關于[4.8.8]鋪砌中橢圓上D-點數的研究

魏祥林，王衛琪

(河北科技大學理學院，河北石家莊 050018)

關于[4.8.8]鋪砌中橢圓上D-點數的研究

魏祥林，王衛琪

(河北科技大學理學院，河北石家莊 050018)

阿基米德平面鋪砌是指用一種或多種正多邊形鋪砌全平面，且要求鋪砌的每個頂點的頂點特征相同。阿基米德平面鋪砌共有11種，針對其中的[4.8.8]鋪砌，即每個鋪砌頂點連接邊長相同的一個正方形，兩個正八邊形，研究[4.8.8]鋪砌上的橢圓所包含鋪砌頂點數的特性，通過對橢圓內半弦上頂點列的分析，采用數的幾何及數論中同余的方法給出頂點數的取值算法，并獲得頂點數與橢圓短半軸長平方的比值的極限公式，證明極限值與對應鋪砌的中心多邊形的面積有關。所得算法及極限公式對其他阿基米德鋪砌中相關問題的研究有借鑒作用。

離散幾何；阿基米德鋪砌；橢圓；中心多邊形；凸包

從鋪砌的定義看出，整數格即可視為由單位正方形構成的[4.4.4.4]阿基米德鋪砌的頂點集。從這個意義出發，利用數的幾何中討論格點性質的相關手法探討其他阿基米德鋪砌的頂點性質成為一個有意義的研究課題。DING等[6]首次嘗試將數的幾何中關于整數格點的Pick定理推廣至[6.6.6]鋪砌的頂點集[6]，之后在相關問題研究中獲得了一系列成果[7-13]。在以上研究的基礎上，KOLODZIEJCZYK等[8-9，14-19]從幾何的角度證明數論中一些計數問題和面積問題。本文主要研究的是由正方形和正八邊形生成的[4.8.8]鋪砌上的計數問題。

圖1 C-點和D-點的分布Fig.1 Distribution of C-points and D-points

[4.8.8]鋪砌是一種阿基米德鋪砌，如圖1所示。這里為了討論的方便，記[4.8.8]鋪砌的的頂點集為D，其中的點稱為D-點，本文中[4.8.8]鋪砌中正八邊形與正方形鋪砌元的邊長均取為1。在[4.8.8]阿基米德鋪砌中以正八邊形中心為橢圓中心、以正整數n為短半軸長、2n為長半軸長的橢圓記為E(n)，E(n)的內部和邊界上所含的頂點數記為N(n)。

1 基本定義

定義1 在En中，若一個集合中任意2點的直線段均含于該集合中，則稱該集合為凸集。稱包含一個集合的最小凸集為該集合的凸包。

定義2 在[4.8.8]阿基米德鋪砌中，與一個鋪砌頂點相關聯的每個鋪砌元的中心的凸包形成的圖形稱為該頂點對應的中心多邊形。

2 相關引理和主要結論

本文研究[4.8.8]阿基米德鋪砌中，落在橢圓E(n)的內部和邊界上的頂點數N(n)的取值，給出相應的算法，并得出下述結論。

3 N(n)的取值分析

圖2 橢圓弦的分布Fig.2 Distribution of the chords of the ellipse

情形1i≡0(mod 4)

情形2i≡1(mod 4)

情形3i≡2(mod 4)

情形4i≡3(mod 4)

由上述討論過程可以給出下述算法來計算[4.8.8]鋪砌中橢圓E(n)的內部和邊界上所含D-點的個數N(n)：

7)如果i≤k，用i+1代替i，并進行步驟2，否則，停止程序并輸出N×4。

表1 部分N(n)的值

根據上述算法，運用VC++程序，對于任意給定n∈Z+可以確定N(n)的值，表1給出了部分N(n)的值。

4 定理1的證明

圖3 [4.8.8]鋪砌的劃分Fig.3 Dividing of [4.8.8]-tiling

即

而

5 定理1的推廣

經過對定理1的證明過程研究發現，在[4.8.8]鋪砌中，當其他條件不變，橢圓的長半軸長為mn、短半軸長為n時，通過定理1的類似證明可以得到下述定理。

6 結 語

本文研究了在[4.8.8]阿基米德鋪砌中橢圓內及其邊界上的鋪砌頂點數計數問題。證明了當橢圓的短半軸長為正整數n，且長半軸長與短半軸長的比值一定時，橢圓內及其邊界上的總頂點數與短半軸長的平方的比值極限始終是一個常數。那么我們就不難發現，當橢圓的短半軸長為任意正數，且長半軸長與短半軸長的比值給定時，橢圓的內部或邊界上的總頂點數與短半軸長的關系與定理2是相同的，相關證明可由數學分析兩邊夾定理推導證得。

/References：

[1] GRUBER P. Convex and Discrete Geometry [M]. New York:Springer，2007.

[2] GRUNBAUM B，SHEPHARD G C. Tilings and Patterns [M].New York:W H Freeman & Co，1986.

[3] CAO P，YUAN L. The number ofH-points in a circle [J]. Ars Combinatoria，2010，97A：311-318.

[4] WEI X，WANG J，GAO F. A note area of lattice polygons in an Archimedean tiling [J]. Journal of Applied Mathematics and Computing，2015，48(1)：573-584.

[5] 張紅玉. 關于一類雙鋪砌頂點性質的研究 [D]. 石家莊:河北師范大學，2010. ZHANG Hongyu.Some Properties on the Vertics of a Dihedral Tiling[D].Shijiazhuang:Hebei Normal University,2010.

[6] DING R，REAY J R. The boundary characteristic and Pick’s theorem in the Archimedean planar tilings [J]. Journal of Combinatorial Theory，Series A，1987，44(1)：110-119.

[7] WEI X，DING R. On the interior lattice points of convex lattice 11-gon [J]. Journal of Applied Mathematics and Computing，2009，30(1)：193-199.

[8] DING R，KOLODZIEJCZYK K，MURPHY G，et al. A Pick-type approximation for areas ofH-polygons [J]. American Mathematical Monthly，1993，100(7)：669-673.

[9] KOLODZIEJCZYK K，OLSZEWSKA D. On some conjectures by Rabinowitz [J]. Ars Combinatoria，2006，79：171-188.

[10]DING R，REAY J R，ZHANG J R. Areas of generalizedH-polygons [J]. Journal of Combinatorial Theory，Series A，1997，77(2)：304-317.

[11]WEI X,DING R.H-triangles with 3 interiorH-points [J]. Journal of Applied Mathematics and Computing，2008，27(1/2)：117-123.

[12]WEI X,DING R.H-triangles withkinteriorH-points [J]. Discrete Mathematics，2008，308(24)：6015-6021.

[13]WEI X，DING R. Lattice polygons with two interior lattice points[J]. Mathematical Notes，2012，91(5)：868-877.

[14] KOLODZIEJCZYK K，OLSZEWSKA D. A proof of Coleman’s conjecture [J]. Discrete Mathematics，2007，307(115)：1865-1872.

[15]KOLODZIEJCZYK K. Areas of lattice figures in the planar tilings with congruent regular polygons [J]. Journal of Combinatorial Theory，Series A，1991，58(1)：115-126.

[16]KOLODZIEJCZYK K. The boundary characteristic and the volume of lattice polyhedra[J]. Discrete Mathematics，1998，190(1/2/3)：137-148.

[17]KOLODZIEJCZYK K，REAY J. Polynomials and spstial Pick-type theorems[J]. Expositiones Mathematicae，2008，26(1)：41-53.

[18]KOLODZIEJCZYK K. Parity properties and terminal points for lattice walks with steps of equal length[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications，2009，355(1)：363-368.

[19]KOLODZIEJCZYK K. Hex-triangles with one interiorH-points [J]. Ars Combinatoria，2004，70：33-45.

[20]OLDS C，LAX A，DAVIDOFF G. The Geometry of Numbers [M]. London:Springer London，2001.

Research about the number ofD-points of [4.8.8]-tiling in given ellipse

WEI Xianglin， WANG Weiqi

(School of Science， Hebei University of Science and Technology， Shijiazhuang， Hebei 050018， China)

An Archimedean tiling is a tiling of the plane by one type of regular polygon or several types of regular polygons, and every vertex of the tiling has the same vertex characteristics. There are 11 Archimedean tiling, and this paper studies [4.8.8]-tiling, which is an Archimedean tiling generated by squares and regular octagons in the plane, and every vertex is associated with one square and two octagons. This paper studies the number of vertices contained in an ellipse in [4.8.8]-tiling. Through analysing the sequence of vertices lying on half chord in the ellipse, and using the method of the geometry of number and congruence in number theory, it presents an algorithm about the value of the number of vertices contained in the ellipse, and obtains a formula of limit about the number of vertices and the square of short semi-axis of the ellipse. It is proved that the value of limit is connected with the area of the corresponding central polygon. The algorithm and the formula of limit are very useful for the study of related problems in other Archimedean tilings.

discrete geometry; Archimedean tiling; ellipse; central polygon; convex hull

1008-1542(2017)02-0143-08

10.7535/hbkd.2017yx02007

2016-08-12；

2017-02-01；責任編輯：張 軍

河北省自然科學基金(A2014208095)

魏祥林(1974—),女，河北張家口人，教授，博士，主要從事離散與組合幾何方面的研究。

E-mail:sd_wxl@126.com

O157.3 MSC(2010)主題分類：52C15

A

魏祥林，王衛琪. 關于[4.8.8]鋪砌中橢圓上D-點數的研究[J].河北科技大學學報,2017,38(2):143-150.

WEI Xianglin , WANG Weiqi. Research about the number ofD-points of [4.8.8]-tiling in given ellipse[J].Journal of Hebei University of Science and Technology,2017,38(2):143-150.