巧用矩形對角線

顧嘯敏

巧用矩形對角線

顧嘯敏

平行四邊形是近幾年各地中考考查的重點知識，而矩形又是特殊的平行四邊形，對角線相等是矩形的重要性質之一，如果能巧妙地利用這個性質，可以使某些問題得到簡單而快捷的解決.

一、計算求值

例1如圖1，在?ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，若E、F是AC上兩動點，E、F分別從A、C兩點同時以1cm/s的相同速度向C、A運動.

（1）四邊形DEBF是平行四邊形嗎？并說明理由.

（2）若BD=10cm，AC=16cm，當運動時間t為多少時，四邊形DEBF為矩形.

圖1

【分析】（1）判定平行四邊形的方法有很多種，可通過證明△ADE≌△CBF、△ABE≌△CDF，利用兩組對邊分別相等或者一組對邊平行且相等來證明，這里利用對角線互相平分來判定平行四邊形最為簡捷.

（2）?DEBF在運動過程中要成為矩形，只需滿足對角線相等即可.這里還要注意E、F兩個動點運動的位置可能在點O的上方，也有可能在點O的下方，不能遺漏.

解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴OA=OC，OB=OD.

∵E、F是兩動點，運動的速度相同，

∴AE=CF，

∴OA-AE=OC-FC，

即：OE=OF，

∴四邊形DEBF是平行四邊形.

（2）當DB=EF時，四邊形DEBF為矩形.

當點E在點O的下方時，

10=16-2t，t=3；

當點E在點O的上方時，

10=2t-16，t=13.

∴當t=3s或13s時，四邊形DEBF為矩形.

二、證明相等

例2如圖2，在正方形ABCD中，E是對角線AC上的一點，EF⊥CD于點F，EG⊥AD于點G.求證：BE=FG.

圖2

【分析】通過觀察，線段BE與FG所在的三角形不可能全等，它們也不在同一個四邊形中，不能利用特殊四邊形的性質，所以直接證明它們相等非常困難.但如果構造矩形的對角線，利用對角線相等的性質進行轉化，問題就可以迎刃而解了.

三、推導定理

例3已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，點O是AC的中點，求證：OB=AC.

【分析】證明線段的倍分關系通常轉化為證明兩條線段的相等，加倍延長BO到D，可以證明四邊形ABCD是矩形，從而利用矩形的性質得到結論.

圖3

證明：如圖3，延長BO到D，使OD=OB，連接AD、CD.

∵OA=OC，OB=OD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

又∵∠ABC=90°，

∴?ABCD是矩形，∴BD=AC，2OB=AC，

例3的結論用文字語言描述為：“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”，這個定理在幾何計算和證明中的應用非常廣泛.

四、探求最值

例4如圖4，線段AB的長為2，C為AB上一個動點，分別以AC、BC為斜邊在AB的同側作兩個等腰直角三角形，求線段DE長度的最小值.

圖4

【分析】當點C在線段AB上運動時，點D、E隨之運動，線段DE長度也隨之變化，但等腰直角三角形的形狀沒有改變，∠A、∠B的度數一直是45°，假設延長AD、BE交于點G，則△ABG也是等腰直角三角形，四邊形DCEG是矩形，根據矩形對角線相等的性質，線段DE轉化為GC，從而利用“垂線段最短”的性質巧妙地解決問題.

圖5

解：如圖5，延長AD、BE交于點G，連接CG，則△ABG為等腰直角三角形，四邊形DCEG為矩形，∴DE=GC.

∴線段DE長度的最小值為1.

此解法通過添加適當的輔助線，巧妙地構造矩形，利用矩形對角線相等的性質將DE轉化為GC，利用“垂線段最短”直接求解，避免了復雜的代數運算，較為簡捷.

江蘇省寶應縣實驗初級中學）