關于高中數學作業評語的一些思考

左睿++唐翠芳

作者簡介：左睿：山西太原人，貴州師范大學數學科學學院，碩士（在讀）.

唐翠芳：貴州安順人，貴州師范大學數學科學學院，教授.

[摘 要] 本次研究發軔于對高中數學教學中“作業批改”這一環節的關注. 研究的主體由對兩個典型的案例的敘述、分析構成，進一步研究借助案例一討論了教師在批改數學資優生的作業時應當注重從“元認知”層面加強對學生學習策略上的引導；通過案例二論述了教師在批改數學潛能生的作業時必須加強與學生的溝通交流以積極的態度強化其自我效能感. 最終經過將兩則案例中的經驗進行歸納整理，研究給出了衡量教師評語內容是否充實的三個維度：“知識技能”“認知風格”“情感態度”.

[關鍵詞] 數學教師；作業評語；資優生；潛能生；案例研究

面對繁重的教學壓力，教師唯有提升作業批改的效率才能使自身逃出一垛垛作業本筑起的“圍城”. 但是在“工具理性”的指導下，行動者純粹從效用最大化的角度考慮，而漠視人的情感與精神的價值[1]. 這也正是大部分教師在作業批改時，最終倒向唯知識論，只問對錯的原因. 這種單維線性的批改模式對師生間那早已被擠壓的所剩無幾的溝通交流來說則無異于雪上加霜. 另一方面，在作業的功效性被不斷加高的同時，一些學者覺察到了不遠處正悄悄迫近的危機.

在國外，帕斯切爾等人通過分析研究發現，在完成作業的過程中，如果缺少教師批閱反饋的過程，其效果必將大打折扣，只能在一定程度上改善學生的成績[2]. 而教師針對學生個體差異給出的鼓勵性評語卻有著尤為積極的作用. 在國內，上海靜安區教育學院的學者任升錄、黃根初在其所著的《數學作業的設計與評價》一書中也提到作業管理應當關注學生成長，激勵調動學生學習的積極性[3]. 由此可知，師生間相互交流溝通的質量將直接關乎作業批改的成敗，而教師向學生傳遞信息也主要是通過作業批語而實現的.

那么好的批語是怎樣煉成的呢？本次研究將結合如下兩個案例進行論述.

[?] 案例一

1. 背景簡介

生1、生2是貴陽二中高一某班的兩名學生，從以往成績與課堂表現來看，兩生都稱得上是數學資優生. 值得一提的是，據筆者一定時間的跟蹤觀察，發現兩生的性格截然不同. 生1比較內向，課堂上主動發言的次數并不多，不過每當教師提出的問題令其他學生束手無策時，他卻常能一語中的道出解題的關鍵. 生2應當是典型的外向型人格，上課時常常不等教師提問便搶著回答，雖然不時會犯些錯誤甚至鬧出笑話，但一些時候卻能想出令大家贊嘆不已的奇思妙解.

下述兩個題目是該班一次作業中較難的兩個題目，據統計，全班54名學生中僅有5人解答正確，其中就包括生1和生2. 為了比較二人在解法、思路上的異同，本文在不改變學生作業內容真實性的基礎上，將兩生對同一題目各自的解答過程整理到了一起加以呈現.

2. 題目內容

（1）已知log189=a，18b=5，求log3645.

（2）f（x），g（x）分別為定義在R上的奇、偶函數，且f（x）-g（x）=

，試比較f（0），g（0），g（1）的大小.

3. 解答情況

生1：（1）因為log189=a，所以1+log32=①.

因為log185=b，所以log52+2log53=②.

因為=2log53=③.

進一步得，log3645=+④.

將①②③中結論整理后代入④，化簡得log3645=.

生2：（1）因為18b=5，所以log185=b.

所以log3645===

===.

生1：（2）因為f（x）是定義在R上的奇函數，所以f（0）=0 .

又因為f（0）-g（0）=1，所以g（0）=-1.

因為f（1）-g（1）

=，

-f（1）-g（1）=2，

所以g（1）=-.

故有g（1）

生2：（2）因為f（x），g（x）分別為定義在R上的奇、偶函數.

所以f（x）-g（x）=

進而可知：f（x）=

從而求出f（0）=0，g（0）=-1，g（1）=-.

故有g（1）

那么在看過如上的解答后諸位同仁會在生1、生2的作業本上留下什么樣的評語呢？可能的情況大致可以歸納為以下三種典型（見表1）.

對比表1中所列的三種點評方式不難發現，“常見型”執行起來最為簡單，但其內包含的信息量也最少，僅僅停留在了“非對即錯”的簡單范疇；“改進型”中教師對學生的出色表現做出了積極評價，并且激勵學生進行更深入的專研，但批語包含的信息量較少，因而具有的實際指導意義十分有限；“理想型”點評與前兩者的最大不同之處在于充分重視并體現出了對生1、生2差異性的關注，而且在給予表揚或指出不足時都能對應到學生的作業當中，做到了有理有據.

雖然“理想型”點評的優勢不容置疑，然而面對著一份出自資優生之手幾乎全部正確的作業，大部分教師在書寫批語時都會品嘗到些許“無處下筆”的窘迫. 而造成這一窘迫的根源則是教師評價學生及其學習勞動成果的準則過于單一，即狹隘地局限在了數學學科知識的層面. 那么如何才能跳出這一局限呢？

具體到案例一中的生1、生2. 通過多角度的觀察，可以初步判定生1在數學學習上為典型的“代數式”思維[4]，注重把握概念間的邏輯聯系，其解題過程常表現出明確的目的性與條理性，這可以在他求解第二道題目的過程中得到充分體現. 但一些時候伴隨鉆研的深入其固執己見的一面也將展露，這一點可從該生求解第一道題目的過程中得到印證. 而生2則表現出了“幾何式”思維的特質[5]，注重模式直觀與經典范式的應用，其解題過程表現出了較強的發散性與跳躍性，因此他偏好通過類比從相似的變式題目中獲取靈感，所以這類學生的問題也常常是經驗豐富有余，而思維深刻不足. 然而就高一學段的學生而言，其對自身數學學習的了解、監控能力是相對有限的，而且也不容易對自身數學學習的方法做出評價、改進，因此教師在給學生的作業批語中，應當站到“元認知”理論的高度引導學生了解自身在學習風格、方法上的特點，并在學習策略上給出相應的指導.

[?] 案例二

1. 背景簡介

生3為貴陽二中高一某班的一名學生，由以往成績與作業情況來看，該生數學學習方面的潛能仍有待激發. 然而就筆者的跟蹤觀察來看，生3并不懶惰厭學，尤其她花在數學這一學科上的時間顯著多于班內的其他學生. 但由于種種原因其數學基本功底明顯較弱，更為嚴重的是該生聽課效率偏低，這真是著實讓人心痛！

以下是生3先后三次作業中解答錯誤的題目，根據統計，除第一道題目外，班中有超過半數的學生可以正確地解答第二、第三兩題. 進一步分析生3的解題過程，不難發現其作業中始終存在著一個會讓教師大為頭痛的低級錯誤，即向量的書寫始終未能規范，真可謂是“屢教不改”了.

2. 題目內容

（1）在矩形ABCD中，AB=2BC，M，N分別是AB，CD的中點，在以A，B，C，D，M，N為起點或終點的所有向量中，相等的非零向量共有多少對？

（2）化簡（x-y）（a+b）-（x-y）（a-b）.

（3）判斷下列命題是否正確：

A. +=0（ ）

B. +=（ ）

C. -=（ ）

D. 0·=0（ ）

3. 解答情況

生3：（1）共有十對，AB與DC，AD與BC，AD與MN，MN與BC，AM與MB，AM與DN，AM與NC，MB與DN，NB與NC，DN與NC.

（2）（x-y）（a+b）-（x-y）（a-b）

=ax+bx-ay-by-ax+bx+ay-by

=（a+b-a+b）x+（-a-b+a-b）y

=2bx-2by.

（3）A. +=0（√）

B. +=（√）

C. -=（×）

D. 0·=0（√）

現在假設生3就是您的一名學生，那么作為她的數學老師您會對這三次作業給出什么樣的批語呢？筆者對可能的結果進行了如下整理（見表2）.

對比表2中所列的三種點評方式可知，“常見型”點評對學生錯誤范圍的界定不夠準確，甚至在一定程度上折射出一種“敷衍了事”的工作態度；“改進型”中教師基本上精確地標定出了學生錯解的范圍及錯誤嚴重的程度，但隨著學生的簡單錯誤一犯再犯，教師的耐心也漸漸消磨殆盡，批語的口吻也從強調轉為了責問；采用“理想型”點評的教師不僅對學生的錯誤描述分析得更為詳盡、透徹，而且始終耐心地以一種積極的態度與學生進行交流溝通，能適時地抓住點滴進步給出正面評價，而且提出建議所用的表述方式也較為溫和，易于被學生接受.

但“理想型”的點評模式推廣起來，卻是有相當難度的. 試問面對一份字跡潦草、錯誤百出的作業，能有多少教師能夠耐著性子給出詳盡的點評，而不僅以一句“端正態度”蓋棺定論？然而一味地消極評價非但起不到敦促學生進步的作用，反而會讓其失去學好數學的信心，甚至做出抄襲等不誠實的行為[5]. 那么如何才能以積極的態度評改學生的作業呢？

說到“積極”的作業評價馬上就會令人聯想到“表揚”與“鼓勵”，然而在筆者看來后者僅是前者的必要而不充分條件. 的確，“表揚”與“鼓勵”是構成作業積極批改的一種主要手段，但就本質來看，作業是師生之間以書面形式達成的間接交流，而人與人之間深入良好交流的根本保障則是雙方的相互尊重與理解. 案例二中教師之所以對生3失去耐心，是教師將該生的“屢教不改”看成了對自己工作的不尊重. 但這實為一種誤解，生3掌握向量的規范書寫的過程大致為：最先掌握的是以有向線段這一具體概念為原型的兩個大寫字母表示向量的方法，之后接受了稍抽象的用一個小寫字母表示向量的方式，最后形成對零向量與數字零概念的區分. 教師只有意識到這一點才能夠發現、珍視該生已經取得的進步，并以此為基礎助其增強自我效能.

[?] 總結

綜合對上述兩個案例的分析并適當借鑒教師專業發展（MPCK）理論中提到的“學科知識”（MK）“教育知識”（PK）“教學相關知識”（CK）的理論[7]. 筆者認為，一則好的批語至少應當包含三方面的內容. 即“知識技能”“認知風格”“情感態度”.

其中，“知識技能”與“學科知識”相對應，就現狀而言教師批語的內容多集中在這一層面. 在書寫此類批語時教師只需調用學科知識經驗對學生知識的掌握、解題技巧的應用做出評判.

“認知風格”與“教育知識”對應，眾所周知，即使數學學科知識水平大體相當的學生在性格、學習習慣、思維風格、學習方法等方面都會存在著較大的差異，因此這些內容也應當在教師的批語中得到關注.

“情感態度”與“教學相關知識”對應，根據英國密德薩斯大學戴安·蒙哥馬利教授提出的激發學生學習動機的CBG原則[8]（catch them being good），教師應該利用批語抓住學生作業中的優良狀態并給予鼓勵，幫助學生建立自信.

參考文獻：

[1] 萊因哈特·本迪克斯. 馬克斯·韋伯思想肖像[M]. 上海：上海世紀（上海人民）出版社，2007.

[2] H. J. Walberg&R. A. Paschal. Homework[A]. In： L. W： Anderson. International Encyclopedia of Teaching and Teacher Education[C]. Elsevier Science， Ltd， 1995.

[3] 任升錄，黃根初. 數學作業的設計與評價[M]. 上海：華東師范大學出版社，2009.

[4][5]鮑建生，周超. 數學學習的心理基礎與過程[M]. 上海：上海教育出版社，2009.

[6] 劉光會. 新課程背景下普通高中數學作業的有效性研究[D]. 華東師范大學，2007.

[7] 劉光會. 新課程背景下普通高中童莉. 數學教師專業發展的新視角[J]. 數學教育學報，2010，19（2）：23-27.

[8] Diane·Montgomery.Helping Teachers Develop through Classroom Observation， Second Edition[M].David Fulton Publishers Ltd （Oct. 18 2013）. ISBN-10：113414590X.ISBN-13： 978-1134145904.