圓形區域勻強磁場對帶電粒子運動方向的作用

張曉麗

摘要：從圓形區域勻強磁場邊界上同一點入射的帶電粒子束，經圓形勻強磁場偏轉后轉變為平行的帶電粒子束，該現象的逆過程就是通常所說的磁聚焦.文章首先運用中學數學知識推導出射角的余弦隨入射角變化的函數表達式.根據該表達式討論得出：粒子做勻速圓周運動的半徑r與圓形磁場區域半徑不相等時出射角α的范圍，兩半徑相等時出射角為90°的結論.目的在于使人們認識到磁聚焦及其逆過程只是磁偏轉在某些條件下的特定結果，提升對這一問題的認識.

關鍵詞：圓形區域勻強磁場；入射角；出射角；入射速度；出射速度

1一般性分析

在半徑為R的圓形區域內，存在垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度為B，從磁場邊界上的點O向各個方向發射完全相同的帶電粒子，粒子質量為m，電荷量為q，粒子速度的大小均為v.為方便起見，以O為坐標原點，通過O點圓形磁場區域，直徑OA方向為x軸正方向建立直角坐標系.從O點沿任意方向發射的一個帶電粒子，速度方向與x軸正向成θ角為入射角，圓形磁場區域和粒子的運動軌跡如圖1所示，粒子做勻速圓周運動的半徑為r，磁場區域圓心和粒子做勻速圓周運動軌跡的圓心分別為O1、O2，出射點為B，出射速度的反向延長線與x軸交于C點 ，出磁場速度方向與x正向成α角為出射角，∠BOC=β，∠OBC=r.粒子受洛倫茲力作用做勻速圓周運動，有

Bqv=mv2r

解得r=mvBq

由圖1可知：

OB=2Rcosβ

OB=2rcos（90°-θ-β）=2rsin（θ+β）

由此可得：

2Rcosβ=2rsin（θ+β）

運用兩角和的正弦公式，得

2Rcosβ=2r（sinθcosβ+cosθsinβ）

兩邊同除以2cosβ，解得

tanβ=R-rsinθrcosθ

又由圖看出：

γ=90°-（90°-θ-β）=θ+β

所以，出射速度與x軸正向成的角

α=β+γ=θ+2β

根據三角函數中的萬能公式，得

sin2β=2tanβ1+tan2β=2R-rsinθrcosθ1+R-rsinθrcosθ2

=2rcosθ（R-rsinθ）r2+R2-2Rrsinθ（1）

cos2β=1-tan2θ1+tan2θ=

r2cos2θ-R2-r2sin2θ+2Rrsinθr2+R2-2Rrsinθ（2）

根據兩角和的余弦公式，得

cosα=cos（θ+2β）=cosθcos2β-sinθsin2β（3）

將（1）、（2）兩式代入（3）式，得

cosα=cosθr2cos2θ-R2-r2sin2θ+2Rrsinθr2+R2-2Rrsinθ

-sinθ2rcosθ（R-rsinθ）r2+R2-2Rrsinθ

對上式化簡，得

cosα=（r2-R2）cosθR2+r2-2Rrsinθ（4）

將cosα對θ角求導數，得

（cosα）′θ=（r2-R2）（-sinθ）（R2+r2-2Rrsinθ）（R2+r2-2Rrsinθ）2

-（r2-R2）cosθ（-2Rrcosθ）（R2+r2-2Rrsinθ）2

化簡，得

（cosα）′θ=（r2-R2）[2Rr-（R2+r2）sinθ]（R2+r2-2Rrsinθ）2（5）

粒子進入磁場的入射角θ的范圍：-90°≤θ≤90°.

由（4）式可以看出：當r≠R時，出射角α隨入射角θ的變化而變化，入射角θ不同的粒子，出射方向不同，帶電粒子離開磁場時仍是沿各方向運動的，不過由于粒子做勻速圓周運動軌跡半徑r的不同出射角α所在的范圍不同，下面分情況討論.

11r﹤R的情況

當r0，（cosα）′θ<0，隨θ角的增大，cosα減小，出射角α增大；當sinθ>2RrR2+r2時，2Rr-（R2+r2）sinθ<0，（cosα）′θ>0，隨θ角的增大，cosα增大，α減小.

12r>R的情況

當r>R時，根據（4）式，無論入射角θ多大，因為R2+r2-2Rrsinθ>0，cosθ≥0得到cosα≥0，α≤90°，粒子在磁場邊界上向右上方射出.根據（5）式，當sinθ<2RrR2+r2時，2Rr-（R2+r2）sinθ>0，（cosα）′θ>0，隨θ角的增大，cosα增大，出射角α減小；當sinθ>2RrR2+r2時，2Rr-（R2+r2）sinθ<0，（cosα）′θ<0， 隨θ角的增大，cosα減小，α增大.

r=R的情況完全不同于前面兩種情形.

2非常有意思的r=R的特殊情況

r=R也就是帶電粒子做勻速圓周運動的軌跡半徑等于圓形勻強磁場區域的半徑時，由（4）式可以知道： 無論入射角θ多大，因為r=R，總有cosα=0，于是α=90°，這說明所有的帶電粒子到達磁場邊界時出射角都相同，都垂直于圓形磁場區域過入射點的直徑，發散的帶電粒子束通過磁場偏轉轉變為平行的帶電粒子束，但入射角θ不同的粒子出磁場時速度方向的偏轉角仍然是不相同的.

這種情況如圖2所示.證明如下：∵ r=R，∴ OO1=O1B=O2B=OO2=R，因而四邊形OO1BO2是菱形，出射速度V垂直于粒子勻速圓周運動軌跡半徑O2B，而O2B∥OA，出射速度V當然也就垂直x軸了.

同樣地，一束完全相同的帶電粒子平行入射到一個圓形勻強磁場區域的邊界上，各粒子速度的大小相同，粒子受洛倫茲力做勻速圓周運動發生偏轉，如果粒子做圓周運動的軌跡半徑r等于圓形磁場區域半徑R，所有粒子偏轉后的軌跡將通過磁場邊界上的同一點.這一問題是上面的問題的逆過程.