對湖北省2016年一道中考試題的質(zhì)疑

☉湖北仙桃榮懷學(xué)校初中部陳木昌

對湖北省2016年一道中考試題的質(zhì)疑

☉湖北仙桃榮懷學(xué)校初中部陳木昌

湖北省隨州市2016年中考數(shù)學(xué)試題第22題是一道有關(guān)圓的證明和計(jì)算的解答題，原題目和參考答案如下：

如圖1，AB是⊙O的弦，點(diǎn)C為半徑OA的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作CD⊥OA交弦AB于點(diǎn)E，連接BD，且DE=DB.

（1）判斷BD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；

圖1

【解答】（1）如圖2，連接OB.由OB=OA，DE=DB，得∠A=∠OBA，∠DEB=∠ABD.

由CD⊥OA，得∠A+∠AEC=∠A+∠DEB=90°.

則∠OBA+∠ABD=90°，則OB⊥BD，則BD是⊙O的切線.

（2）如圖2，過點(diǎn)D作DF⊥BE于點(diǎn)F.

圖2

易證∠EDF=∠A.

則CE=CD-DE=15-13=2.

筆者在做第（2）題時(shí)發(fā)現(xiàn)，不用BE=10這個(gè)條件，可求出⊙O的直徑，過程如下：

連接OD，設(shè)⊙O的半徑為r.在Rt△ACE中，tan A=，根據(jù)OD2=解得r=

于是我又嘗試不用CD=15這個(gè)條件求⊙O的直徑.過程如下：

為什么會(huì)產(chǎn)生上述截然不同的結(jié)果呢？本小題中，在tan A=這個(gè)條件下，CD=15和BE=10這兩個(gè)條件只需一個(gè)就可求直徑，那么由上面推導(dǎo)可知結(jié)論不一致，只能說明這兩個(gè)條件是互相矛盾的，線段DC與BE的長是否滿足某一數(shù)量關(guān)系呢？

按以上思路設(shè)CD=x，由DB2+OB2=DC2+OC2，得r.設(shè)BE=y，則EF=BE=.在Rt△DFE中，tan∠FDE=tan A=5，因此EF∶DF∶DE= 12 5∶12∶13，DE=y.由DB2+OB2=DC2+OC2，得（）2+r2=