一道課本習題背后的精彩

☉浙江紹興市建功中學曹青

一道課本習題背后的精彩

☉浙江紹興市建功中學曹青

《義務教育數學課程標準（2011年版）》在課程目標的總目標部分明確指出：通過義務教育階段的數學學習，學生能體會數學知識之間的聯系，運用數學的思維方式進行思考，增強發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力.上述目標，無疑給教師的教學提出了更高的要求，可見教師教學時不僅要關注學生知識的學習過程，也要關注學生能力的培養.本文就以一道九年級下學期的課本習題的教學為例，通過變形、推廣、延伸，展示教學的全過程，與同行交流.

一、原題呈現

九年級（下）“銳角三角函數”復習題中有這樣一道習題：“證明：三角形的面積等于兩邊的長與其夾角的正弦值的乘積的一半.”

看到這道題，學生可以畫出示意圖，并將文字語言轉換成如下的幾何語言.

如圖1，已知△ABC.

圖1

圖2

證明：如圖2，過點A作AH⊥BC，垂足為H.

分析：本題是三角函數與思想方法的綜合運用，是求三角形面積的一種重要方法，教材中以習題方式呈現，就

∴AH=AC·sin C.是給學生一種求三角形面積的新方法的探索機會.筆者認為本題在一章的最后復習題中出現，也是想讓學生能從這個結論中經歷探索其他四邊形面積的求法的過程，而并非讓學生就題論題，只要解決本題即可.教師在教學本題時，要注重引導學生注意文字語言向幾何語言的轉換過程，需強調幾何語言的規范性，同時可以讓學生用多種方法證明，注重學生發散性思維的培養.從考查內容上看，本題注重對基礎知識、基本技能的考查，同時特別強調對基本活動經驗、轉化思想的考查；從考查方式上看，本題試圖讓學生經歷多種解法的思考過程，可見一題多解、尋找解題的通性通法仍然為解題教學一個永恒的話題；從考查意義上看，本題注重知識間連貫性的考查，一以貫之地將三角形面積的研究向四邊形面積的研究發展，是知識的拓展、運用的延伸，提醒教師授課時要重視知識發生、發展、探究的過程，把更多思考的空間和時間留給學生.

二、其他版本教材的探究

教材，是命題的發源地，也是命題的天然素材，可謂取之不盡、用之不竭，每年都有大量的中考試題直接源于教材，或以此為基礎，改編、生成，煥然一新.所以，在中考復習前，用好教材這個重要的資源庫，大有裨益，畢竟教材是經過專家多次打磨、精挑細選而成的作品，探其源、究其變、融其法一定是不可多得的捷徑.筆者翻閱人教版教材，發現也有類似的問題.

人教版九年級（下）第85頁第12題如下：

?ABCD中，已知AB、BC及其夾角∠B（∠B是銳角），能求出?ABCD的面積S嗎？如果能，用AB、BC及其夾角∠B表示S.

圖3

解：看到這道題，學生可以畫出示意圖（如圖3）加以解決.連接AC，可以把?ABCD分成兩個全等的三角形，根據“三角形的面積等于兩邊的長與其夾角的正弦值的乘積的一半”，可知=AB·BC·sin B，所以S=?ABCDAB·BC·sin B.

分析：本題是蘇科版教材習題的變形，難度略有上升.事實上，三角形是我們研究幾何圖形的基礎，當三角形研究過后我們經常會將其結論推廣到四邊形中，比如，全等三角形研究完后我們會研究全等四邊形，這是一種經驗的遷移，也是學生必須具備的研究數學的一種方式.平行四邊形又是四邊形中非常特殊的一種圖形，可以看作是由兩個全等的三角形所組成的，所以利用三角形的相關結論，很容易得到平行四邊形面積的求法.

三、一般化探究

研究完平行四邊形的面積，將條件再一般化，任意四邊形的面積的求法是否也可以用類似的方法研究呢？

圖4

解：連接AC，可以把四邊形ABCD分成兩個三角形，根據“三角形的面積等于兩邊的長與其夾角的正弦值的乘積的一半”，可知S△ABC=AB·BC·sin B=AD·DC·sin D，所以S=四邊形ABCDAB·BC·sin B+AD·DC·sin D.

分析：本題是人教版教材習題的變形，將條件一般化進行研究.事實上，此題的提出是學生十分容易想到的，因為特殊四邊形研究過后，必然會對一般四邊形進行研究，這也是我們研究數學的一種常用做法.從解題教學的角度看，此問題“源”于學生對題目條件之間聯系性的理解，體現了知識間的連續性.

縱觀以上問題，都“源”于課堂上經驗、方法的積累.事實上，“三角形的面積等于兩邊的長與其夾角的正弦值的乘積的一半”這一結論對于學生來說并不陌生，課堂上教師也會研究，但是鑒于課堂進度、教師未考慮學生思維的發展性等諸多原因，教師在教學時往往給予學生探索的時間和空間遠遠不夠，使學生對這一結論的認識和運用都偏淺，缺少該有的過程體驗，也未能獲得該有的深層次結論.所以教學時，這一習題一定要用好，使其背后蘊含的知識間的聯系讓學生深刻體會到.

四、推廣探究

上述研究僅限于對三角形、四邊形的邊、角與面積之間的探索，僅僅體現了一法多用.而數學的教學又講究一題多解，所以對于四邊形我們還可以從對角線、對角線的夾角進行深入研究.

如圖5，設四邊形ABCD的兩條對角線AC、BD所形成的銳角為α，分別過點A、C作AH⊥BD，CG⊥BD，垂足分別為H、G.

圖5

∵在Rt△AHO與Rt△CGO中，AH=OA·sinα，CG=OC·sinα，

分析：此法將四邊形分割成兩個三角形進行研究，從而求出四邊形的面積與對角線的長及對角線的夾角之間的關系.此法源于學生對菱形面積求法的理解，八年級在學習菱形時，學生知道菱形的面積等于對角線乘積的一半，繼而得到結論“只要一個四邊形的對角線互相垂直，則它的面積總是等于對角線乘積的一半”，當時所用到的方法就是將其面積拆分成兩個三角形的面積進行研究.

其實，此結論完全可以直接轉換成三角形的面積加以解決.

如圖6，過點C作BD的平行線，在平行線上取CM=BD.

過點A作AN⊥CM，垂足為N.

易得S四邊形ABCD=S△ACM.

∵CM∥BD，

∴∠ACM=∠AOB=α.

圖6

由“三角形的面積等于兩邊的長與其夾角的正弦值的乘積的一半”，可得S=MC·AC·sin∠ACM=MC·△ACMAC·sinα.

分析：此法巧妙地將四邊形的面積轉換成三角形的面積，繼而轉換成“題源”，將四邊形與三角形緊密相連，相當巧妙.此法源于學生對三角形面積的求法的理解及對四邊形與三角形關系的理解，在學生的理解中，看到四邊形很容易聯想到三角形，從而進行轉換.當然，此解法還可以轉換成平行四邊形加以解決，如過點A、C作BD的平行線，過點B、D作AC的平行線，交點分別為E、F、G、H，則四邊形EFGH是平行四邊形，又知四邊形ABCD的面積是四邊形EFGH面積的一半，根據“人教版教材習題”可得結論.

將四邊形面積與邊、角的關系推廣到四邊形面積與對角線、對角線所成的銳角的關系并不是偶然，因為四邊形的對角線是研究四邊形時重要的一個研究要素，很容易產生不同的作法、新的認識，這就是學生在課堂上實現創造的體現.

弗萊登塔爾曾說：學習數學唯一正確的方法是實現“再創造”.故在課堂上模仿是需要的，如從三角形的邊、角、面積的研究到四邊形邊、角、面積的研究，但模仿只能讓學生“學會”，并未“會學”，所以教師要關注學生在課堂上知識的創新、整合，如從四邊形邊、角、面積的研究到四邊形對角線、夾角、面積的研究，讓學生經歷已有的體驗到未有的經驗過渡的過程，得到更多的收獲.

五、反思探究

上述研究結束后，可以讓學生回到最初的地方再次體會、感悟，比如，三角形的面積等于兩邊的長與其夾角的正弦值的乘積的一半，即AC·BC·sin C，若∠C=90°，會怎么樣？這樣學生可以體會到當∠C=90°時，=AC·BC，所以sin90°=1.讓學生感受到原來銳角之外也有三角函數，為日后的數學學習埋下伏筆.同時還能研究鈍角的問題，讓學生感受鈍角三角函數的存在，這樣會加深學生對三角函數、三角形面積的求法的理解.

六、感悟思考

1.重結果更重過程.

中考的作用本是初中教學的指揮棒和方向標，對平時的教與學起著指導性的作用.但隨著學校多方因素的干擾，“功利性”愈演愈烈，只求結果、注重高分，讓素質教育流于形式，凡是中考考點一定進行大量的機械訓練，認為數學教學等同于解題教學、題型教學，更甚者認為是一種刺激—反應—模仿的學習過程.這樣的模式嚴重遏制了學生能力的后續發展，所以日常的教學中一定要關注知識發生、發展的過程，課堂上，多給學生思考的時間和空間，樹立起正確的教學觀念，認識到學生獲得知識必須建立在自己思考的基礎上.文中三角形面積的探索恰好是很好的一例，在素質教育的課堂上要多多出現，同時，課堂上要多鼓勵學生自主探究問題，經歷發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的過程，讓學生的發散性思維得到培養.

2.重知識更重能力.

無論什么性質的考試，都非常注重對“四基”的考查.所以教師的課堂教學，應注重學生對基礎知識、基本技能的理解和掌握，感悟數學思想，積累數學活動經驗.故在教學活動中，教師應首先夯實學生的基礎，確保深刻理解，同時鼓勵與提倡多樣化教學，不僅要求目標、手段多樣化，更要注重解決問題策略的多樣化，激發學生的好奇心和求知欲，通過學生自主的思考、嘗試等過程，創造性地解決問題，從而提高數學的能力.本題的出發點就是從一個簡單的三角形公式出發，重視基礎知識、基本技能，教師教學時開展研究性學習，讓學生獲得該有的數學經驗.

3.反思，不忘初心.

波斯納說：經驗+反思=成功.所以無論是教師的教還是學生的學都要有反思的過程.事實上，數學知識的教學，一定要多關注知識的“生長點”和“延伸點”，把每節課上成一節生長延伸數學課，從一個小問題出發，讓學生的數學思維自由生長，延伸出各式各樣的好問題，把每一堂課的知識整合成一個體系，注重知識的結構與體系之間的聯系，處理好局部知識與整體知識的關系，最終無論問題延伸到何方，都要回過頭再去看那顆“初心”，這樣會有更高層次的理解，可謂“會當凌絕頂，一覽眾山小”.本題的教學自成一個體系，從三角形出發，研究到四邊形，再推廣到多種方法，最后回到三角形，看到別人不曾看到的知識.

一道課本習題，有簡單的結論，有簡單的方法，又有不簡單的思考，不簡單的精彩，中考復習時，一定要為學生數學的長遠發展考慮，這才是每位教師該做的.