韋達定理在圓錐曲線中的應用

江蘇省如皋市第二中學(226500)

王曉紅●

韋達定理在圓錐曲線中的應用

江蘇省如皋市第二中學(226500)

王曉紅●

在圓錐曲線的求解過程中，我們常常需要設出很多的未知量，直線斜率、交點坐標、橢圓焦點等等.但我們一般不會詳細求解出未知量，而是設而不求，從而簡化計算過程.韋達定理以乘積、和的形式出現，正好體現了這類思想.在直線與橢圓、拋物線、雙曲線等圓錐曲線的交點問題中，韋達定理發揮了重要的作用.本文將對韋達定理在圓錐曲線中的使用展開討論.

一、在弦長求解方面的應用

例1 已知直線2x+y+4=0和圓x2+y2+2x-4y+1=0，求過兩者交點，且面積最小的圓的方程.

點評 本例屬于對韋達定理在弦長求解中的直接應用，思路清晰，題眼明了.直接利用題目給出的已知條件，按照上述求解思想和步驟進行.

例2 如圖所示，拋物線y2=4x的頂點是坐標原點，其中A點坐標為(5,0)，且線段OA與斜率為1的直線相交(O、A點非交點)，同時與拋物線有交點M、N，試求△MAN面積最大時的直線方程.

分析 欲求直線方程，首先設出直線方程為y=x+b，與拋物線聯立后消去變量y，得到一元二次方程x2+(2b-4)x+b2=0.繼續設出點M、N的坐標(x1,y1)、(y1,y2)，利用韋達定理便可以得到x1+x2與x1x2的值，代入弦長公式中，即可求出線段MN的長度.最后，結合點到直線距離，便可以表示出△MAN的面積公式，則可求出最值時的直線方程.

點評 韋達定理在弦長求解時，往往不會像例1那樣直接考查.而是像例2一樣，將弦長的應用蘊含在三角形面積、圓面積等其他考點中.但究其核心，其本質依然是“直曲聯立求韋達”，采用設而不求的思想，并結合平方和公式，利用弦長進行求解.

二、在弦中點方面的應用

例3 已知，PQ是拋物線y2=4x的動弦，過點(0,3)的直線l為動弦的中垂線，若設α為直線l的傾斜角，試問該傾角的取值范圍.

分析 欲求傾角的取值范圍，即是求解直線l的斜率，則設出直線l的方程為y=kx+3(k≠0)，順勢可以求得直線PQ的方程.此時，將直線PQ的方程與拋物線的方程聯立，可以得到關系式y2+4ky-4kb=0.進一步設出P、Q兩點的坐標，利用韋達定理可以得到PQ中點的坐標.將其回代到直線方程中，得到k、b關系式.結合一元二次方程Δ>0，便可以求出斜率k的取值范圍，則傾角取值也可求得.

點評 弦中點問題是韋達定理使用較為顯著的題型，其關鍵依然是“直曲聯立求韋達”，通過設出直線方程，交點坐標，同樣采用“設而不求”的思路，利用聯立所得到一元二次方程求出橫縱坐標之間的數量關系，最終實現順利求解.

總之，韋達定理在圓錐曲線中有著靈活的使用，以上針對韋達定理在拋物線與直線相交形成的弦長及弦中點求解的應用展開了論述.簡言之，其內核即是“直曲聯立求韋達”，再利用弦長公式、弦中點表達式實現對應問題的求解.

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1008-0333(2017)07-0027-01