有挑戰性，且觸及運動的本質，能夠激發學生的認知沖突，使得學生認識到運動的本質。

“范例”不能作為學習的終結，雖然它接近了知識的本質，但是真正地掌握知識是從運用開始的。實際上，運用是“范例”的延伸，而不是自立門戶的探究過程。如果說“范例”打開了認識知識本質的“大門”，那么運用就是一個接著“爬樓梯”的過程。

學習本單元的內容時，可以設置一個“俄羅斯方塊”游戲，包含用運動探究游戲過程（俄羅斯方塊是怎樣的運動），用運動探究游戲規則（各種俄羅斯方塊與所學的運動知識有什么聯系），用運動去玩游戲（基于所學的運動知識解決俄羅斯方塊問題）幾個部分。了解與玩的過程也是內在的運動知識沉淀激蕩、不斷打磨的過程，是一種“用”與“悟”的循環。這正像一個上樓梯的過程：踏出每一步后，又是一個更高層次的開始。

最后，一個數學知識模塊是整個數學知識系統的一部分，學生需要打破原來的知識場域，打通與其接觸的“四面八方”，才能形成更深層次的理解。這就是一個綜合的過程。

學習本單元的內容時，可以針對三種運動進行探究，試圖得出結論：軸對稱是一種更為基本的運動，因為另外兩種運動都可以通過它的多次操作得來。這一結論觸及了“圖形的運動”這一層次上的深層理解，把三個類目統一成一個模塊，將部分融合為整體，將新知從未知轉化為已知。另外，還可以針對運動與位置的關系進行探究，試圖得出結論：判斷運動的變化時，需要通過位置的觀察；描述位置的關系時，需要運用運動的話語（如A在B左邊2格，A向左運動2格達到B）。這一結論觸及了“圖形的運動”更高層次上的深層理解，表明了運動與位置是靜態與動態的關系、過程與結果的關系，是相互聯系、不可分割的兩個內容。這正是數學知識不斷擴張延伸的一個途徑：通過兩種綜合活動使得知識網絡越來越大。

綜合來看，上述四個維度都可以展現出學生浸入知識結構時的心理過程。雖然我們不能全面、絕對地認識學生的學習心理，但是我們需要通過從不同的側面了解他們哪怕是有限的、可能的學習心理，因為越是多方面地了解這個過程，也就越能科學有效地設計教學，促進學生的全面發展。

參考文獻：

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