巧用反例妙處多
——淺析初中數學教學中反例的運用

巧用反例妙處多
——淺析初中數學教學中反例的運用

■姚 軍

為了提高數學教學的有效性，培養初中學生的抽象邏輯思維，教師可充分利用反例教學，引導學生從反例求解，幫助學生加深對數學知識的理解。

初中數學反例邏輯思維

數學問題中的反例，通常指一些雖然符合原命題條件，但不符合原命題結論的命題。反例與證明推動了數學學科的發展，反例具有的簡潔直觀、說服力強等特點，決定了其在數學教學中無法替代的作用。在數學課堂上，恰當運用反例，可引導學生從反面來思考問題，由此幫助學生提升邏輯思維能力與數學素養。

一、用反例深化知識理解

在初中數學課堂上，經常會產生一些較為抽象的理論知識，在講解知識的過程中，假如只從正面來論述，初中生經常會覺得無法理解，或者出現模糊不清等現象，此時配合一些反例，就可達到良好的效果。在日常學習中，概念與公式屬于理論知識的基礎，學生很容易混淆。針對此種情況，教師就需要對一些容易混淆的概念，構建反例，從反面消除學生的模糊認識，由此幫助學生正確理解數學知識，培養學生的邏輯思維。但引入反例時，教師需要考慮到學生的年齡特點與學習基礎，同時注意反例的合理性。

案例1在引導學生學習“無理數與有理數”的概念時，教師在課堂上引導學生展開討論：“兩個無理數的和（差）必然是無理數么？”有些學生回答是，有些學生回答不是。此時教師可引導學生思考并舉出反例來說明，最終總結出一個反例：互為相反數的兩個無理數的和（差）為有理數。在這個問題的基礎上，教師可繼續提問：“兩個有理數的和（差）是否一定是有理數？兩個無理數的積是不是一定是無理數？”通過對這些問題進行深入探究，可以幫助學生正確理解無理數以及有理數的概念，同時還可幫助學生理清無理數與有理數間的關系。

案例2在學習“三角形全等判定方法”時，有很多學生對條件中的夾角理解不透徹，如果將夾角改為一邊的對角，兩個三角形是不是全等？為了幫助學生深入思考，教師可構造如下反例：

在△ABC中，點D是BC上的一點，已知AD= AC，在△ABD與△ABC中，AB=AB，AD=AC，∠ABD=∠ABC，滿足兩個三角形的兩邊與一邊的對角相等，但這兩個三角形并不是全等。通過這一反例，學生就可深入體會夾角的必要性，避免產生慣性錯誤。

二、用反例培養邏輯思維

在初中數學課堂上，假如教師能夠恰當運用反例，就能順利突出教學重點，培養學生思維的縝密性。對于反例教學，關鍵要重視引入反例的合理性，初中生并未形成完整的知識結構，思維還有一定的局限性，因此，想要引入反例，就必須要考慮到反例的可行性。此外，在教學過程中，反例的構建也非常關鍵，這需要將整個思維過程展示出來。反例與推理過程的結合，能培養學生的發散思維與縝密思維。構建反例的方法非常多，比如想象、推理等。

案例3在講解判斷題“對于自然數，n2-3n+7都是質數”時，教師在課堂上可引導學生舉出反例，學生最容易聯想到的就是代入特殊的數值來演算，如從0開始代入演算，當學生演算到6時，就會發現n2-3n+7不是質數。在此基礎上，教師可再次提出命題：“對于自然數，n2-n+11都為質數。”引導學生構建反例，但一般還未驗證到10，就會有學生認為結論正確，此時就會出現思維漏洞，不難發現，n=11時，這個命題不成立，n2-n+11不是質數。

在課堂上，引入反例，能夠使學生發現自身的錯誤，及時改正，同時還可補充數學知識，讓學生學會從不同的角度去思考問題。對于教師來說，則可通過反例總結教學經驗，及時調整教學策略，由此提高教學效果。

三、構建反例，揭露錯誤

在數學教學中，構造反例在辨析錯解方面具有直觀、說服力強等特點，因此在列舉反例、揭露錯誤時就能夠使學生產生深刻的印象。

案例4例如在講解“求關于x的方程x2-（k-2）x+（k2+3k+5）=0的兩個實根的平方和的最大值”時，假設原方程有兩實根x1，x2，由韋達定理可得：x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=（k-2）2-2（k2+3k+ 5）=-（k+5）2+19，當k=-5時，兩根平方和有最大值為19。乍一看，運算好像沒有錯誤，而且韋達定律運用得很正確。但實際上，這并沒有考慮到韋達定律運用的重要前提是方程有實數根。此時，教師就可引導學生構建反例：當k=-5時，△=-11＜0，原方程無根。

通過反例，證明原解法是不正確的，造成失誤的關鍵原因是忽略了兩根必須是實根的條件。正確的解法是，解得時，原方程存在實根。由x12+x22=-（k+5）2+19，可知當k≤-4時，兩實根平方和有最大值18。通過這一反例，學生發現了解題錯誤之處，也加深了對韋達定理的認識。

四、用反例培養逆向思維

在學習數學知識的過程中，假如學生總是采用固定的思維模式來思考問題，就會限制學生的思維，影響解題效率。當學生遇到一些較為復雜的問題時，從正面角度思考問題，較難解決，但假如運用逆向思維的形式就能夠迎刃而解，最便捷的方法就是構造反例。

案例5在數學課堂中，命題判斷證明是較為常見的一類題目，也是學生很容易出錯的題目。有時候學生會按照常規的思維邏輯來推理，解題的過程會更加復雜，很容易影響學生的判斷能力。例如“如果2x+y=0，則x=y=0”，從常規的思維邏輯入手，判斷這一命題為假命題，過程如下：當x=-1，y=2，滿足2x+y=2×（-1）+2=0，但x≠0，y≠0，因此這一命題是假命題。在教學中，教師可引導學生通過列舉反例來推翻這一命題，此時僅需找到x≠0或y≠0的情況，且滿足2x+ y=0的條件，如此便可證明命題是假命題。這一題目假如按照常規的邏輯思維來判斷，很難找到突破點，且證明的過程也非常復雜。但借助反例來判斷，從逆向思維角度來分析，就能夠輕松得出證明結果，如此便可提高解題效率。

綜上所述，在數學課堂上引入反例，可加深學生對數學概念以及基礎知識的理解，發現并糾正學習中出現的錯誤，培養學生思維的縝密性，引導學生從反面去思考問題，逐步完善知識結構，提高學習效果。

（作者為江蘇省高郵市甘垛鎮澄陽初級中學教師）