給定電勢(shì)導(dǎo)體球與極板體系的電勢(shì)與電場(chǎng)

黃 爽，郭 偉，吳 娟，高 欣

(貴州大學(xué)物理學(xué)院，貴陽(yáng) 550025)

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給定電勢(shì)導(dǎo)體球與極板體系的電勢(shì)與電場(chǎng)

黃 爽，郭 偉，吳 娟，高 欣

(貴州大學(xué)物理學(xué)院，貴陽(yáng) 550025)

用多重鏡像法研究了在外加電場(chǎng)中給定電勢(shì)的導(dǎo)體球和極板體系的電場(chǎng)分布、電勢(shì)問(wèn)題。給出了計(jì)算鏡像電荷和偶極矩的理論推導(dǎo)和計(jì)算方法，通過(guò)得到的鏡像分布，計(jì)算并討論了空間電場(chǎng)分布，得到了球上電勢(shì)與一階鏡像電量的關(guān)系，指出對(duì)于該體系，不能通過(guò)球的電勢(shì)直接確定電量，而是應(yīng)先用鏡像法確定電勢(shì)和電量的關(guān)系，再根據(jù)給定的電勢(shì)確定電量，而后再應(yīng)用鏡像法計(jì)算和分析電荷、電場(chǎng)和電勢(shì)分布。

導(dǎo)體球；鏡像法；電勢(shì)；電偶極矩；電場(chǎng)

球體在電場(chǎng)中的極化或靜電感應(yīng)，是很多研究領(lǐng)域的基本問(wèn)題。導(dǎo)體球在外電場(chǎng)中發(fā)生靜電感應(yīng)，會(huì)導(dǎo)致電荷分布和空間電場(chǎng)發(fā)生改變，尤其是當(dāng)導(dǎo)體球本身帶電的時(shí)候，情況會(huì)變得更為復(fù)雜。球體在均勻電場(chǎng)中，電場(chǎng)分布有嚴(yán)格的解析解[1-2]。但當(dāng)導(dǎo)體球接近極板時(shí)，極板上的電荷分布會(huì)受到導(dǎo)體球上電荷的影響。計(jì)算了導(dǎo)體球接近極板時(shí)的情況，對(duì)于給定電勢(shì)的導(dǎo)體球，導(dǎo)體球上會(huì)帶有電荷，應(yīng)用球上所帶的電荷量來(lái)確定球上的電勢(shì)。實(shí)際上，當(dāng)導(dǎo)體球接近極板的時(shí)候，球與極板之間的電場(chǎng)不再是簡(jiǎn)單的均勻電場(chǎng)和球的感應(yīng)電場(chǎng)的疊加，因?yàn)闃O板上的電荷分布也發(fā)生了變化。此外，球與極板之間的電場(chǎng)，還取決于極板的電勢(shì)。

從電動(dòng)力學(xué)理論發(fā)展起來(lái)的鏡像法被廣泛采用來(lái)處理有對(duì)稱性的導(dǎo)體球體系[3-5]，最早由Thomoson提出[6]。因?yàn)槠湮锢韴D像清晰、計(jì)算精度高、計(jì)算速度快等優(yōu)點(diǎn)，被普遍采用。很多研究者采用鏡像法處理在外電場(chǎng)中兩個(gè)接近的導(dǎo)體球的靜電感應(yīng)、電荷、電場(chǎng)分布及相互作用等問(wèn)題[7-13]。對(duì)于給定電勢(shì)導(dǎo)體球的研究工作較少。Bosch等人[14]指出，當(dāng)球的電勢(shì)給定為UB時(shí)，其帶的電量可以用

(1)

來(lái)確定，再根據(jù)這個(gè)確定好的電量，用鏡像法去求解電場(chǎng)分布。高欣等人[15]發(fā)展了多重鏡像法，可以計(jì)算等電勢(shì)導(dǎo)體球體系的電場(chǎng)分布，但并未涉及給定電勢(shì)。

本文中，我們將基于多重鏡象法，分析給定電勢(shì)導(dǎo)體球靠近極板時(shí)，極板和球上的電荷分布，以及球和極板間的電場(chǎng)分布，澄清給定電勢(shì)的導(dǎo)體球上電量對(duì)電勢(shì)的依賴關(guān)系。

1 理論計(jì)算

考慮如圖1所示的體系，極板A和C之間為均勻電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度由兩個(gè)極板的電勢(shì)確定。半徑為R的導(dǎo)體球置于靠近極板A的位置，球面距極板距離為L(zhǎng)，電勢(shì)由外接電源給定。在這種情況下，無(wú)論極板電勢(shì)還是電場(chǎng)強(qiáng)度改變，球上電勢(shì)始終恒定。假設(shè)球上電量為q1，當(dāng)不考慮外加電場(chǎng)時(shí)，由電勢(shì)的唯一性原理可知，電荷均勻分布在球面，球外電場(chǎng)可看成球心位置處電量為q1的點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)。當(dāng)導(dǎo)體球不帶電時(shí)，在外加均勻電場(chǎng)中導(dǎo)體球發(fā)生靜電感應(yīng)，球外電場(chǎng)可以等效為位于球心的電偶極矩PB,1=4πε0R3E0，所產(chǎn)生的電場(chǎng)與均勻電場(chǎng)的疊加。

圖1 均勻電場(chǎng)給定電勢(shì)的導(dǎo)體球Fig.1 Conducting sphere in the given potential of uniform electric field

當(dāng)球離極板較遠(yuǎn)時(shí)，球?qū)O板上電荷分布的影響可以忽略。當(dāng)球靠近極板時(shí)，球上的電荷又會(huì)影響極板上的電荷分布。這里只考慮較簡(jiǎn)單的情況，球靠近極板A，離極板C非常遠(yuǎn)，因此球上電荷分布對(duì)極板C的影響不需考慮，而僅考慮球?qū)O板A的影響，如圖2所示。假設(shè)均勻電場(chǎng)E0=105V/m，方向沿水平方向向右，極板A的電勢(shì)為UA，導(dǎo)體球的半徑R=3.15×10-3m，球面到極板A的最近距離L=2.5×10-2m，導(dǎo)體球的電勢(shì)由接地電動(dòng)勢(shì)提供，恒定為UB。

根據(jù)無(wú)限大導(dǎo)體平面的鏡象法理論[16]，點(diǎn)電荷q1在極板中的鏡像電荷為到極板等距的異號(hào)電荷，相應(yīng)的電偶極矩鏡像為極板左側(cè)相同距離處方向、大小都相同的電偶極矩。極板中鏡像電荷又會(huì)在球內(nèi)產(chǎn)生第二階鏡像[15]：

(2)

(3)

(4)

其中，d=L+R，是球心到極板的距離，rA,2是鏡像電荷和偶極矩到球心的距離。電偶極矩在導(dǎo)體球內(nèi)的鏡像包括處于同一位置的一個(gè)電偶極矩和一個(gè)鏡像電荷，式(3)中第二項(xiàng)為電偶極矩在球內(nèi)產(chǎn)生的鏡像電荷。同樣，球內(nèi)的二階鏡像電荷和偶極矩又會(huì)在極板產(chǎn)生二階鏡像，依次類推，可以得到各階鏡像電荷和偶極矩的通式。球內(nèi)的第i階鏡像為：

(5)

(6)

(7)

其中，rB,i表示第i階鏡像到球心的距離。極板內(nèi)的第階鏡像：

PA,i=PB,i

(8)

qA,i=-qB,i

(9)

rA,i=rB,i

(10)

其中，rA,i表示極板內(nèi)第i階鏡像距離極板內(nèi)第一階鏡像的距離。

圖2 鏡像電荷分布Fig.2 Image charge distribution

(11)

(12)

可求出導(dǎo)體球B上的電勢(shì)。

2 計(jì)算結(jié)果及討論

給定導(dǎo)體球上最初帶有的不同電量，根據(jù)式(11)計(jì)算得到的極板與球之間軸線上的電場(chǎng)分布如圖3所示。從圖3 中可以看出，不管球上是否帶電，以及帶有何種電荷，靠近導(dǎo)體球位置電場(chǎng)強(qiáng)度都會(huì)增強(qiáng)。當(dāng)球上帶有負(fù)電荷時(shí)，電量越大，靠近球邊緣電場(chǎng)強(qiáng)度越高。當(dāng)電量足夠大的時(shí)候，極板與球之間的電場(chǎng)都會(huì)有明顯的增加。當(dāng)電量減小為零，靠近球的位置電場(chǎng)方向依然為正，且有顯著增強(qiáng)。電荷為正時(shí)，如果電量較小，球邊緣電場(chǎng)強(qiáng)度并沒有改變方向，而且依然有明顯的增強(qiáng)。當(dāng)正電荷的電量較大時(shí)，靠近球的電場(chǎng)強(qiáng)度會(huì)有電場(chǎng)方向的改變，也就是說(shuō)，極板與球之間，電場(chǎng)強(qiáng)度先是接近沒有球存在時(shí)的均勻正向電場(chǎng)的強(qiáng)度，離球越近，電場(chǎng)緩慢下降，直到為零，之后越靠近球，電場(chǎng)強(qiáng)度又迅速增加，且為反向電場(chǎng)。

圖3 導(dǎo)體球帶不同電荷量時(shí)，極板與導(dǎo)體球間的電場(chǎng)分布Fig.3 The distribution of electric field between the plate and the conducting sphere when the charge volume of the conducting sphere is different

球上初始電量不同時(shí)，可以根據(jù)式(12)計(jì)算極板與導(dǎo)體球間相應(yīng)的電勢(shì)差，如圖4所示。從圖中可以看出，電勢(shì)差與電量滿足線性關(guān)系。對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行擬合，得到導(dǎo)體球電勢(shì)跟電量的函數(shù)關(guān)系：

UB=2.534×1012×q1-2 814.4+UA

(13)

而如果用文獻(xiàn)[14]中給出的公式(1)代入本例中相應(yīng)的參數(shù)，則為：

UB=2.855×1012×q1-2 815+UA

(14)

對(duì)比發(fā)現(xiàn)，其對(duì)應(yīng)的比例系數(shù)有本質(zhì)的差別。可見，直接按照文獻(xiàn)[14]中給出的方法，通過(guò)導(dǎo)體球上的電勢(shì)來(lái)確定導(dǎo)體球的一階鏡像電荷，會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)果。相反，用鏡像法處理這種給定電勢(shì)體系，只能先根據(jù)體系參數(shù)，通過(guò)球上不同的一階鏡像電荷值，來(lái)計(jì)算球上的電勢(shì)，再根據(jù)擬合公式，就可以確定導(dǎo)體球上給定電勢(shì)其所相應(yīng)的一階電荷量。

圖4 極板與導(dǎo)體球之間的電勢(shì)差隨導(dǎo)體球帶電量的變化關(guān)系Fig.4 The relationship of the potential difference between the plate and the conducting sphere with the charge amount of conducting sphere

3 結(jié)論

本文介紹了多重鏡像法在極板與給定電勢(shì)導(dǎo)體球體系中的應(yīng)用，詳細(xì)推導(dǎo)了多重鏡像法的遞推迭代公式。用得到的鏡像分布求電場(chǎng)分布及導(dǎo)體球的電勢(shì)，得到了導(dǎo)體球電勢(shì)與球上一階電量的函數(shù)關(guān)系。通過(guò)對(duì)比分析發(fā)現(xiàn)，直接用給定電勢(shì)無(wú)法確定導(dǎo)體球上的一階鏡像，必須先根據(jù)給定體系的參數(shù)，通過(guò)鏡像法給出電勢(shì)與一階鏡像的函數(shù)關(guān)系，來(lái)確定一階鏡像的電量，再通過(guò)鏡像法計(jì)算電荷分布、電場(chǎng)分布。

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The potentials and electric field distribution of the system including an electrode and a conducting sphere with fixed potential

HUANG Shuang, GUO Wei, WU Juan, GAO Xin

(College of Physics, Guizhou University, Guiyang 550025, China)

The multiple image charge method has been used to study the potential and electric field distribution of the system including an electrode and a conducting sphere with fixed potential. The theoretical derivation and calculation of the image charges and dipole moments for this system has been provided. After the image distribution was determined, the electric field can be calculated using all image charges and dipole moments. The relation between the potential of the sphere and the first order image charge has been given. We point that the first order image charge on the conducting sphere must be determined by the relation equation that was calculated by image method considering the parameters used in the system.

Conducting sphere; Image charge method; Potential; Electric dipole moment; Electric field

2016-10-25

國(guó)家自然科學(xué)基金(11304049)；貴州大學(xué)博士基金(貴大人基合字(2012)020號(hào))

黃爽(1992-)，女，碩士研究生在讀。

高欣，e-mail：gaoxin0526@163.com。

O441

A

1674-8646(2017)02-0044-03