一道復習題的講評引發的“波瀾”

☉江蘇連云港市羅陽中學邵長亮

一道復習題的講評引發的“波瀾”

☉江蘇連云港市羅陽中學邵長亮

一、問題緣起

執教蘇科版數學七年級下冊第七章“平面圖形的認識（二）”時，評講這樣一道單元復習題：如圖1所示，在五邊形ABCDE中，AE∥BC，求∠C、∠D、∠E的和.

圖1

題目并不復雜，思路也比較明顯：根據多邊形內角和公式，有∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=（5-2）×180°=540°，因為AE∥BC，所以∠A+∠B=180°，因此∠C+∠D+∠E= 360°.

圖2

圖3

在筆者的教學設計中，這道題目由學生獨立分析并進行板演，之后筆者簡化題目條件，進行變式訓練：如圖2所示，AB∥CD，試說明∠A+∠E+∠C=360°.這個變式的意義在于引導學生通過連接BD構造五邊形，從而將新問題轉化成曾經解決的習題，體現了數學問題解決中的轉化思想.除此之外，教師還將引導學生探究這樣一種思路：過E點作AB的平行線EF，將∠E分解成∠AEF與∠CEF的和，通過兩次運用“兩直線平行，同旁內角互補”，得到∠A+∠E+∠C=∠A+∠AEF+∠CEF+∠C=180°+180°=360°，如圖3所示.這個思路也是基于對強化平行線性質應用的考慮.

二、狀況百出的課堂

1.設計的證明思路出現了瑕疵.

課堂教學看似一切順利，第一種思路得到了學生積極的回應，反響也比較熱烈.隨后，筆者試圖引入第二種思路，提出：360°這個度數比較特殊，它可以看作兩個180°之和，而我們對180°很熟悉，例如兩直線平行，同旁內角互補，那么這個問題是否可以利用這個性質解決呢？學生此時反應平平，筆者急于拋出第二種思路，繼續引導學生：如果從E點作EF∥AB呢？這時候，大部分學生恍然大悟，沿著第二種思路順利解決問題.

正當筆者準備結束這個問題的評講，進行方法和技巧的總結時，一個學生舉手提問：過E點作EF∥AB，為什么EF一定與CD平行？其他學生隨后發出一陣笑聲，認為這個學生提出的根本算不上什么問題.但是筆者這時卻才猛然意識到犯了一個錯誤：平行于同一條直線的兩條直線平行，這個命題要到第十二章“證明”中才出現，而筆者所設計的第二種思路中不自覺地使用了這個性質！因此，筆者對提出這個問題的學生進行了一番鼓勵后，提出了怎樣說明EF∥CD的問題，作為對這種證明的補充.學生很快找到了證明的方法，解決了這個疑問，總算為這個問題的解決畫了一個圓滿的句號.

2.一波未平，一波又起.

這時，又有學生提出：老師，您剛才說180°很特殊，我們很熟悉，但是我們最先想到的并不是兩直線平行，同旁內角互補，而是想到三角形內角和為180°，您為什么不用三角形內角和來解決這個題目呢？

這個學生的想法讓筆者始料未及！確實，三角形內角和為180°是學生在小學時就已經知道的結論，自然更容易想到，那么這個問題到底能不能運用三角形內角和來解決呢？筆者在毫無準備的情況下，和學生一同分析：如果想用三角形內角和來解決，首先需要有三角形，而題目所給的圖中沒有這樣的三角形，這就需要我們進行構造，問題是：怎樣構造出含有∠A、∠E和∠C的三角形呢？

有學生立即想到：連接AC，如圖4所示.筆者就這種方法一起和學生進行了探究：連接AC后，∠E成為△ACE的一個內角，而∠A和∠C各自的一部分成為△ACE的另外兩個內角.根據三角形內角和，可知∠EAC+∠E+∠ACE=180°.由AB∥CD，得∠BAC+∠ACD=180°.于是∠BAE+∠E+∠ECD=∠BAC+∠EAC+∠E+∠ACE+∠ACD=180°+180°=360°.這可以看作解決這個問題的第三種方法.

圖4

圖5

隨即學生像受到了鼓舞一樣，提出延長AE和DC交于點F，如圖5，也可以構造三角形.其實這種構造方法在第三種方法的探究過程中，筆者已經注意到了，但是卻沒有把握一定能將問題解決.既然學生提出了這樣的構造方法，那就和學生一起探究.筆者作出圖形后，學生立即開始發表意見：因為AB∥CD，所以∠A+∠F=180°.根據三角形內角和可知∠F+∠FEC+∠FCE=180°，即∠F= 180°-∠FEC-∠FCE.又∠FEC=180°-∠AEC，∠FCE= 180°-∠ECD，因此∠F=∠AEC+∠ECD-180°，也就可得∠A+∠AEC+∠ECD=360°.這成為了第四種解法.

3.再起波瀾.

經過上面的探究后，筆者認為這個問題的解決已經取得了意想不到的效果，再次準備進行總結時，又有學生提出了新的問題：老師說360°可以看成兩個180°的和，為什么要看成兩個180°的和呢？360°本身就很特殊啊，比如說它是四邊形的內角和，也是一個周角的度數.

學生的這個問題再次出乎筆者的意料，筆者已經敏銳地感覺到學生似乎對這個問題背后的東西有了更深層次的領悟，這樣的機會豈容錯過！于是再次投入到和學生的探究中.依著學生的問題，筆者引導學生思考：如果將360°看成一個四邊形的內角和，那就必須將∠A、∠E和∠C轉化到同一個四邊形中，而原圖中并沒有四邊形，需要我們構造！學生很快形成了第五種解決思路：在CD上取一點F，連接AF，如圖6所示.此時，有∠EAF+∠E+∠C+∠CFA=360°.根據AB∥CD，可得∠FAB=∠CFA.立即就可以得出∠BAE+∠E+∠C=360°.

圖6

圖7

還有第六種方法，將360°看成是一個周角，學生也很快探究出了構造方法：從E點向左作EF∥AB，如圖7所示.根據前面的探究，可知EF與CD也是平行的，所以可得∠A=∠AEF，∠C=∠CEF，于是∠A+∠AEC+∠C=∠AEF+∠AEC+∠CEF=360°.

三、回顧與思考

縱觀本節課，從一個簡單的題目出發，引出了多種多樣的解決方法.這些方法雖然不盡相同，但是其背后的內涵是一致的，就是將新問題向著已有知識轉化，而轉化的途徑則依賴于不同形式的構造.這在一定程度上體現了對數學問題解決的一般思維方法.這節課出乎教者的意料之外，卻又在數學教育的“情理”之中，有很多值得反思的地方.

1.數學教學應滲透數學思想.

以前看來，這句話有點兒近似于套話，然而本節課的教學卻使得筆者重新審視這個論述.《義務教育數學課程標準（2011年版）》在實驗版“雙基”的基礎上增加了基本活動經驗和基本思想，并非無跡可尋，而是有的放矢.數學思想并非空穴來風，而是深刻地蘊含在數學內容之中.基本數學思想具有隱性的特點，在初中數學教學中更多的是滲透在具體問題的解決過程之中，而滲透數學思想則需要對數學問題進行反復分析.本節課在設計之初有這樣的考慮，通過將360°轉化為兩個180°之和，將三個表面上看起來并沒有過多聯系的三個角轉化為容易探求的平行線所截而成的互補的角的和；學生后來的探究也很大程度上受到了筆者原先所設計的滲透轉化思想的影響.

2.數學思想需要學生在過程中感悟.

正是因為數學思想的隱性特點，所以初中數學教學中，數學思想“只可意會，不可言傳”，需要學生的“頓悟”，而學生對數學思想的感悟往往是在對問題的分析與解決過程中完成的.在筆者所設計的第一種、第二種方法之后，學生提出的疑問已經可以明顯感受到問題解決的思維方式了，也就是體會到了轉化思想.到了第五種、第六種方法的最終確立，在本質上學生已經對轉化思想有所頓悟，所提出的“將360°看成四邊形的內角和或一個周角”就是這種頓悟的外在體現.

3.數學的問題解決過程就是對已有知識經驗不斷進行總結反思和探索的過程.

教師在學生的問題解決過程中，應展示運用基礎知識和基本技巧的方法，更要展示怎樣將這些知識、技巧進行不同組合來應對不同問題的思維過程.也就是說，教師不能僅僅告訴學生怎樣進行解答，更重要的是告訴學生：我是怎么想的，我是怎樣去實現這個想法的.同時教師要鼓勵學生進行自我調控和反思，鼓勵學生將自己的觀點說出來，與同學進行交流，碰撞出思維的火花.在本節課的教學中，筆者面對學生提出的始料未及的問題，不是消極回避，而是積極引導并參與學生的交流與討論，毫無保留地展現自己的思維過程，這也是本節課在“失敗”的設計下，一點值得保留的“成功”經驗.

江蘇師范大學黃曉學教授基于發生認識論的觀點提出了“誘惑、導學、啟知、發識”四環節教學論和“生惑、積學、致知、增識”四環節學習論，主張我們的數學教育應建立“才、學、識”兼備的廣義的數學教育.這個觀點可以看作是《義務教育數學課程標準（2011年版）》“四基”“兩能”的實踐性的、具有操作意義的解讀.本節課在設計之初，雖然有很多不完善的地方，但是整個課堂的發展與學生的探究交流卻暗暗契合了黃曉學教授的四環節教學與學習論，無意中成了培養學生“才、學、識”兼備的數學教育的一次有益嘗試.

愛因斯坦說過：當一個人把他在學校學到的所有知識全部忘掉后，剩下的東西就是教育.如果我們把這句話代入到數學教育中，就是當學生忘掉了坐標、函數、方程等具體的數學知識之后，剩下的就是數學教育.從這個意義上來看，數學教育很大程度上就是數學思維、數學思想的培養與發展.大詩人王國維說做學問須經三個境界，第一境界是“昨夜西風凋碧樹，獨上高樓，望斷天涯路”；第二境界是“衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴”；第三境界是“眾里尋他千百度，暮然回首，那人卻在燈火闌珊處”.數學的思想方法，正是經歷“望斷天涯路”的困惑和“衣帶漸寬”的孜孜探究后，“燈火闌珊處”的頓悟，也正是愛因斯坦所說的“剩下的東西”！

1.楊裕前，董林偉.義務教育教科書：數學（七年級下冊）［M］.南京：江蘇鳳凰科學技術出版社，2012.

2.黃曉學.從惑到識——數學教學中學生認識的發生原理［M］.徐州：中國礦業大學出版社，2008.

3.李鐵安主編.義務教育課程標準（2011年版）案例式解讀（初中數學）［M］.北京：教育科學出版社，2012.

4.史寧中主編.義務教育數學課程標準（2011年版）解讀［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

5.［美］R·柯朗，著.左平，譯.什么是數學——對思想和方法的基本研究（增訂本）［M］.上海：復旦大學出版社，2008.

6.邵長亮.以數學寫作推進數學尚“識”教育［J］.中學數學（下），2014（12）.