“兩角和與差的余弦”的教學案例與反思

陳慧

[摘 要] 本節課是向量與三角函數的綜合應用，在講述過程中要體現化歸思想以及數形結合思想，通過向量以及三角函數的定義得到兩角和與差的余弦公式，并對誘導公式進行小結。教師設置問題情境，類比特殊情況，繼續創設問題，利用已知結論，鞏固延伸，拓展應用。設置的問題要具有啟發性、層次性、激勵性、體驗性，要給學生充足的時間，教師要學會傾聽，允許不同的聲音存在，營造一個民主寬松的課堂氛圍。

[關鍵詞] 三角函數；向量應用；問題情境

一、案例背景

一堂好課即一堂學生學得好的課。好的課堂教學不是結果的教學，而是動態的思維活動的教學。教師可以設置一些好的問題，引導學生主動質疑、探究，實施“問題引導探究”，在探究過程中，讓學生動手操作，生成智慧，發現數學的本質。

“兩角和與差的余弦”這節課是蘇教版《必修4》第三章“三角恒等變換”3.1 “兩角和與差的三角關系”中的第一節內容，是在學習過第一章“三角函數”和第二章“平面向量”后學習的內容，可以借助三角知識，利用平面向量這個工具，加以研究。 因為和前面兩章都有緊密的聯系，需要用到前面兩章的知識，所以這節內容的難度大，探究性強，所滲透的數學思想方法較多。 并且這節課為后面學習“兩角和與差的正弦、正切”打下基礎。

二、案例描述

（一）設置問題情境，實際背景中感知兩角差的余弦公式形式特征

情境引入：

教師：同學們，翻到課本P90第22題，解決這個問題。 用向量數量積的兩種形式求a·b，可以得到什么結論？

學生：cos？茲=cos75°cos15°+cos75°cos15°

教師：向量a，b的夾角是多少呢？（學生思考）

教師：如果要求兩個向量的夾角，這兩個向量要共起點，不妨設起點為O，設a=■，b=■，那么點P，Q在哪里呢？

學生：75°，15°角與單位圓的交點，夾角為60°。

（學生回答過程中，在黑板上畫出直角坐標系和單位圓）

教師：可以得到什么結論？

學生：cos（75°-15°）=cos75°cos15°+sin75°sin15°

教師：如果這個結論可以推廣到一般的形式，那么一般形式是什么呢？

學生：cos（？琢-？茁）=cos？琢cos？茁+sin？琢sin？茁

教師：那這就是我們這一節的任務：驗證這個式子是否成立。

（板書：3.1.1兩角和與差的余弦）

（二）類比特殊情況，繼續創設問題，探究兩角差的余弦公式

教師：能不能借助剛才的研究方法來研究任意角？琢，？茁呢？

（學生自主探究。在探究的過程中引導學生分兩種情況來研究：①若？琢∈[0，2？仔），？茁∈[0，2？仔），不妨設？琢>？茁；②若？琢，？茁是任意角，則存在？琢0，？茁0∈[0，2？仔），使得？琢=？琢0+2k1？仔，？茁=？茁0+2k2？仔，其中k1，k2∈Z）

教師：任意的兩個角你覺得在什么范圍內可以方便地在單位圓內顯示出兩角的大小關系呢？

學生： [0，2？仔）。

教師：回答得很好。那么兩個角的大小對他們差的余弦值有沒有影響？

學生：沒有，因為cos（？琢-？茁）=cos（？茁-？琢）。

教師：非常好，試一試能否類比剛才15°，75°角的方法得到cos（？琢-？茁）=cos？琢cos？茁+sin？琢sin？茁。

（學生嘗試得出結論）

教師：但是角？琢，？茁是任意角，如何把剛才的結論推廣到任意角的范圍呢？

學生：若？琢，？茁是任意角，則存在？琢0，？茁0∈[0，2？仔），使得？琢=？琢0+2k1？仔，？茁=？茁0+2k2？仔，其中k1，k2∈Z，cos（？琢-？茁）=cos（？琢0-？茁0）最終得出結論：對任意角？琢，？茁，有cos（？琢-？茁）=cos？琢cos？茁+sin？琢sin？茁成立。

（三）利用已知結論，探究兩角和的余弦公式

教師：能否利用剛才推出的兩角差的余弦公式推導出兩角和的余弦公式呢？

（學生思考，探究推導）

學生：cos（？琢+？茁）=cos[？琢-（-？茁）]

（四）鞏固延伸，拓展應用

例1：利用兩角和（差）的余弦公式，求

（1）cos15°

（2）cos（■+？茲）+cos（■-？茲）

目的：正用公式，解決前面不能解決的問題。

例2：化簡

（1）cos24°cos36°-sin24°sin36°

（2）sin25°cos115°-sin65°sin115°

目的：逆用公式，體會數學學習中的靈活性。

三、案例反思

（一）設置的問題要具有啟發性、層次性、激勵性、體驗性

“問題是數學的心臟。”有效的問題設置至少要符合四個基本特征：一要有啟發性，設置的問題要能夠啟發學生思考，讓學生產生共鳴，讓他們積極去尋找解決辦法或答案。二要有層次性，問題的設置要由易到難，引導學生一步步走向目標，達到一節課的目的。三要有激勵性，設置的問題要能夠激發學生強烈的求知欲望，調動他們的思維，產生學習興趣。四要有體驗性，問題的設置應該顧及全班不同層次的學生，讓每一位學生都能參與到學習中，體驗知識形成的過程。

但是，本節課雖然經過精心的準備，還是有瑕疵，需要提醒各位同仁注意。比如，在最開始引入的時候，因為和前面三角函數知識相距較遠，學生一時反應不過來，對點P，Q應該在單位圓上什么地方有些不清楚，這是課前預習工作沒有做好。應該先提前復習一下三角函數的相關知識，或者提前用幾個問題慢慢引導。

（二）給學生合適的時間

課堂的主體是學生。教師給出的每一個問題，都需要給學生一段時間思考，甚至要給學生小組交流合作討論的時間，這樣他們才不會感覺到知識產生得突兀和生硬。在這個過程中，教師的作用是引導，引導他們探究出正確結果。學生有了自己的思考，又有教師的引導和點撥，思維才會更加活躍，產生智慧的火花。所以，教師要杜絕害怕“冷場”的心理，尤其是公開課的時候更是要敢于給學生冷靜的思考時間。

（三）允許不同的聲音存在

世界上沒有哪兩片葉子是完全一樣的，學生也是如此。不可能每個人都按照教師的預定安排思考，在上課的過程中肯定會對同一個問題產生不同的答案，有些是教師希望得到的答案，但有些是偏離了“軌道”的答案，這個時候我們應該耐心傾聽學生的想法。因為不同思維方法和觀點的激勵碰撞才是課堂教學的精髓所在，這個過程也是師生互相了解、互相學習的過程。不能把課堂教學的目的定位為得到正確答案，這是最狹隘的教育。教師傾聽完學生的想法后要做一些適當的點評，一方面可以糾正學生思考中存在的問題，另一方面可以鼓勵學生積極思考。教師要鼓勵學生這種樂于表達的做法，讓更多的學生向他們學習，主動思考，積極探索。

（四）營造一個民主寬松的課堂氛圍

學生雖然是坐在講臺下面聽教師講課，但是要把他們的地位和教師等同。因為他們也是作為獨立的個體存在，每一個學生都有自己獨特的思維方式。這就需要在課堂教學中，做到師生融洽、感情交流，充分尊重學生人格，關心學生的發展，營造一個民主、平等、和諧的氛圍，及時恰當地激勵學生，使學生在認知和情意兩個領域有機結合，促進學生的全面發展。

責任編輯 李杰杰