“空間向量與立體幾何”學習中常見錯誤及糾錯對策

王吉瑞

我是濱州市沾化區第一中學高三學生，數學成績在高中生中估計應屬于較好的。我在學習“空間向量與立體幾何”時，深感由于沒有掌握正確方法，基礎性的知識也會難學。在這里，我把自己遇到的有關錯誤做些分析，希望能幫助同樣進行立體幾何學習的同學減少錯誤，迅速準確地掌握好這部分學習內容。

一、“空間向量與立體幾何”解題的常見錯誤

（一）概念錯誤

在“空間向量與立體幾何”的學習中，有關空間向量概念的常見錯誤有兩種：第一種是理解錯誤，第二種是概念混淆。第一種錯誤主要源自忽略了某種定義條件或者對概念的認知模糊。例如，我們往往會將二面角當作一個平面內直線和交線相互垂直的角，有時在理解兩向量平行這一概念時完全忽略了成立條件。第二種錯誤則源自對概念理解的膚淺，常見錯誤包括混淆向量相關的加法運算和數量積坐標運算；混淆向量和線段的概念等。

（二）運算錯誤

雖然在進行空間向量坐標的基礎運算時基本不會產生錯誤，尤其是在點坐標已知的情況下，向量坐標會比較容易計算，但是如果題目的綜合性增強，關系的復雜程度上升，錯誤率就會直線提高。值得注意的是，向量坐標計算在這類題目中往往屬于前置問題，是后續問題的運算基礎，所以一旦該計算出現錯誤，后面的解題步驟即使正確也無法得分。

（三）表述錯誤

表述錯誤主要出現于“空間向量與立體幾何”學習的初期階段，在這期間，容易因固有觀念尚未扭轉、對基礎定義的記憶不到位等因素而使用一些錯誤的向量表述語言。常見的錯誤包括把向量a誤表述為實數a；把向量的模誤表述成向量本身等。值得注意的是，該錯誤雖然在后期的考試、測驗中出現率明顯變低，但筆者發現在自行進行習題訓練時反而會有較高的出現率，這與平時對表述習慣的不重視有一定的關系。在日常練習時，明知道表述方法有問題，但只要不是考試解題就只求把題目解出來，不去關心表述方式有無問題，這種狀況長期持續下去對解題習慣的養成有害。

（四）證明方向錯誤

空間向量相關的證明題目在高中數學中屬于相對有一定難度的題目，向量法常被應用于線面位置關系的的證明上，雖然我們在應用向量法證明這些問題時具備較為清晰的思路，但在思維方向上經常出現問題，最終導致思路陷入死胡同，證明題整個無法解開。以線面垂直的證明為例，同學往往了解以向量法證明線面垂直的必須條件，但無法在圖上找到這些必須條件，只能以腦海中的證明方向強制和已知條件進行拼湊對照，最終導致雖然證明思路無誤，但證明方向完全錯誤的尷尬情況。這種錯誤的主要原因有二：其一是對各種證明定理的理解浮于表面，并沒有理解定理的實際應用方式，只會被動地進行生搬硬套；其二是缺乏識圖能力，不會將圖中和題中的已知條件、圖形元素印證成腦中的證明條件。這兩個原因導致了我們在進行向量證明時找不到方向指導依據，只能憑空臆測。

（五）解題思路錯誤

向量解題的思路錯誤主要集中在三個方面：第一方面是審題思路錯誤，這種錯誤往往來自于審題不認真，根本沒有搞清需要求的向量是什么。該錯誤在一些大量使用圖形本身來表示已知條件的向量求值題中尤其常見，我們往往在審題時錯誤地理解需求元素。第二方面是步驟思路錯誤，受平時練習時不良解題習慣的影響，許多同學在考試中解答向量計算題時也有跳步的習慣。在題目的思路順序較為清晰時，這種跳步的行為影響較小，但如果題目本身就較為復雜，需要對一些條件進行平行思考或反復運用，這種跳步行為就會為我們帶來極大的思維混亂。部分同學反復用不同方法求得相同的向量，浪費解題時間，還有部分同學沒有求得必須向量就直接進行下一步，當發現缺少足夠的條件時又返回前一步進行向量計算，這對解題速度和解題脈絡都有不利影響。第三方面是選擇思路錯誤，立體幾何有一個非常顯著的特征——同一問題往往不只有一種解題方法，但我們受限于自身的計算能力和思維慣性，往往掌握了一種方法后就只用這種方法解題，不僅加大了部分問題的解決難度，而且對向量法這種基礎方法過于依賴，不利于自身思維能力的拓展成長。

二、“空間向量與立體幾何”學習的優化措施

（一）通過解題明確概念

為了規避概念模糊、概念混淆等因素引發的一系列初級錯誤，對空間向量相關所有基礎概念、定理進行重明確是非常有必要的。尤其是相關學習已經進入后期時，如果這類題目錯誤率很高，可以在每次解答相關習題前對所需概念進行重認知，以加深對概念的理解。

（二）通過習慣規范思維

解題思維的養成并非一朝一夕之功，想要令思維模式、思考方向、解題思路等得到正確的規范，日常的習慣非常重要。不能在日常練習時圖省事而使用錯誤的向量數學表述法，也不能因為題目簡單就擅自進行跳步，否則會對日后的考試解題與復雜問題思考造成不良影響。

（三）通過練習強化讀圖

讀圖能力的低下是造成相當一部分同學找不到解題思路的主要原因，因此，為了強化讀圖能力，在日常刻意進行讀圖練習是有必要的。筆者曾經將各種類型的立體幾何問題配圖羅列出來，根據配圖羅列出圖中所反映出的已知條件和關鍵幾何元素，這種練習方法對讀圖能力的提升很有幫助。

三、結語

在高中階段，空間向量相關習題的錯誤大多是由同學的思維誤區、審題不嚴、概念模糊引起的，理解困難因素引發的解題錯誤相對較少。所以想要降低空間向量類習題的解題錯誤率，首先要強化對基礎知識的理解記憶，保證對概念、定理的理解不浮于表面；其次，要養成良好的解題習慣，在平時練習時就以規范的方式進行解題；最后要提高立體幾何的相關素質，通過提高讀圖、空間想象、思維拓展能力來提高解題效率和解題質量。