解直角三角形與實際生活

陜西省山陽縣城區第三中學(726400) 杜忠書 ●

解直角三角形與實際生活

陜西省山陽縣城區第三中學(726400) 杜忠書 ●

銳角三角函數是數形結合的典范，涉及數學各個分支，在工程，測量，軍事，工業，農業，航海，航空等領域都有應用，特別是在日常生活中的應用更加廣泛，因而，必須引起足夠的重視．下面舉幾例與同學們共賞．

例1 如圖1所示是某立式家具(角書櫥)的橫斷面，請你設計一個方案(角書櫥高2米，房間高2．6米，所以不從高度方面考慮方案的設計)，按此方案可以使該家具通過如圖2中的長廊搬入房間，在圖2中把你的設計方案畫成草圖，并說明按此方案可把家具搬入房間的理由(注:搬動過程中不準拆卸家具，不準損壞墻壁)．

思路解析 如說理圖所示，作直線AB，延長DC交AB于E，由題意可知，△ACE是等腰直角三角形，所以CE= 0．5，DE=DC+CE=2．作DH⊥AB于H，則DH=DE·可按此方案設計圖將家具從長廊搬入房間．

答案:設計方案草圖如圖所示．

溫馨提示 本題是一道比較貼近生活的實際問題，重點考查學生綜合運用所學知識解決實際問題的探究和創新能力．本題反映生活中常見的實際情況，很有創意，并充分體現了學數學用數學的價值．

例2 如圖3所示，福潤萬家超市在一樓至二樓之間安裝有電梯，天花板與地面平行，請你根據圖中數據計算回答:小高身高1．78米，他乘電梯會有碰頭危險嗎?姚明身高2．29米，他乘電梯會有碰頭危險嗎?(可能用到的參考數值:sin27°=0．45，cos27°=0．89，tan27°=0．51)

思路點撥 本題是一道設計比較新穎的實際問題，要判斷乘電梯是否會碰頭，從圖形來看需要計算電梯和天花板之間的最小距離，然后與人的高度比較．

解 如圖3，作CD⊥AC交AB于D，則∠CAD=27°，在Rt△ACD中，CD=AC·tan∠CAB=4×0．51=2．05 (米)．所以小高不會有碰頭危險，姚明則會有碰頭危險．

例3 如圖4，已知某小區的兩幢10層住宅樓間的距離為AC=30m，由地面向上依次為第1層、第2層、…、第10層，每層高度為3m．假設某一時刻甲樓在乙樓側面的影長EC=h，太陽光線與水平線的夾角為 α．當 α= 30°時，甲樓樓頂B點的影子落在乙樓的第幾層?若α每小時增加15°，從此時起幾小時后甲樓的影子剛好不影響乙樓采光?

思路點撥 過點E作EF⊥AB于F，本題可轉化為在Rt△BEF中解直角三角形求解，當B點的影子落在C處時，甲樓的影子剛好不影響乙樓采光．

解 過點E作EF⊥AB于F，由題意，四邊形ACEF為矩形．∴EF=AC=30，AF=CE=h，∠BEF=α，∴BF=3 ×10－h=30－h．又在Rt△BEF中，即30－h=30tanα，解得h=30－30tanα．

當B點的影子落在C處時，甲樓的影子剛好不影響乙樓采光．此時，由AB=AC=30，知△ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=45°，∴(45－30)/ 15=1(小時)．故經過1小時后，甲樓的影子剛好不影響乙樓采光．

溫馨提示 本題是一道與實際生活密切聯系的應用題，解決本題的關鍵要準確找出所要解的直角三角形，如解Rt△BEF;其次要弄清題意，找出已知條件和未知條件關系，正確選擇銳角三角函數來求解．

例4 如圖5，某鄉村小學有A、B兩棟教室，B棟教室在A棟教室正南方向36米處，在A棟教室西南方向300米的C處有一輛裝載機以每秒8米的速度沿北偏東60°CF，100，的方向 行駛 若裝載機的噪聲污染半徑為 米試問A、B兩棟教室是否受到裝載機噪聲的影響?若有影響，影響的時間有多少秒?(計算過程中取1．7，各步計算結果精確到整數)

思路點撥 要判斷A、B兩棟教室是否受到裝載機噪聲的影響，只需分別算出兩棟教室到CF的距離，然后與100米進行比較即可．若要計算影響時間，可根據勾股定理算出裝載機從開始影響到結束時之間的距離就行．

解 如圖6，過點C作直線AB的垂線交AB的延長線于D．

溫馨提示 本題將生活中常見的現象以數學問題呈現出來，具有很強的現實性，使同學們感到數學無處不在，充分體現了“關注對應用數學解決實際問題能力的考查”．

方法總結 以上幾題都是解直角三角形應用題，解題時要善于將實際問題中的數量關系歸結為直角三角形中元素間的關系，即把實際問題抽象成數學模型(構造直角三角形)，然后根據直角三角形的邊角關系求解．解題時應注意:(1)認真分析題意，畫圖找出或構建要解的直角三角形(或特殊的四邊形)．(2)選擇合適的邊角關系，以便簡化運算．(3)按照題目要求的精確度確定答案并注明單位．

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