深入研究揭示結構，歸類復習變式再練
——以“曲線壓軸題”為例

☉江蘇蘇州工業園區金雞湖學校沈奕

深入研究揭示結構，歸類復習變式再練
——以“曲線壓軸題”為例

☉江蘇蘇州工業園區金雞湖學校沈奕

中考壓軸題常常與函數圖像相關，而且以拋物線居多，曲線（反比例函數圖像）的相對較少，然而曲線壓軸難題往往難以破解，容易走偏求解方向，導致思路受阻.在中考二輪備考期間，加強曲線壓軸題的備考研討很有必要.本文結合一道曲線壓軸題，破解思路，并跟進教學思考，供研討.

一、模考題及思路突破

模考題：如圖1，正方形OABC的邊長為2，點A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，曲線L：y=（x＞0）與BC、AB分別交于點D、E，且BD=AE.

圖1

（1）求k的值.

（2）若點P在直線AC上，且四邊形BCPQ是菱形，求證點Q在曲線L上.

（3）點F在線段AC上，且不與點A、C及AC的中點重合，過點F作x軸的垂線，交曲線L于點M，過點F作y軸的垂線，分別交曲線L、AB于點N、G，連接MN、BN.試判斷∠BNG與∠FMN之間的數量關系，并說明理由.

思路簡述：（1）由正方形OABC的邊長為2，可得點B的坐標為（2，2），設DAE=.結合BD=AE，列出方程2-=，解得k=2.

（2）由A（2，0）、C（0，2）得直線AC的方程為y=-x+2.由四邊形BCPQ為菱形，得PQ平行且等于BC，PQ=PC=2.接下來要分兩種可能情況分類討論：

圖2

綜上可知：點Q在曲線L上.

（3）先構造可能的圖形分析，如圖2：

分兩種情況討論：

①當點F在AC的中點和點C之間時，連接BM.設點N（m，n），則F（-n+2，n），FN=m+n-2，根據勾股定理可得BN2=（2-m）2+（2-n）2=8-4（m+n）+m2+n2.對該式子配出一個2mn后可以寫成完全平方式，而2mn又是一個常數4，整理、配方得BN2=（m+n-2）2.而FN=m-（-n+2）=m+n-2.即證得BN= FN.同樣，可演算出BM=FM.又MN=MN，所以△BMN≌△FMN.所以∠MBN=∠MFN=90°，∠BMN=∠FMN.即∠BNG=∠BMF=2∠FMN.

②當點F在AC的中點與點A之間時，同理可得∠BNG+ 2∠FMN=180°.

綜上可得：∠BNG=2∠FMN或∠BNG+2∠FMN= 180°.

解后反思：在圖2中，容易發現B、M、F、N四點共圓（以MN為直徑的圓），從四點共圓的角度來理解∠BNG與∠FMN之間的數量關系，可獲得更深刻的理解.

此外，該題將反比例函數圖像的焦點、準線以這種方式呈現出來，非常巧妙！當然，初中對反比例函數圖像的焦點、準線沒有要求.

二、關于曲線壓軸題的教學研討

1.反比例函數的圖像性質簡約、深刻，值得深入探究.

教材上關于反比例函數的圖像性質認識比較初步，比如，函數增減性，或從反比例函數圖像上任意一點向兩坐標軸引垂線段，與坐標軸所圍成的矩形的面積是定值.事實上，近年來各地中考對反比例函數的性質探究得比較深入，比如，圖3中，點A、B在反比例函數圖像上，過點A、B分別作x、y軸的垂線段AA′、BB′，則一定有AB∥A′B′.

重要的是，該性質還可拓展、生長，比如，不管兩個點的位置在同一支曲線上還是分別在兩支上，該結論始終成立（如圖4~6）.

圖3

圖4

圖5

圖6

進一步，如圖7，作直線AB交x、y軸于N、M，會有平行四邊形AMB′A′、平行四邊形A′B′BN.從而可得AM=BN.將圖7中的相關線段刪減后，又可得出圖8所示的兩個陰影三角形，容易發現△AOM與△BON的面積一定相等！

圖7

圖8

而在上文中，隱含了反比例函數圖像的焦點與準線，如果不熟悉該題結構，則會在黑暗中摸索，消耗考場上寶貴的時間.

2.曲線壓軸題要注意引導學生排除干擾，分離并識別模型.

曲線壓軸題一般都有3個小問，為了能化解難點，通常第一問都是簡單問題，第二問會漸次展開探究，需要一定的解題能力，但貫通思路往往也不難，第三問卻會向深處拓展，有較高的解題要求.比如，上文中的考題第三問，需要學生自己構出圖2進行分析，并且要恰當設元，如果設元不當，則會陷入繁雜的運算，有可能不能演算出正確的結論.待到我們分析出解題的思路之后，就能得到關于曲線焦點的奇異性質，感受到命題者把一道曲線難題經過精心的偽裝，結合初中階段的正方形、曲線呈現出來，而把曲線的準線用正方形的對角線隱藏起來，把正方形一個頂點作為焦點隱藏起來，這樣在講評時，就要注意引導學生在演算出相關線段相等之后，反思結構、走向一般，對于特別優秀的學生，可建議他們回去鉆研曲線更多的奇妙性質.

3.曲線壓軸題教學要注意適當歸類，專題聚焦重點突破.

曲線壓軸題考查方向多樣，如果僅僅把看似以曲線為載體的壓軸題集中在一起講解，效果并不是最優的，因為同樣兩道看似相同的曲線壓軸題，很可能它們的求解方向、解題策略截然不同.這就要求我們從試題本質、結構、求解方向的高度來組織同類壓軸題，甚至有時不僅可把綜合題組合在一起，也可以從填空、選擇題中歸類組合，形成專題，引導學生圍繞一類問題聚焦，重點突破，讓學生通過具有共同結構的一類曲線問題的訓練，達到較好的訓練效果，增加“眼力”，下次再碰到具有類似結構的曲線問題，能一眼看出問題結構與求解方向.

4.曲線壓軸題講評之后要對難點問題展開變式再練.

近兩年《中學數學（下）》刊出的不少文章都倡導解題教學要重視開展聽課檢測、變式再練，這是非常重要的解題教學環節.我們也對上面的考題進行變式改編，作為講評之后的變式反饋題：

模考題變式再練：如圖1，正方形OABC的邊長為2，點A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，曲線L：y=k x（x＞0）與BC、AB分別交于點D、E.

（1）當D為邊BC的中點時，求點E的坐標.

（2）在（1）的條件下，若點Q在曲線L上，當四邊形BCPQ是菱形時，求點P的坐標.

（3）點F在線段AC上，且不與點A、C及AC的中點重合，過點F作x軸的垂線，交曲線L于點M，過點F作y軸的垂線，分別交曲線L、AB于點N、G，連接MN，BN.

【說明，以下兩個小問題，只要選擇一個小問解答即可】

①小宇經過演算發現：∠BNG=2∠FMN.請判斷“小宇發現”的真假，并說明理由.

②小凡經過推理發現：B、M、N、F四點共圓.請判斷“小凡發現”的真假，并說明理由.

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