對銳角三角函數試題的背景分析與備考復習建議
——以近幾年全國各地中考試卷為例

☉寧夏銀川市第十中學楊雄義

對銳角三角函數試題的背景分析與備考復習建議
——以近幾年全國各地中考試卷為例

☉寧夏銀川市第十中學楊雄義

本文以近幾年全國各地中考數學試題為研究對象，對近幾年全國各地中考數學試題中考查銳角三角函數的題目，從命題的背景、考查的特點、難易程度和命題方向等方面做了探討，意在讓廣大師生明確中考銳角三角函數復習的目標、方向，幫助廣大師生有效地進行中考復習.

一、問題的提出

縱觀近幾年全國各地中考試卷，銳角三角函數屬必考內容，題目集中在對銳角三角函數概念及解直角三角形的考查，難度適中.本文通過洞悉全國各地中考數學試題中銳角三角函數試題考查的特點和命題方向，幫助廣大師生有效地進行中考復習.

二、銳角三角函數概念題的考查特點及例題剖析

1.在直角三角形中考查銳角三角函數概念

銳角三角函數是學生學習勾股定理后，對直角三角形邊、角關系的深入研究、升華和拓展，它為初中解直角三角形提供了工具，為高中學習任意角的三角函數奠定基礎，起著承前啟后的作用.在直角三角形中，考查銳角三角函數概念，用銳角三角函數概念求直角三角形的邊或角，是各地中考基礎題中常見題型.

例1（1）（2015·甘肅蘭州）△ABC中，∠B=90°，BC= 2AB，則cos A=（）.

（2）（2016·湖南懷化）在Rt△ABC中，∠C=90°，sin A=，AC=6cm，則BC=（）.

（3）（2014·四川巴中）在Rt△ABC中，∠C=90°，sin A=，則tan B=（）.

2.在任意三角形中考查銳角三角函數概念.

在任意三角形中，運用相似三角形、圓等幾何圖形的特殊性質，通過尋找等角的方法考查銳角三角函數，是中考銳角三角函數概念命題的常見題型之一，解決這類題目的關鍵是構造直角三角形，找到相等的角，這類題目難度一般.

例2（1）（2013·湖北鄂州）如圖1，Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于點D，若BD∶CD=3∶2，則tan B=（）.

圖1

圖2

（2）（2014·江蘇蘇州）如圖2，在△ABC中，AB=AC= 5，BC=8.若∠BPC=∠BAC，則tan∠BPC=（）.

（3）（2014·上海）如圖3，已知Rt△ABC中，∠ACB= 90°，CD是斜邊AB上的中線，過點A作AE⊥CD，AE分別與CD、CB相交于點H、E，AH=2CH.

圖3

圖4

（4）（2016·四川達州）如圖4，半徑為3的⊙A經過原點O和點C（0，2），B是y軸左側⊙A優弧上一點，則tan∠OBC為（）.

對于（1），運用了直角三角形角之間的關系、相似三角形的性質及參數法，只要找到∠B=∠DAC，問題便解決了；對于（2），運用等腰三角形底邊上的高、底邊上的中線、頂角的平分線互相重合，過A作AD⊥BC，出現直角三角形，找到∠BPC=∠BAD就能得到結果；對于（3），運用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，找到∠B=∠BCD=∠CAH，問題就能解決；對于（4），運用圓中同弧上的圓周角相等及直徑所對的圓周角是直角，連接直徑CD，利用∠OBC=∠CDO就能解決.

3.在網格中考查銳角三角函數概念.

由于正方形網格的特殊性，在網格中考查銳角三角函數，既可以考查特殊四邊形的性質、勾股定理等知識，同時也能考查學生觀察、分析、解決問題等綜合能力，所以近幾年這類題比較常見.2016年福州中考題將正方形網格變為菱形網格，是一種創新，解這類題的關鍵是利用特殊平行四邊形的性質、勾股定理，通過添加輔助線構造直角三角形.這類題目解法靈活、有難度.

例3（1）（2016·貴州安順）如圖5，在網格中，小正方形的邊長均為1，點A、B、C都在格點上，則∠ABC的正切值是（）.

圖5

圖6

（2）（2015·四川樂山）如圖6，已知△ABC的三個頂點均在格點上，則cos A的值為（）.

（3）（2016·四川自貢）如圖7，在邊長相同的小正方形網格中，點A、B、C、D都在這些小正方形的頂點上，AB、CD相交于點P，則tan∠APD的值為________.

圖7

圖8

（4）（2014·廣西賀州）如圖8，網格中的每個小正方形的邊長都是1，△ABC每個頂點都在網格的交點處，則sin A=________.

（5）（2016·福建福州）如圖9，6個形狀、大小完全相同的菱形組成網格，菱形的頂點稱為格點.已知菱形的一個角（∠O為60°），A、B、C都在格點上，則tan∠ABC的值是________.

4.在小綜合題中考查銳角三角函數概念.

以特殊幾何圖形為背景結合相似形、一元二次方程等知識考查銳角三角函數概念，我認為這是對學生數學綜合素養的考查，既考查學生對圖形的掌握情況，也考查學生綜合運用知識分析、解決問題的能力，是近幾年各地中考的常見題型，難度適中.

例4（1）（2013·四川攀枝花）如圖10，在菱形ABCD中，DE⊥AB于點E，cos A=3 5，BE=4，則tan∠DBE的值是________.

圖9

圖10

圖11

（2）（2016·四川綿陽）如圖11，△ABC中，AB=AC=4，∠C=72°，D是AB的中點，點E在AC上，DE⊥AB，則cos A的值為（）.

（3）（2016·上海）如圖12，矩形ABCD中，BC=2，將矩形ABCD繞點D順時針旋轉90°，點A、C分別落在點A′、C′處.如果點A′、C′、B在同一條直線上，那么tan∠ABA′的值為________.

圖12

5.用銳角三角函數解決實際問題.

對于銳角三角函數的概念，初中的應用主要是解直角三角形，利用解直角三角形解決實際問題.在全國各地每年中考數學題中，這類題型是常見、?？碱}型.這類題的考查要求嚴格遵循新課標的要求，題目多數與仰角、俯角、坡度、坡角、方位角等結合，解題的關鍵是將實際問題轉化為數學模型，通過構造直角三角形，利用勾股定理、三角函數解決，難度一般.

例5（1）（2015·遼寧大連）如圖13，從一個建筑物的A處測得對面樓BC的頂部B的仰角為32°，底部C的俯角為45°，觀測點與樓的水平距離AD為31cm，則樓BC的高度約為_______m（結果取整數）.（參考數據：sin32°≈0.5，cos32°≈0.8，tan32°≈0.6）

圖13

圖14

（2）（2015·江蘇蘇州）如圖14，在一筆直的海岸線l上有A、B兩個觀測站，AB=2km，從A處測得船C在北偏東45°的方向，從B處測得船C在北偏東22.5°的方向，則船C離海岸線l的距離（即CD的長）為（）.

（3）（2016·海南）如圖15，在大樓AB的正前方有一斜坡CD，CD=4米，坡角∠DCE=30°，小紅在斜坡下的點C處測得樓頂B的仰角為60°，在斜坡上的點D處測得樓頂B的仰角為45°，其中點A、C、E在同一直線上.

①求斜坡CD的高度DE；

②求大樓AB的高度.（結果保留根號）

圖15

圖16

（4）（2016·山東菏澤）南沙群島是我國固有領土，現在我南海漁民要在南沙某海島附近進行捕魚作業，如圖16，當漁船航行至B處時，測得該島位于正北方向20（1+）海里的C處，為了防止某國海巡警干擾，就請求我A處的漁監船前往C處護航，已知C位于A處的北偏東45°的方向上，A位于B處的北偏西30°的方向上，求A、C之間的距離.

三、備考建議

1.追本溯源，確立目標.

《義務教育數學課程標準（2011年版）》確定銳角三角函數的教學目標是：（1）利用相似的直角三角形，探索并認識銳角三角函數（sin A、cos A、tan A），知道30°、45°、60°角的三角函數值；（2）會用計算器由已知銳角求它的銳角三角函數值，由已知三角函數值求它的對應銳角；（3）能用銳角三角函數解直角三角形，能用相關知識解決一些簡單的實際問題.課標是中考命題的依據，因此，我們在進行中考復習時，要認真研究課標，仔細推敲，確定復習目標和方向，不能遺漏任何一個知識點，注意在知識的交匯處設置問題，系統把握復習難度.

2.小題大做，注重本質.

縱觀近幾年各地中考考查銳角三角形的題目，內涵越來越豐富，知識交匯比較多，題目向綜合性發展.但題目無論如何變化，考查銳角三角函數定義，解題的關鍵是尋找直角三角形、運用勾股定理.因此，我們要研究近幾年各地中考題，對考查銳角三角函數的題目中有代表性的填空題、選擇題進行歸類、總結，小題大做、以小見大.復習時認真設置每一個例題，讓學生能從題目中發掘、歸納、提煉出蘊含的解題方法、總結出解題規律.

3.因勢利導，夯實基礎.

分析近幾年全國各地考查銳角三角函數的題目，都強調基礎性，與教材中的習題聯系緊密，多數題目都是對教材中習題的改編.因此，復習時要合理利用教材、發掘教材，對教材中的基礎性習題做適當的變式，因勢利導、夯實基礎.

4.推陳出新，強化應用.

在小綜合題中考查銳角三角函數是近幾年各地中考命題的一種趨勢，復習時我們要重視銳角三角函數與多種幾何圖形及知識的結合（如網格、特殊三角形、四邊形、圓、相似形等），在知識的交匯點上下功夫，推陳出新.此外，各地考查三角函數應用的題目，都是解直角三角形的實際應用題，難度不大，學生容易上手，體現了對學生的人文關懷，復習時要強化對實際應用問題常規題目的學習.總之，銳角三角函數的復習，要突出銳角三角函數的工具性，注重學生數學能力的培養.

1.中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2012.