淺析數列極限與函數極限的異同

游志林

摘要：極限、微分、積分、級數、函數的連續性等相關概念和性質是各大學師范院校數學基礎課程《數學分析》中重點研究的內容，因其知識理論和方法已經滲透到自然科學、工程技術的各個領域，導致對社會的發展起著很重要的推進作用。其中極限的思想尤其重要，極限又包含數列極限和函數極限。因此，研究數列極限和函數極限的相同點和不同之處，對于學好高等數學起著很重要的意義。

關鍵詞：數列極限；函數極限； 異同

引言：數列是一種特殊的函數，其特殊性在于其定義域是全體正整數集，故是不連續、是離散的變量；而函數的定義域一般是全體實數集，由實數的稠密性可知，該自變量是連續的。由于數列和函數之間的這種不同，就間接導致數列極限和函數極限也有所不同，本文是在參考華東師范大學數學系主編的教材《數學分析》第四版的基礎上，列舉出了幾點關于數列極限和函數極限的異同之處。

1 數列極限

關于數列極限，先舉一個我國古代關于數列的例子。《莊子—天下篇》中：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭。”其含義是：一根長為一尺的木棒，每天取下一半，這樣的過程可以永遠進行下去。不難看出，其通項{ }隨著天數n的增大而無限地接近于0。在這一思想的指引下，教材給出了數列極限的精確定義：設 {An} 為數列，a 為定數，若對任給的正數 ε（無論它多么小），總存在正整數N，使得當 n>N 時，有 ∣An-a∣<ε ，則稱數列{An} 收斂于a，定數 a 稱為數列 {An} 的極限。其中ε的作用在于衡量數列通項{An} 與定數a的大小，ε越小，說明{An} 與a 的接近度越好。由于ε的任意性，可以小到任意小（但須大于0），故可以理解為數列通項{An} 無限地接近定數a；而N的作用在于不管給定多么小的正數ε，總能保證存在大于N后的每一項都和a無限接近，而不在乎前面有限項與a的接近程度，在于刻畫n→+∞這一過程。其中，由于n是正整數，不可能取負值，故其趨近方式只有一種，即趨于+∞，但是極限值可以取實數R，故極限值有a、∞、+∞、—∞這4種值，因此，總的來說，數列極限只有4種類型。

2 函數極限

對于函數極限，先分析一下自變量x的趨近方式，由于x是取自全體實數，故趨近方式不僅有上述數列中所提及的+∞，還可以是∞、—∞，相比數列極限，更特殊的是還可以趨于某一點x0， 或者x0的左側、右側（即單側極限）趨近。故自變量x的趨近方式共有6種，而極限值和數列極限完全一樣，有4種。因此，函數極限共24種類型。比如，拿x→+∞，f（x）→a為例，其精確定義如下： 對于任意給定的正數ε（無論它多么小），總存在正數M ，使得當x>M時有 |f（x）-a|<ε ，那么常數a就叫做函數f（x）當 x→+∞時的極限值。該定義和數列極限的定義有相同之處，其中的ε也是和數列極限中的ε相同，用于衡量f（x）與a的接近程度；正數M的作用也與數列極限定義中的N相類似，說明x充分大的程度，但這里考慮的是比M大的所有實數x，而不僅僅是數列極限中的正整數n，這是和數列極限定義中最本質的區別。

3 性質的異同

（1）由于極限存在則其值必唯一，故數列極限和函數極限如果存在，則極限值都是唯一的；

（2）如果數列極限存在，則它是有界的，而且是整體有界，即存在正數M，使得對一切正整數n有|An|≤M ；而函數極限如果存在，它也是有界的，可是這種有界性和數列的有界性不同，它是一種局部性，比如當x→+∞時，函數極限的局部有界性為表述為：即存在正數M，使得f（x）在x>M的領域上有|f（x）|≤M，這里強調的是局部性，而不管小于M的函數值是否有界，所以，函數極限的局部性質是和數列極限有著本質區別。同理，數列極限還有保不等式性、迫斂性、保號性，而函數極限則對應于局部保不等式性、局部迫斂性、局部保號性等性質；

（3）判別數列極限存在的方法有主要是單調有界定理和柯西收斂準則，這兩大著名方法用于判斷數列極限是否存在非常有用。在單調有界定理中，如果一個數列單調遞增，而且存在上界，則該數列極限存在且極限值等于其上確界，同理，如果一個數列單調遞減，且存在下界，則該數列極限存在且極限值等于其下確界。在柯西收斂準則中，反映的是這樣一個事實：收斂數列各項的值越到后面，彼此越是接近，以至于后面的任意兩項之差的絕對值可以小于事先給定的任意正數ε，柯西收斂準則相比單調有界定理的好處在于無需借助數列以外的數a，只需根據數列本身就能判別其斂散性。相比函數極限的存在條件，其中的柯西準則和數列的完全類似，而不同的是函數極限多了一種歸結原則（海涅定理）。當然，這種方法我認為在實際應用中是不太現實的，因為收斂于x0的數列有很多，所以，我們不能一一去驗證其極限值。通常用的最多的是它的推論：即找到一個收斂于x0的數列，函數極限值不存在或找到兩個收斂于x0的數列，但這兩個函數極限值不相等。這與判斷數列極限是否存在的尋找子列的方法一樣，可以說，這兩種思路完全一樣。當然函數極限也存在單調有界定理，該定理在函數表達中由于單調有增減變化，所以只能研究一側，即只能研究單側極限。其方法和數列極限相類似，只需稍做一些修改即可。

（4）數列極限和函數極限在應用上也有很多相似的地方，比如四則運算及其證明過程，平均收斂和幾何收斂及其證明以及一些構造性方法，兩者的思路十分相似，只需稍微改動即可。但是這里要強調一下，在使用洛必達法則的時候，如果遇到處理數列極限時，應該先轉化為函數極限進行求解，然后再應用歸結原則得出數列極限值，因為對于在數列極限形式下不能使用洛必達法則，原因是離散變量求導數是沒有意義的，這一點必須特別注意。

總結：本文主要以華東師范大學數學系主編的第四版《數學分析》為例，列舉了幾個數列和函數極限的表示方法，從定義、性質、收斂條件、應用4方面淺談了自己的一些看法，若有不妥的地方，懇切希望讀者指出，我定給予修正。

參考文獻：

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