橋梁高墩柱結構非線性動力研究

■袁統一

（福建省交通建設質量安全監督局，福州 350003）

橋梁高墩柱結構非線性動力研究

■袁統一

（福建省交通建設質量安全監督局，福州 350003）

本文論述了三線型恢復力模型和雙線型恢復力模型機理及其應用于結構動力分析的差異，前者比后者考慮因素更為全面，也更接近混凝土構件破壞的實際情況。當混凝土開裂和鋼筋屈服后，結構進入塑性階段，此時受各種因素的影響，采用到非線性分析必然會造成系統的最大的Lyapunov指數大于零，也就是系統會進入分叉和混沌的工作狀態。

結構工程 動力響應 恢復力模型 分叉 混沌

1 引言

舉世震驚的5.12汶川大地震，人員傷亡慘重和財產損失巨大的主要原因是房屋倒塌，橋梁等交通設施損壞嚴重，這使我們不得不再次從結構動力學非線性分析理論、設計規范、施工監理檢測和實際工程驗收等各個環節上，對已有的各種文件、標準、資料等進行重新審視。其中，結構非線性分析中恢復力模型的選擇對結構設計的計算結果有較大的影響，并可能改變構件的配筋，從而導致結構延性需求和實際耗能能力的變化。

通常,恢復力模型必須包括兩方面的內容[1]：骨架曲線和滯回環。骨架曲線是滯回環峰值點連線的包絡，它非常接近于我們在實驗室單調加載條件下（靜態或準靜態）分級增量型的破壞全過程曲線，而滯回環卻是在往復（而非重復的）動力荷載下產生的梭形，弓形（捏縮）或倒S形（粘性滑移）循環的近似閉合曲線。骨架曲線上可以清楚地發現三個特征點：混凝土開裂、鋼筋屈服和極限破壞，而滯回曲線上剛度退化，鋼筋屈服后反向再加載的鮑辛斯克效應，混凝土裂縫反復張開閉合和鋼筋界面滑移也都能得到反映。目前最常用的適合于結構非線性分析的恢復力模型見圖1～2。

雙線型模型在鋼結構中應用普遍，也用在鋼筋混凝土結構的初步分析，模型簡單（圖1），卸載時剛度并不退化，且卸載至恢復力為零后直接指向反向屈服點4，后續再加載時直線指向經歷過的位移最大點5，剛度退化容易識別，圖1中k1為彈性段初始剛度，k2為彈塑性段分量剛度。

圖1 雙線性模型

圖2 三線型模型

三線型模型稍微復雜，但它更加符合鋼筋混凝土結構的恢復力模型特性（圖2），其上特征點對應于混凝土開裂，鋼筋屈服和構件破壞極限狀態三種情況，圖2中k1為彈性段初始剛度，k2為混凝土開裂至鋼筋屈服前剛度，k3為硬化剛度。當k3=0時成為滑移模型，即屈服后鋼筋與混凝土界面產生滑移，進入完全塑性階段。卸載剛度在屈服前為彈性剛度k1，屈服后為屈服點2的割線剛度，剛度退化的規則同雙線型模型。

需要說明的是，在結構從線彈性—弱非線性—強非線性—極限破壞全過程中，特別是最后強非線性到臨近破壞，由于混凝土裂縫的反復張拉閉合和碰撞，與上述恢復力模型相互耦合和共同作用，已經發現：它必然會造成系統的最大的Lyapunov指數大于零，出現如圖3所示的相空間軌跡和圖4所示的Poincare截面（頻閃圖），也就是系統處于分叉和混沌的工作狀態[2]。從非線性動力學角度看，需要我們把注意力集中到時間序列相空間重構的最佳嵌入維數和延遲時間 、分叉與混沌產生的條件 、混沌系統中吸引子突然消失或突然膨脹的激變現象等，因為非線性系統的穩態解強烈地依賴于初始條件?；煦缦到y從本質上來說是整體穩定而局部不穩定或隨機性很大的運動方式，它倘若是常見的能量耗散系統，最終要收縮到相空間的有限區域，即吸引子（吸引子可能是穩態平衡點或是極限環，也可能是繼續不斷泛化的奇怪吸引子）。此外，混沌系統的軌道指數型分離，必須經過無窮多次纏繞和折疊，從幾何學上形成分形集，必須用現代分形幾何學來描述，這已超過了本文的研究范圍，其結果將另文發表。

圖3 相空間軌跡圖

圖4 Poincare截面（頻閃圖）

2 多自由度體系非線性分析中幾個重要問題的處理方法與程序實現

多自由度體系非線性分析必須使用增量形式的動力學方程[3]：

對于非線性體系，除了特殊的幾個簡單例子外（如杜芬方程），一般的振型方程不可能解耦，也就是說不存在通常線性條件下的“振型向量”或“Ritz基向量”的概念，方程的求解只能通過數值計算的時程分析方法，而數值方法的“穩定性”是一個關鍵的因素，采用線性加速度方法時，為確保穩定，要求Δt<0.551TN,若體系最高階振型周期TN=0.01s，則Δt<0.00551s，這種過分的要求導致了我們必須尋找無條件穩定的方法[4]：平均加速度法或威爾遜θ法，但平均加速度法有一個欠缺，它不能提供數值阻尼，而威爾遜θ法則是基于加速度在延伸時間步δt=θΔt內為線性變化的假設，當θ≥1.37時是無條件穩定的。類似的還有紐馬克β法，用α,β兩個參數來控制，本文采用威爾遜θ法。

其次，當選定結構中需要考慮軸向力和橫向變形的P-Δ效應時[5]，程序中采用一個附加的三對角幾何剛度矩陣[Ks]e來考慮，其中

則動力方程成：

此外，對于拐點的處理是非線性分析的重要內容之一，恢復力模型中的拐點分類為二類：第一類是因為剛度改變產生。第二類是由加卸載狀態改變產生。已經提出了不少的對拐點處理方法[6-8]，如二分法、線性插值、泰勒展開[9]、不平衡力修正、朱鏡清方法等，本文采用的是泰勒展開法。

程序中處理拐點是用一種縮小積分步長，即令Δt′p= Δt（0

圖5 二類拐點的處理

取二項有：

由此確定p的值為：

由于點A、B、C均為已知，可求出p和B點的速度及加速度：

對圖中的卸載點E,根據

由此，必須有：

3 計算實例及分析

某橋梁高墩柱為五層（每個連系梁算一層）鋼筋混凝土結構體系，結構的特征參數為：各層質量、剛度、開裂位移和屈服位移如表1：第一至第五層第一折減剛度系數為0.4，第二剛度減剛度系數為0.1，地震波采用400gal El Centro波，采樣周期為0.02s。結構的恢復力模型分別采用雙線型模型和退化三線型模型計算，所得最大位移及速度結果見表2。

表1 各層質量、剛度、開裂位移和屈服位移

表2 不同模型下最大位移及速度

圖6 頂層位移比較圖

圖7 頂層速度比較圖

圖8 頂層加速度比較圖

圖9 各層峰值樓面位移比較圖

圖10 雙線型模型計算結果

圖11 退化三線型模型計算結果

根據表1、表2及圖6～圖9的計算結果可知：

（1）由圖6、圖9的計算結果顯示：整個地震荷載作用時程中，各層峰值樓層位移用退化三線型模型計算結果大于雙線型模型，與直觀的估計相同；從相位上看，前者混凝土開裂到鋼筋屈服需要時間，因此，前者的地震響應稍微滯后于后者，各層中第三層相差最大為：71.679-45.865=25.414mm頂層相差為：125.32-108.66=16.66mm。

（2）由圖7、圖8的計算結果看出：速度、加速度用退化三線型模型計算結果與雙線型模型在幅值和相位上雖有一定的區別，但相差不大，其中速度的幅值在相位上相差較大。

（3）圖10與圖11，即位移速度相空間軌跡線[10]顯示，用退化三線型模型計算的結果比雙線型模型更加偏離原點（平衡點），說明考慮混凝土開裂和鋼筋屈服兩種因素比單純考慮鋼筋屈服造成的系統非線性更加強烈。

4 結論

強烈地震中構件恢復力模型的選擇對結構非線性計算結果有較大的影響，本文的主要結論如下：

（1）考慮混凝土開裂，鋼筋屈服和構件破壞極限狀態的三線型剛度退化模型比雙線性簡化模型不但動力響應的幅度較大，而且其相位相對滯后，二者在結構的中間各層（而不是頂層或底層）其橫向位移相差較大。

（2）三線型恢復力模型考慮因素比較全面，也比較接近構件破壞的實際情況，若從實測或實驗資料獲得具體工程的開裂和屈服位移，則結構的非線性分析全過程，包括破壞前構筑物所歷經的復雜位移速度軌跡線和最終的破壞形態就能夠完全確定。

（3）強非線性條件下，動力學系統極有可能進入整體穩定而局部不穩定的混沌狀態，只有用相應的非線性動力學研究方法和理論，如重構相空間最佳嵌入維數和延遲時間、Lyapunov指數、Poincare截面、關聯維、分形幾何學等，才能比較徹底解決問題。

[1]何政,歐進萍.鋼筋混凝土結構非線性分析[M].哈爾濱工業大學出版社.2006.

[2]Anil K.Chopra.結構動力學（第2版）[M].高等教育出版社,2005.

[3]Anil K.Chopra.Structural dynamics（Second Edition）[M]Higher education press,2005.

[4]吳堔,周瑞忠.基于Hilbert譜的結構動力響應非線性特征分析[J].振動與沖擊，2013，32（14）：70―76.

[5]徐趙東,郭迎慶.Matlab語言在建筑抗震工程中的應用[M].科學出版社.2004.

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[8]殷振坤.軸向運動薄板的非線性振動研究[D].廣州:中山大學,2007.

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