讓兒童經歷數學模型再造過程
——以蘇教版四上《解決問題》教學為例

江蘇省揚州市東關小學 胡正梅

讓兒童經歷數學模型再造過程
——以蘇教版四上《解決問題》教學為例

江蘇省揚州市東關小學 胡正梅

數學模型指對于現實世界的某一特定對象，為了某個特定目的進行必要的簡化和假設，運用數學工具得到的一個數學結構。鄭毓信教授在《國際視角下的小學數學教育》一書中論述：第一，在數學教學中我們應當關注利用學生已有的數學經驗和知識，特別是，我們應善于將“日常數學”用作學校數學學習的出發點和必要背景。第二，教師應當努力幫助學生實現由“日常數學”到“學校數學”的過渡。具體來說，這種過渡在一定程度上既可被看成是一種抽象活動，也是將著眼點由原先的現實情境轉移到內在的（深層次）數量關系。第三，教師應十分重視如何幫助學生把學校中所學到的數學應用于社會實際生活。這一思想是對數學模型構建的具體闡述。引導兒童在生活問題中發現數學問題，初步構建數學模型，然后優化數學模型，再應用數學模型的經驗來解決生活問題，才是將數學學習回歸生活的真正目的。

一、問題情境——從日常數學向學校數學的過渡

將生活問題引到課堂上，根據問題的特征和目的對問題進行簡化，提煉有效的數學信息，并用精確的數學語言來描述，形成一般數學問題。生活問題情境可以激活學生頭腦中原有的生活經驗，他們用積累的經驗來感受其中的數學問題，提高學習的興趣，建立符合自己經驗的認知結構。

從日常數學到學校數學，問題有助于兒童形成認知與思維模型，形成的數學模型游離于具體材料之外，進而促進學生數學觀念的形成。如教材第9頁例2，主題圖呈現了買繩子的情境，學生根據“可以分給多少個班，還剩多少根”，把一些物體平均分，用除法計算。為了更好地促進學生思維模型的形成，教材先安排估計380÷30的商大約是多少，30×10=300，30×20=600，發現商應該在10-20之間，通過區間估計商是十幾，形成思考方向，激活了商是兩位數的計算經驗，形成思考數學問題的一般模型。

二、探究建模——經歷數學模型再造過程

1．一次建模

一次建模的主要任務是抽象出數學問題，將文字語言翻譯成數學語言，將生活問題抽象出數學問題。正如鄭教授論述的從生活數學向學校數學的抽象，抽象的過程就是建模的過程，抽象出來的數學問題就是數模。建模經歷了對情境問題中蘊含的數學成分進行分析和描述的過程，從學生不正規的數學語言通過簡化和形式化不斷地向比較嚴格和正規的語言靠攏的過程。

（1）解讀情境。情境中的信息是建構數學模型的“基石”，情境中的信息一般比較多，關系也比較復雜，需要引導學生細致閱讀，深刻分解問題背景，根據問題的特征和建模的目的進行必要梳理。如教材第56頁例1，主題圖為栽樹的情境，有“3行桃樹”“8行杏樹”“4行梨樹”以及“桃樹每行7棵”“杏樹每行6棵”“梨樹每行5棵”六個已知條件。呈現特點：已知條件比較多，條件之間的直接聯系比較清楚，數量關系式簡單。學生明確桃樹的行數與每行棵數是一組，杏樹的行數與每行棵數是一組，梨樹的行數與每行棵數是一組，盡量掌握被建模對象的各種信息，發現實際問題的內在規律。

（2）抽象出數學問題。抓住主要信息，聯系已有的數學知識和方法，依據數量關系式，用精確的語言描述數學問題，問題的難易度也反映了兒童思維水平的高低。學生很容易找到數量關系式：桃樹總棵數=桃樹行數×每行棵樹，杏樹總棵數=杏樹行數×每行棵樹，梨樹總棵數=梨樹行數×每行棵樹，再求解桃樹、杏樹和梨樹棵數的問題、桃樹和梨樹一共棵數的問題就容易了。找到已知量之間的各種關系，利用條件與條件之間的聯系進行分析，從而抽象出數學問題。

2．二次建模

二次建模的主要任務是抽象出數學方法，將問題中的數量關系用數學式子、圖形或表格等形式表達出來，從而建立數學模型，進而求出數學問題的解。從數學問題中抽象出純數學的意義，這種意義表述或數學術語也是數模，經歷了對數學問題的深入探究過程。

（1）解答數學問題。在認知心理學家看來，解答問題通常被描述為搜索問題空間，而問題空間包括初始狀態、中間狀態和目標狀態。把解決問題的空間看作狀態的迷宮，把算子看作在其間移動的路徑，對某個問題的解答是通過搜索算子來實現的，問題的解決步驟實質就是一連串的算子序列。對于上述例題，利用數量之間的直接聯系，整理實際問題的已知條件和所求問題，體會“整理”對解決問題的積極作用，突出“整理”的策略。讓學生明白，利用條件與條件之間的直接聯系，可以整理條件；如果某些條件與所求問題沒有關系，可能是“多余”的條件，在整理方式上既可以從條件出發整理，也可以從問題出發整理（如下表）。

從條件出發整理：

桃樹 3行 每行7棵杏樹 8行 每行6棵梨樹 4行 每行5棵

從問題出發整理：

桃樹 3行 每行7棵梨樹 4行 每行5棵

整理條件后，鼓勵學生“根據數量之間的關系，確定先算什么，依據什么，再求什么”，感受從條件向問題推理和從問題向條件推理的不同，分析數量關系的策略，是產生解決問題的計劃與步驟的過程。

（2）抽象出數學結構。數學建模是一個提出問題、分析問題和解決問題的過程，需要具備一定的解決問題的策略，如列表整理、枚舉、假設、猜想、分類、類比等等。幫助學生找到解決問題的途徑和方法：首先，運用分析與綜合的方法，弄清現實情境中的條件和問題之間的數量關系，選擇一些解決問題的有效策略并構建恰當的數學模型，借助數學概念、數學符號、數學表達式或圖形簡潔、清晰地表達出來，接著，在建立數學模型的基礎上進行邏輯推理或數學演算，求出問題的解，最后，把數學模型中得到的解再回到問題中去，檢驗是否使問題得到了解決。本例題要明確解決問題主要經歷哪些步驟，就是弄清題意，找到已知條件和所求問題，列表整理條件，然后分析數量關系，設計解題計劃，并按解決問題的步驟，列出算式，算出得數，檢驗結果；最后是反思解題，交流體會。

三、解釋、評價模型——在比較中驗證模型的適切性

解釋模型是求解結果與實際情況相比較，以此來驗證模型的適切性。解釋模型過程就是模型與現實生活和學生經驗融合的過程，學生根據生活、知識經驗，用自己的語言進行解釋，逐漸轉化為他們更為獨特的個體經驗，運用模型解決生活問題。數學教學中的解決問題，其目的不只是得到問題的答案，而是提高學生解決問題的能力，培養解決問題的策略，形成不同的數學模型。這就是說，得到問題的結論不應是教學的結束，還要進一步積累解決問題的經驗，形成學生自己解決問題的有效策略。如教材第58頁例2水位下降情況記錄表，用表格呈現放水小時數和相應的水位下降厘米數，數量之間的對應關系十分清楚，而且解答思路不止一種。放水時間與水位下降高度是有規律地同時變化，水位每小時下降6厘米是不變的數量，它可以從“每2小時下降12厘米”得出。根據“每小時水位下降6厘米”能夠找到一種解法，利用“放水時間與水位下降高度按相同倍數變化”也能夠想到另一種解法。各種解法的結果應該相同，不同的解法可以相互驗證。教材中的想一想，求“如果經過12小時，水位一共下降多少厘米？”引導學生運用上述不同方法（模型）來求解，促進模型的進一步比較驗證，在應用中適時進行評價。