借“題”發揮以“變”促學
——初中數學課本習題的變式與拓展例談

☉江蘇東臺市教育局教研室周玉俊

借“題”發揮以“變”促學
——初中數學課本習題的變式與拓展例談

☉江蘇東臺市教育局教研室周玉俊

“變形計”是湖南衛視精心打造的一檔生活類角色互換節目，旨在通過人物的角色變換，體驗對方的不同生活，實現思想觀念上的徹底改變.在數學上，一類源于課本的例題、習題，也可以經過“變形”，蛻變自己，從而更好地發揮其潛在價值，讓學生接受一次思維上的洗禮與提升.

一、變形背景

2016年11月，東臺市舉行了一次全市初中數學命題比賽，在僅提供初中數學課本的前提下，參賽者在半天時間內原創主觀題，要求突出考查學生的思維能力和學科素養，體現新課程要求，提供試題答案和命題意圖.筆者有幸參與了活動的組織和評委工作，受益匪淺.現呈現三道變形題，與大家共賞.

二、變形內容

1.變形1.

（1）原題回放.

（蘇科版教材九年級下冊第90頁復習題11）如圖1，△ABC與△DEA是兩個全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，BC分別與AD、AE相交于點F、G.圖中有哪幾對相似三角形？請把它們表示出來，并說明理由.

圖1

圖2

（2）新題賞玩.

如圖1，△ABC與△DEA是兩個全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，把兩個三角形放在同一平面內，使△DEA繞點A旋轉，直線BC分別與直線AD、AE相交于點F、G.

（1）如圖1，當點F、G在線段BC上時，求證：△ABG∽△FCA.

（2）如圖2，把△DEA旋轉至圖2所示位置，使點F在線段BC上，點G在線段BC的延長線上，設AB=AC=DE= DA=1，FC的長為x，BG的長為y，試求y與x之間的函數關系，并指出x的取值范圍.

（3）把△DEA旋轉至圖3所在位置，試補全圖形，標出相應字母，此時（2）中y與x之間的函數關系是否仍然成立？試說明理由.

圖3

圖4

（3）變題意圖.

原題中相似三角形對數較多，且有些說明方法雷同，知識點的考查比較單一.改編題第（1）小題是在原題的基礎上，選取了其中一對加以證明，對原題進行了簡化；第（2）小題是以圖1為基礎，通過旋轉變換將G點放在了BC的延長線上，此時，圖形的位置發生了改變，但△ABG∽△FCA的數學本質沒有變化，考查學生類比遷移知識的能力，為了增加題目的探究性和綜合性，題目又增加了對邊長之間關系的探究，綜合了反比例函數的知識，其中，對x的取值范圍的探究體現了較高的能力要求；第（3）小題以旋轉為主線，考查學生動手畫圖的能力和不同位置條件下遷移和運用知識的能力.題目注重能力立意，小題的設置有梯度，有一定難度，考查學生思維的嚴密性和靈活性.

2.變形2.

（1）原題回放.

原題1：（蘇科版初中數學教材八年級下冊第58頁習題2）如圖4，在正方形ABCD中，點E、G分別在BC、AB上，△ABE經過旋轉后得到△ADF.

（1）旋轉中心是哪一點？

（2）旋轉角為多少度？

（3）在圖中畫出點G的對應點G′.

原題2：（蘇科版初中數學教材九年級上冊第19頁練習）已知：如圖5，在正方形ABCD中，E是BC的中點，點F在CD上，∠FAE=∠BAE.求證：AF=BC+FC.

圖5

圖6

（2）新題賞玩.

如圖6，在正方形ABCD中，E是CD邊上一點，G是CB的延長線上一點，且AE=AG.

（1）求證：DE=BG.

（2）若點F在BC邊上，且∠EAF=45°，連接EF，求證：EF=BF+DE.

（3）如圖7，將正方形ABCD放置在平面直角坐標系xOy中，使頂點A與坐標原點重合，點B、C落在第三象限，直線y=x交BC于點F，CD交y軸于點E.若BF=4，EF=10：

①求正方形ABCD的邊長.

②在直線y=x上是否存在一點M，使得△OME是等腰三角形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

圖7

圖8

（3）變題意圖.

改編題第（1）、（2）小題遵循原題中的知識和方法，考查學生對正方形性質和直角三角形、一般三角形全等判定的掌握情況及旋轉變換的思想；為了增加題目的探究性，在第（2）小題結論的基礎上，第（3）小題增加了求正方形ABCD的邊長，考查勾股定理及一元二次方程等知識，第（3）小題的第②題，又將整個圖形放置在直角坐標系中，結合一次函數和圖形的相似考查學生對知識的遷移能力和解決問題的能力，滲透了轉化、分類、方程（模型）等思想.本題設置的三個問題層次分明，步步深入，兼顧基礎和能力，讓學生既不能輕易“得手”，又不覺得無計可施.使不同水平的考生在拾階而上的過程中，思維和能力得到充分釋放.

3.變形3.

（1）原題回放.

（蘇科版教材九年級上冊第97頁的思考與探索題）如圖8，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，點P從點A沿邊AB向點B以1cm/s的速度移動；同時，點Q從點B沿邊BC向點C以2cm/s的速度移動，問：幾秒時ΔPBQ的面積等于8cm2？

（2）新題賞玩.

如圖8，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，點P從點A沿邊AB向點B以1cm/s的速度移動；同時，點Q從點B沿邊BC向點C以2cm/s的速度移動（不包括起點和終點），設運動的時間為x，△DPQ的面積為y.

（1）經過多長時間DQ⊥PQ？

（2）在運動的過程中，△DPQ能否成為等腰三角形？若能，請求出運動時間x的值；若不能，請說明理由.

（3）①試求出y與x之間的函數關系式，并說明是否存在x，使得y的值等于10.若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由.

②若點P到達B點后繼續沿邊BC向終點C移動，點Q到達C點后繼續沿邊CD、DA向終點A移動，當一點到達終點時，另一點也隨之停止運動，問：在繼續運動的過程中，y的值能否等于10？若能，請求出x的值；若不能，請說明理由.

（3）變題意圖.

原題考查的知識點單一，方法簡單.為了擴大試題的開放性和綜合度，本題以矩形為載體，以點的運動為主線，在課本習題的基礎上進行拓展、延伸.第（1）小題設置了經過多長時間DQ⊥PQ，此問可以借助相似或勾股定理列方程加以解決；第（2）小題增加了△DPQ能否成為等腰三角形的探究，可考慮分三種不同情況列方程加以解決，其中不符合條件的解還必須舍去；第（3）小題增加了對△DPQ的面積能否等于10的探究，同時還擴大了點運動的范圍，增加了點P在BC邊上運動、點Q在CD或DA邊上運動兩種情形.改編題注重對基礎知識、基本能力的考查和數形結合、轉化、分類等數學思想的滲透，考查運用方程、函數（模型）思想分析、解決問題的能力.

三、變形感悟

1.要善于借“題”發揮，以“變”促學.

課本是知識的根本，是經典的結晶，也是問題的源泉.課本提供的例、習題作為教材的有機組成部分，是教學中不可忽視的重要內容，它對幫助學生理解基礎知識、形成基本技能、完善認知結構、培養和提高思維能力等各方面都起著重要的作用.因此，如何深入挖掘課本典型題目的潛在價值，以求舉一反三、融會貫通，為學生的思維發展架梯搭橋，是我們在教學中值得重視和探討的問題.日常教學中，我們要注重加強對課本習題的研究，對于一些好的題源，教者要能“明察秋毫”，洞察教材的編排意圖，在此基礎上借“題”發揮，以“變”促學，創造機會，讓學生經歷從解題到編題，再到解題的全過程，更大限度地發揮習題的應有教學價值.

2.要善于“讓學引思”，培養和發展學生的問題意識.

愛因斯坦曾經說過：“提出一個問題比解決一個問題更重要.”在原題的基礎上設計和改編新的問題是一項很有意義的數學實踐活動.在設計問題過程中，要善于“讓學引思”，給學生足夠的思考時間和互動空間，使學生的思維得以發展，能力得到提升.在教師的組織和引導下，隨著學生身份從答題者到編題者、變題者的悄然變化，學生的主體地位得到充分發揮，問題意識和解題的經驗和能力得到提升，最終效果體現在學生學習上的事半功倍.在數學教學中如何培養學生提出問題的能力呢？解決這個問題，首先要采用多種手段讓學生對數學學習感興趣，要善于構建以“問題設計”為中心的學習模式，引導學生由好奇到好問，逐步滲透問題意識，進而上升到勤思善問，追求問題的質量，再到提出有價值的問題.

3.要善于釋放話語權，努力讓變式教學成為常態.

傳統習題課的教學是由教師提出問題學生進行解答或由教師安排學生解答教科書中提出的現成的問題，這種模式的弊端是學生的學習是消極被動的，課堂的話語權和主宰權在于教師，學生的學習缺乏動力和活力.變式教學提倡以課本探索題為源頭，在學生力所能及的知識儲備范圍內，讓學生充分參與課本習題的變式與拓展，經歷師生交流、生生合作的思維碰撞和智慧生成.教學中，教者要尊重每一位學生的思維，讓不同層次的學生都能學有所獲.值得我們思考的是，除了對題目所提問題進行變式，我們還可以在解題方法、結論探索、題組學習等方面做一些類似的變式教學的嘗試，使學生的靈感得以激發，個性得以張揚，不斷提升學生思維的靈活性和創造力，為學生的終身發展奠定基礎.

1.章建躍.發展數學的內在力量，為學生謀取長期利益［J］.數學通報，2013（2）.

2.羅增儒.試題編擬的技術性建議［J］.中學數學教學參考（中），2008（3）.

3.夏盛亮.引導回歸教材，倡導開放教學——一次縣級期末卷的命題取向分析［J］.中學數學（下），2014（1）.