有理數的進一步研究和探索
——以中美初中數學教材比較為基礎

☉甘肅酒泉第四中學徐玉慶

有理數的進一步研究和探索
——以中美初中數學教材比較為基礎

☉甘肅酒泉第四中學徐玉慶

筆者2016年9月在《中學數學（下）》發表了《中美兩國初中數學教材的比較研究——以“有理數”為例》，其中比較了國內人教版、北師大版和美國教材中對于有理數的定義及有理數的有關運算，發現對于有理數的定義人教版和北師大版是完全一樣的，都是將整數和分數統稱為有理數，而美國教材（Glencoe/McGraw-Hill California Mathematics）則將有理數定義為：Numbers that can be written as fractions are called rational numbers（只要能夠表示為分數的數稱為有理數），Since：-7可以表示為-，2可以表示為，0.1可以表示為，其中循 環小數也可以表示為分數.之后的教學過程中，我不斷思考這兩種定義，不斷研究美國教材，不斷研究國內其他版本的初中數學教材，發現蘇教版、魯教版、冀教版和人教版、北師大版教材中對于有理數的定義如出一轍，于是筆者不斷思考這兩種定義方式對于學生理解有理數的定義有著怎樣的不同，由此筆者對有理數開展了一次全面的探索和比較.

一、有理數的歷史

有理數在希臘文中稱為λογοξ，原意是“成比例的數”.英文取其意，以ratio為字根，在字尾加上-nal構成形容詞，全名為rational number，直譯成漢語即是“可比數”.對應地，無理數則為“不可比數”.并非中文翻譯不恰當.有理數這一概念最早源自西方《幾何原本》，在中國明代，從西方傳入，而從中國傳入日本時，出現了錯誤.明末數學家徐光啟和學者利瑪竇翻譯《幾何原本》前6卷時的底本是拉丁文.他們將這個詞（“λογοξ”）譯為“理”，這個“理”指的是“比值”.日本在明治維新以前，歐美數學典籍的譯本多半采用中國文言文的譯本.日本學者將中國文言文中的“理”直接翻譯成了理，而不是文言文所解釋的“比值”.后來，日本學者直接用錯誤的理解翻譯出了“有理數”和“無理數”.當有理數從日本傳回中國時又延續錯誤.清末中國派留學生到日本，將此名詞傳回中國，導致現在中日兩國都用“有理數”和“無理數”的說法.可見，由于當年日本學者對中國文言文的理解不到位，才出現了今天的誤譯.

數學上將有理數定義為一個整數和一個非零整數的比值，表示為（b≠0），19世紀，德國數學家康托爾提出集合的概念，提出了康托爾集.隨著現代集合論的不斷發展，有理數也在集合論的基礎上進行了定義，表示為Q，定義為：｝。現代數學以集合論為基礎，有理數集在高等代數中也有許多非常重要的結論.

二、兩國教材有理數定義的比較

隨著新課改的不斷深入，國內出現了現在的一個課程標準，多個版本的初中數學教材，使用比較廣泛的有人教版、北師大版、蘇教版、魯教版、冀教版等五大版本.其中有理數的定義都出現在七年級上冊第一章：有理數.國內這五種版本的教材對有理數的分類和定義是一致的，如下：

圖1

整數和分數統稱為有理數.之后教材中對于有理數沒有更多的補充和講解，教材之后的內容就是關于有理數的有關運算.

相比之下，美國教材在七年級上冊第一章第一節專門講解了整數及其運算，第二節才開始引入有理數的定義及其運算，并對概念做了進一步的完善和補充，如圖2：

圖2美國加州教材有理數的定義

可以發現，美國加州數學教材對于有理數的定義和數學歷史上的定義是完全一致的，在第一章第二節中美國教材對于如何將一個整數、有限小數、無限循環小數化為（b≠0）進行了詳實的講解，并附有各種類型的練習，習題的數量要遠遠多于國內這五種版本教材中習題的數量，許多習題都和現實生活有緊密的聯系，相比之下，國內教材中的習題都是不含背景的計算.

那么，這兩種定義對于學生理解有理數到底有著怎樣的不同？首先，美國教材對于有理數的定義更像是對某個概念的定義，而國內的教材還可以理解為整數和分數都是有理數，這種定義是籠統的、不嚴謹的.學生在理解的過程中會出現不同的疑問，如：0.125、5.6·、3.267這些數是有理數還是什么？如何進行辨別？在教學過程中發現，教師在講解了有理數的定義之后，對有理數的定義進行補充，而這些補充的內容在數學教材中并沒有涉及，然而在教材后面的習題中又涉及了相關的題目，學生一臉茫然.所以在教學的過程中，教師又添加了有限小數和無限循環小數也是有理數這一結論，因為它們都可以化為（b≠0）的形式.但是在實際教學過程中，我們發現這樣的補充效果并不是很好，即使到了七年級下半學期，甚至學生學習了無理數之后，他們對于有理數的理解還是存在問題，這種結果主要是由定義引發的，學生看見形如0.134、3.這樣的數，如果從定義出發，第一步要把0.314化為分數，然后根據定義分數是有理數，將0.314歸類為有理數，對于3.這樣的循環小數不知所措，雖然教師在講完有理數之后補充了無限循環小數是有理數的內容，但是學生并不能很快地將它歸為有理數，這時有理數的定義反而變成一種干擾，對于學生理解有理數的定義是一種負遷移，在概念之間造成了混亂，如果按照美國加州教材的定義，就不會出現這樣的問題，因為在第一章第二節中，學生已經在教師的指導下掌握了如何將一個整數、有限小數、無限循環小數化為（b≠0）的形式，所以對于后面的習題，學生直接的方法就是看能不能將一個數化為（b≠0）這樣的分數，如果能，這個數就是有理數，如果不能，這個數就不是有理數，減少了學生思維的跳躍和推理，使得問題直接化、標準化.在教學中發現，學生到了八年級學習完無理數之后，對于所學過的整數、分數、有理數、無理數的認識也是模糊不清的，對于有限小數、無限循環小數、無限不循環小數的認識也是模糊不清的，經常在分類中出現錯誤，如下題：

（1）正整數集合｛｝；

（2）負正數集合｛｝；

（3）正分數集合｛｝；

（4）負分數集合｛｝；

（5）整數集合｛｝；

（6）分數集合｛｝；

（7）正有理數集合｛｝；

（8）負有理數集合｛｝.

學生在分類中出現錯誤最多的是：將有限小數、帶分數、無限循環小數分類錯誤，在教學中教師也反復講解、反復練習，但實際效果并不是很好.之所以出現這樣的結果，原因是教材中有理數定義在學生頭腦中先入為主.

三、啟示

新的課程改革在國內已經開展了很長時間，教學資源和教學技術也在不斷更新，學生有不同的渠道獲得知識，如今的反轉課堂、慕課已經走在了課堂改革的前列.但是教材在課堂教學中的作用依然非常重要，它使學生能夠在較短時間內系統掌握人類文化的結晶，給學生提供一種思路和框架，教材在課程改革中的地位也在不斷提升，許多國家開展了大規模的教材研究，2014年在英國南安普頓大學舉辦了首屆國際數學教材研究和發展會議（ICMT-1），吸引了約三十個國家和地區的一百八十余人參加.第二屆國際數學教材研究和發展會議將于2017年在巴西舉行，第三屆也已計劃于2019年在德國舉行.可見國際數學教育界對數學教材研究給予了前所未有的關注.國內學者也對教材開展了不同程度的研究，但是國內教材研究起步相對較遲，研究范圍相對窄小，缺乏專門的研究團隊，和西方國家存在一定的差距.這種差距也是一種文化影響的結果，是一種經濟和科技發展的結果.課程改革最核心的工作是教材改革，它將直接影響教材所傳遞的國家意志和民族文化，數學作為衡量一個國家綜合國力的指標，數學教育也是衡量一個國家綜合素質的指標.通過對有理數的定義的國際比較，我們發現了這種差距.既然有理數的定義在傳入中國時已經發生了錯誤，那么在新的課程改革中是不是可以把這個曾經的“錯誤”改過來，恢復它的真實面貌？在教材的編排和設計中是不是也應該借鑒國外教材，使課程改革落地生根，蔓延整個神州大地，讓教材使用者真正體會到課程改革的力度和效度.

1.中華人民共和國教育部制訂.義務教育數學課程標準（2011年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2012.

2.義務教育課程標準試驗教科書·數學·七年級（上冊）［M］.北京：北京師范大學出版社，2014.

3.義務教育課程標準試驗教科書·數學·七年級（上冊）［M］.北京：人民教育出版社，2014.

4.Rae Young Kim.The quality of non-textual elements in mathematics textbooks：an exp loratory comparison between South Korea and the United States［J］.ZDM-Mathematics Education，2012，44（2）.

5.徐玉慶.中美兩國初中數學教材的比較研究——以“有理數”為例［J］.中學數學（下），2016（9）.

6.范良火，熊斌，李秋節.現代數學教育中的教材研究：“概念”“問題”和“方法”［J］.數學教育學報，2016，25（5）.

7.曹一鳴.初中數學教材難易程度的國際比較研究［J］.數學教育學報，2015，24（4）.