綜合應用冪的運算法則

綜合應用冪的運算法則

徐愛明

冪的運算是代數演算的重要基礎，同學們不僅要熟練掌握冪的運算法則，還要領會冪的運算法則的內涵.現選擇幾道中考試題和同學們一起賞析.

例1對實數a、b，定義運算☆如下：

例如：2☆3=2-3=18.

計算：［2☆（-4）］×［（-4）☆（-2）］=.

【分析】根據算式a☆b中a與b的大小，選擇定義運算中相應的運算法則進行計算.

【評注】解答此類問題的關鍵是正確理解新定義運算，進而將新定義運算轉化為冪的運算求解.

例2比較255、344、433的大小，結果是（）.

A.255＜344＜433

B.433＜344＜255

C.255＜433＜344

D.344＜433＜255

【分析】觀察發現，指數55、44、33都是11的倍數，考慮逆用冪的乘方的法則，將255、344、433化成指數相同的冪的形式，將問題轉化為比較底數的大小求解.

解：255=25×11=（25）11=3211，344=34×11=（34）11= 8111，433=43×11=（43）11=6411，

∵32＜64＜81，

∴255＜433＜344，故選C.

【評注】本題考查了冪的乘方法則，解答關鍵是將各個數轉化成相同指數的冪的形式，進而轉化為比較底數的大小.

變式1：已知x3=2，求x9的值.

解：x9=（x3）3=23=8.

變式2：已知x3=2，求x2?x+x4?x2的值.

解：x2?x+x4?x2=x3+x6=x3+（x3）2=2+22=6.

【評注】以同學們目前掌握的知識難以由x3=2求出x的值，因此運用整體思想求解，即將x9用含x3的式子表示出來，然后代入求值.

【拓展】已知x、y滿足x+2y+1=0，

（1）求2x+2y的值；

（2）求2x?4y的值.

【分析】（1）利用整體思想，將x+2y看成一個整體求解；（2）先化成同底數的冪，然后運用冪的運算法則計算，最后利用整體思想求解.

【評注】運用整體思想是求解此類求值題的關鍵所在.

例3如果等式（2a-1）a+2=1，則a的值為

.【分析】冪等于1的情形有三種：①a0=1（a≠0）；②1n=1（n為整數）；③（-1）n=1（n為偶數）.

解：當a+2=0，即a=-2（滿足2a-1≠0）時，（2a-1）a+2=1.當2a-1=1，即a=1時，（2a-1）a+2=1.當2a-1=-1，即a=0時，（2a-1）a+2=1.綜合知，a的值為-2、1、0.

【評注】解答本題容易出現遺漏，特別是第三種情形.

江蘇省鹽城市尚莊初級中學）

延伸閱讀

二進制記數法

隨著社會的進步，數學記數法也在不斷地發展，讓我們一起去了解在這演變過程中的一個記數法——二進制記數法.二進制記數法，是以2為基數的基數記數法，所用的數位為0、1，權是2的整數次冪.權就是進制的基底的n次冪，如二進制的權就是2n了.17世紀后半葉，德國數學家萊布尼茨，結合中國的陰陽學說進一步完善了二進制.在二進制中，他形象地用1表示上帝，用0表示虛無，上帝從虛無中創造出所有的實物，恰好在數學中用1和0表示了所有的數.在二進制中，只有兩個數碼：1和0，其他任何數都用一行0，1表示，加法和乘法規則僅由1+0和1×0組成.

二進制一出現，就深受科技界的歡迎，因為它使運算更加方便.隨著電子計算機的廣泛應用，二進制進一步大顯身手.因為電子計算機是用電子元件的不同狀態來表示不同的數碼.如果要用十進位制就要求元件能準確地變化出十種狀態，這在技術上是非常困難的.而二進制只有兩個數碼1和0，只需要兩種狀態就能實現.正如一個開關只有“開”和“關”兩種狀態一樣.如果用“開”表示0，“關”表示1，那么一個開關的兩種狀態就可以表示一個二進制數，五個開關就可以表示五個二進制數，這樣運算起來就非常方便.順便提一下，二進制數可以根據不同的需要轉換為八進制、十進制、十六進制數.