基于BL時(shí)間序列模型的發(fā)展過(guò)程

王澤祎

(山東科技大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院 山東 青島 266590)

?

基于BL時(shí)間序列模型的發(fā)展過(guò)程

王澤祎

(山東科技大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院 山東 青島 266590)

通過(guò)總結(jié)時(shí)間序列模型ARMA模型的參數(shù)估計(jì)方法以及識(shí)別問(wèn)題，進(jìn)一步推出BL模型，給出了模型的定義以及各個(gè)變量的含義，然后再進(jìn)一步的引出BL模型的發(fā)展現(xiàn)狀，并引出最近比較熱的算法——遺傳算法。

BL模型;ARMA模型;遺傳算法;發(fā)展過(guò)程

一、時(shí)間序列模型

我們?nèi)粘Ｉ钪械慕?jīng)濟(jì)活動(dòng)比如股票金融的價(jià)格波動(dòng)都與時(shí)間序列模型息息相關(guān)，除了經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域，在自然人文領(lǐng)域都能使用到時(shí)間序列模型。那么，什么是時(shí)間序列模型呢？就是使用當(dāng)前或者過(guò)去的數(shù)據(jù)建立相應(yīng)的模型結(jié)構(gòu)，并根據(jù)相應(yīng)的模型預(yù)測(cè)此領(lǐng)域的未來(lái)情況。對(duì)于時(shí)間序列的分類情況，時(shí)間序列分為線性和非線性時(shí)間序列兩種，在線性時(shí)間序列模型中，有自回歸模型，滑動(dòng)平均模型和自回歸滑動(dòng)平均模型，并同時(shí)提出了其分辨方法、參數(shù)估計(jì)以及檢驗(yàn)方法的等一系列的原理，體現(xiàn)出時(shí)間序列的日漸成熟，但是在現(xiàn)實(shí)生活中，時(shí)間序列呈現(xiàn)出非線性的情況比較多，所以下文具體總結(jié)一下非線性的模型的一個(gè)特例——BL模型。在總結(jié)BL模型的理論之前，我們回顧一下下ARMA模型。

二、ARMA模型介紹

回歸滑動(dòng)平均模型(ARMA模型，Auto-RegressiveandMovingAverageModel)是研究時(shí)間序列的重要方法，由自回歸模型(簡(jiǎn)稱AR模型)與滑動(dòng)平均模型(簡(jiǎn)稱MA模型)為基礎(chǔ)構(gòu)成。其基本思想是：依賴時(shí)間一族的時(shí)間變量是某些時(shí)間序列的特點(diǎn)，雖然在單個(gè)序列值的序列上有不確定性，但是還是有一定的規(guī)律性在整個(gè)序列的變化上，近似序列可以應(yīng)用相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。對(duì)于應(yīng)用的此數(shù)學(xué)模型的研究分析，可以對(duì)時(shí)間序列的結(jié)構(gòu)和特征具有更深層的理解，在最小方差意義下達(dá)到最好的預(yù)測(cè)。當(dāng)時(shí)間序列y(t)是它的前期值的線性函數(shù)和當(dāng)期和前期的隨機(jī)誤差項(xiàng)，那么表達(dá)為：

Yt=φ1Yt-1+φ2Yt-2+…+φpYt-p+ut-θ1ut-1-…-θqut-q

ARMA模型的識(shí)別分為以下幾種：

(1)若平穩(wěn)序列xr的自相關(guān)函數(shù)是拖尾的，偏自相關(guān)函數(shù)是截尾的，則序列xr是AR序列。(2)若平穩(wěn)序列xr的自相關(guān)函數(shù)是截尾的，偏自相關(guān)函數(shù)是拖尾的，則序列xr是MA序列。(3)若平穩(wěn)序列xr的自相關(guān)函數(shù)與偏自相關(guān)函數(shù)都是拖尾的，則xr是ARMA序列。

時(shí)間序列模型是建立在線性模型基礎(chǔ)上，以參數(shù)化模型處理動(dòng)態(tài)隨機(jī)數(shù)據(jù)的一種實(shí)用方法。AR模型、MA模型和ARMA模型是平穩(wěn)時(shí)間序列模型中最常用的三種形式。在時(shí)間序列分析中，矩估計(jì)是一種常用的模型參數(shù)初步估計(jì)方法。矩估計(jì)方法，尤其是低階ARMA模型場(chǎng)合下的矩估計(jì)方法具有計(jì)算量小、估計(jì)思想簡(jiǎn)單直觀，且不需要假設(shè)總體分布的特點(diǎn)。但是矩估計(jì)方法是一種比較粗糙的估計(jì)方法，它的估計(jì)精度一般較差，因此它常被用做極大似然估計(jì)和最小二乘估計(jì)迭代計(jì)算的初始值。

在極大似然準(zhǔn)則下，認(rèn)為樣本來(lái)自使該樣本出現(xiàn)概率最大的總體。因此未知參數(shù)的極大似然估計(jì)就是使得似然函數(shù)(即聯(lián)合密度函數(shù))達(dá)到最大的參數(shù)值。使用極大似然估計(jì)必須已知總體的分布函數(shù)。

極大似然估計(jì)充分應(yīng)用了每一個(gè)觀察值所提供的信息，因而它的估計(jì)精度高，同時(shí)還具有估計(jì)的一致性、漸近正態(tài)性和漸近有效性等許多優(yōu)良的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，是一種非常優(yōu)良的參數(shù)估計(jì)方法。

在時(shí)間序列分析中，序列總體的分布通常是未知的。為了便于分析和計(jì)算，通常假設(shè)序列服從多元正態(tài)分布。

三、BL(p,q,P,Q)模型

自回歸滑動(dòng)平均模型(ARMA模型)的非線性推廣模型之一就是BL模型。產(chǎn)生的殘差信息在預(yù)測(cè)過(guò)程中能夠被BL模型利用。模型結(jié)構(gòu)、參數(shù)少和擬合能力強(qiáng)等特點(diǎn)常常是BL模型的優(yōu)勢(shì)方面，因而它是有現(xiàn)實(shí)應(yīng)用價(jià)值的非線性時(shí)間序列模型。

BL(p,q,P,Q)模型的一般形式為：

其中，εt～I(xiàn)ID(0,σ2);aj為自回歸(AR)模型項(xiàng)的系數(shù)；bk為滑動(dòng)平均(MA)模型項(xiàng)的系數(shù)；cjk為雙線性項(xiàng)的系數(shù)：p,q,P,Q分別為這三項(xiàng)的階數(shù)。顯然，BL(p,q,0,0)是目前在時(shí)間序列中應(yīng)用最廣泛的自回歸滑動(dòng)平均模ARMA(P,Q)。BL模型的主要特點(diǎn)就是能夠在ARMA模型的基礎(chǔ)上進(jìn)一步考慮了預(yù)測(cè)殘差的過(guò)去值εt-k與系統(tǒng)數(shù)據(jù)的過(guò)去值xt-j之間的交互作用對(duì)當(dāng)前值xt的影響，當(dāng)xt固定時(shí)，BL模型就成為了關(guān)于εt-k的線性模型:同理，當(dāng)εt-k固定時(shí)，BL模型就成為了關(guān)于xt-k的線性模型，因此BL模型成為雙線性模型。可見，BL模型實(shí)質(zhì)上就是ARMA模型的非線性推廣形式。

四、BL(p,q,P,Q)模型相關(guān)研究現(xiàn)狀

自回歸滑動(dòng)平均模型的非線性推廣模型之一就是BL模型，因?yàn)锽L模型本身就有簡(jiǎn)單的，并且可以準(zhǔn)確的估計(jì)未來(lái)的殘差，所以BL模型是較具對(duì)于線性時(shí)間序列模型，矩估計(jì)、極大似然估計(jì)和最小二乘估計(jì)是常用的線性估計(jì)方法，對(duì)于BL模型的參數(shù)估計(jì)，以前的學(xué)者已經(jīng)做了很多的工作，現(xiàn)在主要的方法有以下三種：

SubbaRao(1981)對(duì)于BL時(shí)間序列模型利用Newton-Raphson方法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，有很多優(yōu)勢(shì)可以體現(xiàn)在這里，例如，BL模型可以提供滿意的結(jié)果通過(guò)公式的簡(jiǎn)單表示。但是運(yùn)用這種方法不能確定是否收斂，或者不能確定是否是局部收斂還是完全收斂，所以用BL方法需要學(xué)者們親自驗(yàn)證其收斂性。但是為了能夠確保其收斂，我們提出以下估計(jì)方法。

反復(fù)殘差法的提出對(duì)于BL模型是一種特別好用的參數(shù)估計(jì)方法，然而反復(fù)殘差法是反復(fù)使用最小二乘法的前提下估計(jì)參數(shù)模型，所以計(jì)算程序多，過(guò)程復(fù)雜，不易操作。所以看出BL模型在某種程度上限制其發(fā)展和使用，為了能夠優(yōu)化BL模型，遺傳算法由Holland(1975)提出。

一種基于生物進(jìn)化過(guò)程的組合優(yōu)化方法是遺傳算法的核心，遺傳算法是計(jì)算機(jī)和生物學(xué)科學(xué)的融合。物競(jìng)天擇，適者生存是生命進(jìn)化的真理，也是形成遺傳算法的理論核心，即是從數(shù)據(jù)中選取最滿足的方式組成新的團(tuán)體滿足子集的需要，通過(guò)這樣可以優(yōu)化BL理論模型。這樣我們可以從遺傳算法中彌補(bǔ)BL模型的弱點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)高效便捷的新方法，同時(shí)也彌補(bǔ)了反復(fù)殘差法的不足，不但可以估計(jì)參數(shù)，而且收斂可以得到局部最優(yōu)解。

基于這一思想，可以利用遺傳算法來(lái)優(yōu)化BL模型，優(yōu)化過(guò)程主要分為以下三步:

第一步，先用自相關(guān)分析技術(shù)確定BL模型的自回歸項(xiàng)的階數(shù)。

第二步是根據(jù)自回歸項(xiàng)和建模經(jīng)驗(yàn)確定BL模型的滑動(dòng)平均項(xiàng)和雙線性項(xiàng)。

最后一步就是利用遺傳算法(G助優(yōu)化BL模型參數(shù)

從以上BL模型歸納中可以發(fā)現(xiàn)，BL模型隨著時(shí)代的發(fā)展而發(fā)展，不斷滿足人們經(jīng)濟(jì)、文化、社會(huì)的需要，并且未來(lái)的發(fā)展前景被世人看好。

[1]譚理想.雙線性時(shí)間序列模型的Lasso方法定階[D].南京大學(xué),2012.

[2]安瀟瀟.ARMA相關(guān)模型及其應(yīng)用[D].燕山大學(xué),2008.

[3]賈民平,黃仁.雙線性時(shí)間序列BL(n,m,p,l)模型的平穩(wěn)性和可逆性[J].東南大學(xué)學(xué)報(bào),1991,(05):81-87.

王澤祎(1993-)，女，漢族，山東諸城人，經(jīng)濟(jì)學(xué)碩士在讀，研究方向：保險(xiǎn)精算與風(fēng)險(xiǎn)管理。