數學實驗：打開復習課的一扇窗
——以“軸對稱章節復習課”教學設計為例

☉江蘇南京市中華中學上新河初級中學 黃玉華

☉江蘇南京市中華中學 黃蓉華

數學實驗：打開復習課的一扇窗
——以“軸對稱章節復習課”教學設計為例

☉江蘇南京市中華中學上新河初級中學 黃玉華

☉江蘇南京市中華中學 黃蓉華

一、背景簡介

章節復習課是在完成一章節的學習以后進行的以構建知識結構和方法結構為目標，幫助學生獲得新的認識、新的思考、新的經驗、新的感悟的常規課之一.日常教學中的復習課通常有兩種方式，一是教師先梳理、歸納知識點，再選擇典型例題進行講解，最后讓學生進行練習，這樣的平鋪直敘的復習，學生厭煩；另一種是教師設計典型例題，在講解、講評中，逐步梳理出相關知識點，再讓學生進行大量練習，這種復習知識零碎，缺乏知識間的關聯性理解.這兩種方式下學生往往是被動接受復習內容，沒有經歷思考、探索等體驗活動，導致學生不能積極主動地投入到課堂活動中來，復習課的效率低下.為了提高復習課的質量，激發學生的興趣，復習課應該有新的視角、新的高度、新的研究，在2016年南京市建鄴區初中數學“深度備課”的教研活動中，筆者對蘇科版八年級（上）第2章軸對稱圖形進行了單元復習創新設計，以折紙活動為載體，讓學生在玩中學；以說理為手段，讓學生在做中思；以思維為核心，讓學生在思中得.學生“手腦并用”，達到了“啟思明理”“整體建構”的效果，受到了與會人員的好評.下面將筆者的教學設計和思考展現給大家，懇請讀者不吝賜教.

二、教學流程及設計意圖

1.創設情景，激發興趣.

師：請同學們欣賞下列圖案（用多媒體展示生活中的折紙）.

設計意圖：給學生展示一組漂亮的折紙圖案，讓學生感受到折紙的趣味、作用和文化，激發學生探究折紙的欲望.

2.折紙活動，整體建構.

活動一：用長方形紙片折等腰三角形.

（1）試一試：你能用一張長方形紙片折一個等腰三角形嗎？動手試試看.說說你的理由.（最多折2次）.

生1：把長方形紙片的寬折到長上去，沿折痕剪下一個三角形就是等腰三角形.理由是兩個銳角都等于45度，根據“等角對等邊”的判別方法可知該三角形是等腰三角形.

師：這個操作方便，得到的三角形確實符合要求，但這個等腰三角形比較特殊，其實還是一個直角三角形，誰能折一個比較一般的等腰三角形呢？

生2：把長方形紙片對折，然后剪下一個直角三角形，再展開，就可得到一個等腰三角形.理由是有兩條邊相等的三角形是等腰三角形.

師：很好，這個同學利用了軸對稱的性質，很快就可以構造兩條相等的邊，得到一個一般的等腰三角形.

（2）想一想：小明同學在學習了等腰三角形的判別方法后想到了一種快速折疊等腰三角形的方法，他的操作如下：在一張長方形紙片上任意畫一條線段AB，將紙片沿線段AB折疊（如圖1），重疊部分的△ABC是等腰三角形.請你按照他的方法操作試一試，你能說明理由嗎？

圖1

生3：因為長方形的兩條長邊平行，所以∠3=∠1.因為∠2是由∠1折疊得到的，所以∠2=∠1，所以∠2=∠3，故△ABC是等腰三角形.

師：從這個同學的解決過程中，我們可以提煉一個基本的數學模型，誰來談談？

生4：角平分線加一條平行于角的一邊的直線，可以得到等腰三角形.

師：很好，在平時解題過程中，我們要善于總結、歸納、建模，通過解部分題掌握解一類題，達到觸類旁通之效.

（3）變一變：如圖1，在折疊矩形時，隨著∠1的大小不同（0°＜∠1＜90°），△ABC的形狀也發生變化.那么∠1變化時，∠ACB會隨之發生什么變化？你還能有哪些新的發現？

（學生開始動手折紙）

生5：∠1逐漸變大時，∠ACB逐漸變小；反之，∠ACB逐漸變大.

生6：我發現，如圖（1），當45°＜∠1＜90°時，△ACB是銳角三角形；如圖（2），當∠1=45°時，△ACB是等腰直角三角形；如圖（3），當0°＜∠1＜45°時，△ACB是鈍角三角形.

師：很好.怎樣折才能使重疊部分為等邊三角形？

生7：當∠1=60°時，重疊部分為等邊三角形.

（一連串的問題讓學生沉浸在操作與探究之中）

設計意圖：試一試是一個比較簡單的開放性的問題，學生通過折紙實驗，根據“等腰三角形的定義和判定”，初步嘗試就能獲得成功，調動探究的激情；想一想是教材上等腰三角形這一節的習題，讓學生進行操作、驗證、說理，既鞏固等腰三角形的判定方法，又很好地建構“平行線加角平分線得到等腰三角形”基本模型；變一變是在想一想的基礎上的變化和拓展，很好地引發學生思考，將學生的思維一步一步地推向深處.本章的核心知識和方法是從軸對稱的角度探索簡單軸對稱圖形線段、角、等腰三角形和等邊三角形的性質和判定，因此，通過設計折等腰三角形、等邊三角形的活動來讓學生在玩中學，做中思，讓學生經歷操作、探究、說理的過程，培養學生的動手能力、空間觀念和想象意識，激發學生對數學探究活動的興趣，發展合乎邏輯的思考和有條理的表達能力，學生既有操作層面的直觀經驗的積累，又有理性層面的分析和思考，以簡約、清晰、自然的3個折紙“問題串”驅動，從而將知識、方法和能力很自然地融為一體.

活動二：用正方形紙片折等邊三角形.

（1）探一探：你能用一張正方形紙片折一個等邊三角形嗎？動手試試看.說說你的理由.

（學生經過艱難的探索，幾乎沒有人能解決，此時處于“憤”“悱”狀態，于是老師提供一種蘇科版八年級上第70頁“用一張正方形紙片折等邊三角形”思路，讓學生邊操作邊思考）

師：誰能說明一下，按圖2所示得到的△A′BC是等邊三角形呢？

生8：因為A′B與A′C關于EF對稱，所以A′B=A′C.又因為A′B=BC，所以A′B=A′C=BC，故△A′BC是等邊三角形.

圖2

師：這里是兩次折疊，第一次沿EF對折，是保證EF上任意一點到B、C兩點的距離相等，也就是折出等腰三角形；第二次折疊將點A翻折到EF上的點A′處，且使折痕過點B，是保證正方形的邊A′B作△A′BC的邊，就很快得到△A′BC是等邊三角形了.

活動三：用長方形紙片折等邊三角形.

師：能用一張長方形紙片折等邊三角形嗎？

生9：只要把長方形折成正方形，同上就可以操作了.

師：活學活用，真不錯！那么能直接用長方形紙片折出等邊三角形嗎？請同學們跟著小華同學的折法操作、思考.

小華同學的折法是這樣的：

①如圖3，將一張長方形紙片ABCD沿EF折疊，使AB與CD重合，再將長方形EFCD沿MN對折，使CD與EF重合；

圖3

圖4

②如圖4，將△AEH沿EH折疊，使A點落在MN上的點G處，且使折痕過點E；

③連接DG；

你能找出圖4中的等邊三角形嗎？動手折折看，說說你的理由.

生10：因為EG由AE折疊得到，所以AE=EG.又因為EG折疊與DG重合，所以EG=DG.而AE=DE，所以DE=EG= DG，故△EGD是等邊三角形.

師：從剛才這個同學的解釋中，我們可以領悟到三次折疊的作用嗎？

生11：第一次沿EF折疊，得到AE=DE;第二次沿MN折疊，得到EG=DG;第三次沿EH折疊，得到AE=GE，從而得到△EGD的三條邊都相等.

師：所以，用長方形紙片折出等邊三角形是有一定難度的，大家有了理論分析，現在實踐操作下，再找找圖中是否還有其他的等邊三角形.

生12：圖中△AHG也是等邊三角形，易證∠HAG= 60°，而HA=HG，所以△AHG是等邊三角形.

設計意圖：折等邊三角形是難度較大的探究活動，僅憑直觀操作不容易實現目標，這就倒逼學生先思而后行，自然而然地引導學生回顧等邊三角形的定義和判定方法，在理性分析的基礎上給予學生充足的時間去實踐探究，形成動手操作與邏輯思維相融互攝的效果.再通過小組合作交流，進行思維的碰撞，創新的火花悄然而至.學生經歷觀察、操作、探究、思考、說理的過程，進一步培養學生的動手能力、空間觀念和想象意識，發展合乎邏輯的思考和有條理的表達能力，提高學生分析問題、解決問題的能力.“折一折”是在學生先自行探究折等邊三角形的方法之后給出的一種折疊思路，通過讓學生操作、觀察、猜測、驗證、說理，打開學生想象的大門，喚醒學生探究的欲望，讓學生感受數學方法的多樣性、靈活性和奇妙性.“想一想”是前面兩個活動的延伸和拓展，進一步把學生的思維推向深處，從而更好地建構本章的知識結構和能力結構.

3.歸納小結，拓展提升.

師：通過這節課，在知識和方法上你有什么收獲？你還有哪些疑問？你還能提出哪些問題？

生13：我知道了利用紙片折疊等腰三角形、等邊三角形的方法和道理.

生14：在折疊之前，我們要先構思如何折疊，依據是什么，然后動手嘗試，否則不容易實現目標.

生15：折疊紙片得等腰三角形和等邊三角形，主要是利用了軸對稱性.

……

師：通過本節課的學習，同學們的收獲真不少.本節課我們通過做折紙實驗活動，根據等腰三角形和等邊三角形的定義、性質和判定，既可以驗證某些結論，又可以發現新的結論，再經過推理來證實，本節課的研究路線圖如圖5所示（用多媒體展示）.

圖5

師：你有什么新的發現或問題與大家交流嗎？

生16：怎樣用長形紙片折出面積最大的等腰三角形呢？

生17：用長方形紙片還能折出哪些幾何圖形？

生18：如果要折出一個等邊三角形，對紙片有什么要求嗎？

……

設計意圖：通過引導學生進行總結、反思，幫助學生形成章節核心知識結構和方法結構，內化基本活動經驗；通過讓學生提出新的問題，進一步培養學生發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，發展學生的創新意識.學生經歷回顧、反思的過程，有了新的思考、新的發現，提出了很有價值的問題.這樣，學生帶著問題出課堂，把探究的熱情延伸到課外.

三、教學感悟

數學復習課是面向全體學生，鞏固所學知識，建構知識網絡，提高發現、分析、綜合運用知識解決問題的能力和科學素養，激發學生的興趣、樹立學習自信心、培養應用意識和創新精神.在數學復習課中適度開展數學實驗活動，不僅有利于學生回顧并應用所學知識，還能使學生對數學知識的認知深化與提高，更是對方法的提煉與總結、數學思想的升華、思維能力的發展，很好地幫助學生理解數學、品味數學、應用數學、創造數學.數學實驗復習課是對其他復習課模式的有益補充，打開了優質、高效復習課的一扇窗，它有如下幾個特點.

1.促進每一個學生的發展.

數學實驗復習課是以活動為手段、以問題為載體、以思維為目標，通過動手動腦“做”數學的一種數學學習活動，是學生運用有關工具（如紙張、剪刀、模型、測量工具、作圖工具及計算機等），在數學思維活動的參與下進行的一種以人人參與的實際操作為特征的數學驗證或探究活動.這種課的顯著特點是呈現出適當的開放性，尊重每個學生的個性，不是少數“尖子”生的專利，允許和鼓勵學生敢于提出不同的實驗思路、不同的想法，克服“所有問題都有一個答案且只有一個標準答案”的思維慣性，掙脫封閉式的思維桎梏.由于條件和結果的不確定性和不唯一性，可以讓所有學生都能八仙過海——各顯神通，獲得自主探究的成就感.如在本節課設計的活動中，用長方形紙片折等腰三角形、用正方形紙片折等邊三角形時，以開放的姿態呈現給學生，學生可能折出多種等腰三角形，鼓勵學生上臺展示自己的折紙過程并說明理由，尊重每個學生的數學現實，每個學生都能從中體驗學習的快樂和成就感，達到總結經驗與升華認識的目的，積淀數學素養，真正讓每一位學生都能獲得發展.

2.學生成為課堂學習的主體.

常態下的數學復習課中，學生往往是被動地記住教師或課本呈現的知識和方法，再進入“題海”，學生的積極性和創造性被壓抑了.而數學實驗復習課引導學生從生活經驗和已有的知識背景出發，通過觀察、操作、實驗等手段，形成感性認識；再從直觀、想象到發現、猜想，然后驗證，學生親歷數學知識和方法的構建過程，產生對數學的好奇心和求知欲，體驗數學的樂趣，感受數學的價值，學生通過實驗活動，發現問題、建構數學模型、尋求結果，從而掌握數學知識和方法，積累基本活動經驗，學生感到實驗有趣、好玩而深入，繼而變“苦學”“厭學”到“樂學”“好學”的境界.因此數學實驗復習課的教學激發學習的興趣，引發學生的數學思考，鼓勵學生創造性地思維，充分凸顯學生是學習的主體.

3.數學實驗復習課的一般模式.

筆者在教學實踐中，把數學實驗復習課大致分解為六個基本環節：“情景與問題”“活動與實驗”“討論與交流”“歸納與猜想”“驗證與證明”“總結與拓展”.“情景與問題”是為了引發學生思考，喚起學生的積極思維，為本節課的發展奠定基礎；“活動與實驗”是學生從問題出發，自主利用實驗工具完成相應的實驗，努力探索，尋找方法和結論，從而獲得初步的活動經驗；“討論與交流”是學生經過探究與思考后進行的小組或全班討論與交流，通過互動進行提問、質疑、展示、闡述、評價等，提升學生的學習興趣和意志及培養學生的合作精神、思維能力和語言表達能力；“歸納與猜想”是學生根據實驗得到的現象或數據，結合已有的知識、經驗，通過分析、比較概括、歸納等思維活動，提出數學結論或猜想；“驗證與證明”是教師引導學生用實驗的方法、演繹的方法來檢驗猜想的正確性；“總結與拓展”是一節課的高潮部分，有助于學生完善知識、提煉方法、積累經驗、內化技能、感悟思想，提升學生的數學核心素養.

數學實驗打開了復習課教學的一扇窗，將零散的知識結構化、單一的圖形模型化、抽象的思維顯性化、靜態的圖形動態化，將復習課演繹得夠容量（復習內容量大）、夠度量（復習內容有高度）、夠氣量（復習過程中氣氛濃烈）、夠海量（復習過程中學生探究知識的欲望強烈）、夠思量（教師和學生思考內容豐富）.但教師在設計實驗復習課時，需要注意的是：要根據學生已有的知識經驗和認知發展水平，把握教材中章節知識的前后聯系，在學生思維的最近發展區設置教學的起點，對教材中的知識點做加工，設計成適合學生探索的問題串，把學生帶入數學探究的樂園，通過數學實驗調動學生解決問題的欲望，激發學生探究的興趣，促使學生邊操作邊思考，邊思考邊建構，邊建構邊完善，真正讓知識、能力和方法有機地融合在一起，使得數學復習課變得豐富多采、有滋有味、充滿活力.

1.楊裕前，董林偉.義務教育教科書數學八年級（上冊）［M］.江蘇：江蘇鳳凰科學技術出版社，2016.

2.喻平，董林偉，魏玉華.數學實驗教學：靜態數學觀與動態數學觀的融通［J］.數學教育學報，2015（1）.

*本文系江蘇省教育科學“十三五”規劃2016年度初中專項課題“異質同構視域下初中‘互生教學模式’實踐研究”（課題編號：E-c/2016/15）和南京市教育科學“十三五”規劃2016年度課題“提升初中生數學核心素養的活動課程開發和實踐研究”的研究成果.