基于PD控制的大撓性衛星輸入成型姿態機動方法研究

鐘 超,吳敬玉,陸智俊

(上海航天控制技術研究所,上海 201109)

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基于PD控制的大撓性衛星輸入成型姿態機動方法研究

鐘 超,吳敬玉,陸智俊

(上海航天控制技術研究所,上海 201109)

對有快速姿態機動要求的大撓性衛星，為減小撓性振動對姿態機動時間的影響，對基于比例微分(PD)控制的輸入成型姿態機動方法進行了研究，提出用輸入成型方法在快速機動過程中直接對附件的撓性振動進行抑制。將動力學方程擴展到狀態空間，通過求解狀態矩陣的特征值解出系統的等效振動頻率與阻尼比，以獲得成型輸入器。給出了一種簡化的且能滿足工程使用的輸入成型頻率參數確定方法。設計了輸入成型的PD控制器，實現歐拉軸快速姿態機動，同時有效抑制附件的振動。對輸入成型器的誤差進行了分析。仿真分析了ZVD，EI，ZVDD，EI-Twohump四種輸入成型器對某衛星太陽陣撓性振動的抑制效果，以及慣量和撓性參數分別在標稱及拉偏狀態下衛星姿態機動時的姿態誤差與振動模態。結果表明：該方法可滿足工程使用要求，簡易地獲取輸入成型參數，設計繞歐拉軸近似最短路徑的機動方式，能有效抑制附件的撓性振動，實現快速的姿態機動。

大撓性衛星； 輸入成型； PD控制； 姿態機動； 撓性參數； 姿態控制； 帶寬隔離； 撓性抑制

0 引言

隨著衛星功能的增強，有效載荷增加，為保證星上能源的供應，太陽能帆板的面積需相應增大，衛星的動力學特性表現為星體大慣量和附件大撓性。對無姿態機動要求的大撓性衛星，姿態控制器都是通過減小系統帶寬的方法減弱附件撓性振動對控制系統的影響[1-8]。對有快速姿態機動要求的衛星，執行機構輸出的大力矩易激發撓性附件振動，從而對姿態機動過程的快速與穩定造成影響，進而影響姿態機動時間。

對大撓性附件衛星控制的研究主要有頻率隔離、變結構控制和分力合成等方法。頻率隔離法屬被動控制方法，簡單易行，但隨著技術的發展，對衛星姿態機動提出了新的要求，而該方法難以滿足這些新要求[8]。變結構控制方法對系統參數和干擾有較強的魯棒性，但需利用全狀態信息反饋，而衛星上撓性部件的模態振動一般難以通過測量得到[9-11]。分力合成方法可有效抑制撓性附件的振動，但需準確獲知撓性附件的撓性參數，對參數的魯棒性較差，但航天器準確的在軌撓性參數無法獲得[12-13]。

輸入成型方法是指由脈沖序列與給定的期望輸入卷積，形成的成型輸入信號作用于被控對象。輸入成型是一種減小系統余振的前饋控制，通過合理設計這些脈沖的大小及時間可消除殘余振動[14-16]。輸入成型控制設計需求取整星的非約束模態撓性參數。衛星動力學按狀態空間改寫后，將面臨從高階矩陣中求取對應的整星等效撓性參數的問題，其計算非常復雜且量大，不利于工程實現[17-19]。

本文將輸入成型方法與PD控制結合，設計了一種易于工程使用同時又能滿足工程要求的輸入成型器撓性參數獲取方法。根據多撓性體動力學輸入成型設計方法，先將動力學方程擴展至狀態空間，由狀態矩陣的特征值解出系統的等效振動頻率與阻尼比；在分析狀態矩陣的基礎上，給出了一種誤差范圍在工程中可接受的系統特征值求取方法；設計了跟蹤期望軌跡的PD控制方法。此外，還設計了添加輸入成型的繞歐拉軸快速機動的控制器，能在實現快速機動的同時有效抑制附件的振動。最后用數學仿真對本文方法在姿態機動過程中抑制撓性附件振動的有效性進行驗證。

1 輸入成型方法

輸入成型方法是一種通過對輸入力矩信號進行某種改變，在力矩輸入完成后能保證衛星機動指定角度，同時使衛星的柔性附件沒有殘余振動的方法。通常來講，輸入成型器相當于一個濾波器，可將輸入力矩中與帆板振動頻率相同的信號濾除，從而避免衛星在機動過程中激發帆板振動。

衛星的動力學模型可表示為

(1)

式中：φ為衛星的三軸姿態角；I為衛星慣量；T為控制力矩；a為剛柔耦合系數；η為撓性附件的模態坐標；ωc為撓性振動的頻率；ξ為模態振動阻尼比。

首先，考察單位脈沖力矩激發的撓性附件的振動。將撓性附件的振動方程改寫為

(2)

將控制力矩T視作零初始條件下的一系列的脈沖輸入，則可得系統的響應

(3)

展開式(3)，并令其中含有時間項的系數為零，則可得

(4)

(5)

求解式(4)、(5)可得作用于衛星的n個脈沖力矩的Aj，tj，并能保證在第n個脈沖力矩作用后系統的殘余振動為零。

對實際衛星，帆板的振動頻率和阻尼比常存在一定的拉偏，常用的方法是引入約束方程

(6)

使成型器對不確定性具有一定的魯棒性。N的數值不同，成型器的名稱也不相同，稱為N階魯棒輸入成型器。當衛星攜帶帆板1個，但帆板有振動頻率m個時，可分別對各階振動頻率求解輸入成型器，最后將所得成型器進行卷積以得到新的成型器，新的成型器能抑制上述m個頻率的振動。

目前應用較廣的成型器有ZD，ZVD，ZVDD，EI，EI-Twohump成型器。ZD成型器是雙脈沖成型器，該成型器適于無頻率拉偏狀況，能精確抑制振動。當存在頻率拉偏時，ZD成型器的殘余振動過大，不具有很好的魯棒性。ZVD，ZVDD成型器通過對殘余振動的導數進行限制以增強控制器的魯棒性，但這會增加成型器的長度，如ZVDD成型器的長度為ZD成型器的兩倍。EI，EI-Twohump成型器都有更好的魯棒性，在標稱狀態下允許有誤差存在，但當頻率偏離標稱狀態一小段距離時，殘余振動幅值減小；當頻率偏差達到一定值時，系統的殘余振動為零。EI，EI-Twohump成型器正是利用這種方法增強魯棒性的。

1.1 ZD，ZVD，ZVDD成型器

傳統輸入成型方法通過求解約束表達式(4)、(5)，使n個脈沖作用過后，系統的殘余振動為零。令n取極小值，求解上述的約束方程。

通過優化方法可得，此成型器的最小脈沖數為2個，其作用時間與幅值見表1。

表1 ZD成型器參數Tab.1 Parameters of ZD input shaper

表1中，K，t滿足關系

(7)

為增加系統的魯棒性，增加以下約束條件

(8)

由此則得到ZVD成型器。式(8)約束了脈沖結束時刻系統殘余振動的變化率，系統殘余振動的變化率最小，從而增加了系統的魯棒性。ZVD成型器參數見表2。

表2 ZVD成型器參數Tab.2 Parameters of ZVD input shaper parameters

為使系統的魯棒性更強，常采用以下約束

(9)

由此得到ZVDD輸入成型器。式(9)不僅約束了殘余振動的一階導數，而且對二階導數也進行了限制。ZVDD成型器參數見表3。

表3 ZVDD成型器參數Tab.3 Parameters of ZVDD input shaper

理論上可無限制地增加約束條件，從而使成型器獲得更強的魯棒性，但過長的成型器并不合適。此外，限制殘余振動的更高階導數對系統魯棒性的影響并不明顯。因此，實際應用最廣的是ZVD，ZVDD成型器。

1.2 EI，EI-Twohump成型器

EI成型器是在研究ZVD成型器向量圖的條件下提出的。對ZVD成型器的相位進行微小的調整能較好地提高系統的魯棒性，但這種魯棒性有方向性，即對某個方向拉偏的頻率偏差有較強的魯棒性。

EI成型器參數見表4。表4中：A1～A3滿足關系

(10)

式中：V為標稱狀態時系統的殘余振動幅值。

表4 EI成型器參數Tab.4 Parameters of EI input shaper

EI-Twohump成型器是對4個脈沖的ZVDD方法改進后得到的。其約束條件是：標稱頻率時系統無殘余振動，在標稱頻率的兩邊存在對稱的兩點，在這兩點上系統的殘余振動為允許的最大值；在這兩點的外部存在另外兩個對稱點，這兩個點的殘余振動為零。這種振動形式是在允許條件下4個脈沖能達到最大魯棒性的脈沖形式。

EI-Twohump成型器參數見表5。

表5 EI-Twohump成型器參數Tab.5 Parameters of EI-Twohump input shaper

表5中：A1～A4滿足關系

(11)

兩種脈沖數最多的輸入成型器的魯棒性如圖1所示。

2 多撓性附件動力學輸入成型器設計

2.1 輸入成型器求取

攜帶多個撓性附件的衛星動力學模型可表示為

(12)

設撓性附件有振動頻率m個，將式(12)寫成狀態空間形式

(13)

式中：A，B分別為(2nm+6)， (2nm+6)×3維的常值矩陣，A，B的具體表達式對推導過程無影響；

(14)

式中：x0為系統的初始狀態。一般，對姿態機動控制問題，系統的初始狀態為零，則得

(15)

式中:uj為第j個脈沖輸入。為在機動結束后有效消除振動，需式(15)在t>tn時恒為零。式(15)改寫為

(B1uxj+B2uyj+B3uzj)=0

(16)

式中：Bi為矩陣B的第i列；uxj，uyj，uzj分別為第j個脈沖力矩在x、y、z軸的分量。

需說明的是，因無法事先知道三軸控制力矩的比例，故不能通過對某一軸力矩的成型消除另一軸的振動，需分別對三軸力矩進行成型處理。

不失一般性，以滾動軸為例，根據成型器條件推導，若A含有不同的特征值n個，則式(16)中的e-A(t-tj)可寫成

(17)

式(17)中P的第i列是A的第i個特征值對應的特征向量。則式(17)可化簡為

(18)

對簡單的無耦合的二階系統，可在時域內得到簡單的輸入成型器的約束方程，約束方程可寫成式(18)的形式，式(18)中的特征值恰好對應于各二階系統的頻率與阻尼比。

因此，對有多個撓性附件的系統，只需將其寫成狀態空間的形式，并求解A的特征值，就可通過A的特征值解出系統的等效振動頻率與阻尼比，進而根據等效振動頻率與阻尼比求解成型器。除與控制器對應的6個特征值外，其余的特征值是與附件的運動相對應的，振動系統的特征值成對出現，并互為共軛。一對共軛特征值可求解出一個等效的振動頻率和阻尼比。共軛特征值與等效振動頻率、阻尼比的滿足關系

(19)

式中：λ為振動系統的特征值；i為虛數單位。由式(19)可求出振動系統的等效振動頻率和阻尼。

2.2 撓性附件等效振動頻率工程簡化求取

A與撓性附件的耦合系數有關，而耦合系數在附件轉動時會發生變化，因此其特征值的求取有一定難度。本文推導了一種誤差范圍在工程中可接受的特征值求取方法。

將衛星姿態控制系統寫成狀態空間的形式，其表達式為

(20)

式中：

x=

(21)

A=

(22)

(23)

此處：Ic=I-Brot·(Brot)T；H=(E-(Brot)TI-1Brot)-1；q#=0.5(q0E3+(qv)×)；E為對應維數的單位矩陣;qv為四元數矢部；符號“”表示反對稱陣。

將PD控制器代入式(20)可得

(24)

式中：qvd為期望四元數矢部；Kp，Kd分別為控制器的比例系數和微分系數；ad為期望角加速度；e為歐拉軸。另

(25)

此處：

僅需求取出A*的所有特征值，并分離出其中與撓性附件振動頻率對應的特征值即可應用輸入成型方法。但通常控制系統的運動學方程是非線性的，即A*的表達式中含有q#項，因此無法精確得到A*的特征根。

分析A*特征根的形式，并討論非線性運動學方程對撓性振動對應的特征根的影響。考慮一般的控制形式，則

(26)

式中：q0為姿態四元數的標部。在衛星機動過程中，q0隨時間而變，其變化范圍為0～1。

以某衛星為例分析q0變化對A*中對應的撓性附件振動頻率的影響。衛星太陽電池陣的1～6階模態頻率分別為 0.181，0.589，0.909，0.993，2.402，2.726 Hz；X側太陽電池陣振動與轉動的柔性耦合系數矩陣分別見表6、7。

表6 +X側太陽電池陣振動與轉動的柔性耦合系數矩陣Tab.6 Vibration and flexible coupling coefficient array of +X side solar cell array

表7 -X側太陽電池陣振動與轉動的柔性耦合系數矩陣Tab.7 Vibration and flexible coupling coefficient array of -X side solar cell array

將上述參數代入式(26)，計算撓性附件對應的頻率，與用簡化矩陣計算的附件振動頻率進行對比，分析附件頻率計算的誤差，以及q0變化對計算結果的影響，誤差分析結果見表8。計算中，Kp=0.04，Kd=0.4。

表8 特征值誤差Tab.8 Error of eigenvalue

由表8可知：q0的變化對A*附件振動頻率的影響很小，最大影響相當于附件頻率拉偏了0.26%。簡化計算的結果與實際的振動頻率偏差約2.49%，對比衛星實際振動頻率的拉偏，2.49%的計算誤差可接受。

3 PD控制器設計

本章設計了一種輸入成型的PD控制快速姿態機動方法，該法適于繞歐拉軸機動的衛星，并可抑制機動過程中激發的振動，同時能獲得姿態快速穩定的效果。

為實現衛星的快速姿態機動，可先規劃出一條期望的歐拉角速度ωd與期望的歐拉角軌跡Φd，用PD控制算法使衛星狀態跟蹤這個期望的狀態。為使系統能同時跟蹤上期望的歐拉角速度與歐拉角，ωd，Φd應滿足關系

(27)

為使系統能精確跟蹤期望的姿態與姿態角速度，在一般PD控制器的基礎上引入沿歐拉軸的ad的前饋，ad，ωd需滿足條件

(28)

利用第2章中得到的輸入成型脈沖序列F，將規劃的路徑與其進行卷積處理得到成型后的期望路徑，即

(29)

根據期望歐拉角計算出qvd，其表達式為

(30)

式中：e0為機動歐拉軸。

含有期望角加速度前饋的PD跟蹤控制算法為

ade0)

(31)

直接用式(31)控制方式即可對衛星姿態進行控制，能保證在機動結束后沒有因姿態機動而留下的殘余振動。因振動在機動后被有效抑制，故可將系統的帶寬設計得更大，使其能精確跟蹤軌跡Φd，ωd。

4 輸入成型器誤差分析

對實際的衛星姿態控制系統，輸入成型器并不能在機動結束后完全消除附件的振動，主要原因如下。

a)實際的控制系統為離散控制系統，因離散時間是固定的，故無法保證輸入成型器延時的準確性，這樣會造成時間上的誤差。如振動的半周期小于離散系統的時間，將無法應用輸入成型控制器。

b)實際的帆板振動頻率存在偏差，與標稱的振動頻率并不嚴格相同，這將會導致實際的振動抑制效果偏離理論結果。

c)由于轉動慣量與衛星的帆板振動頻率有關，轉動慣量的拉偏將會影響帆板的實際振動頻率，其效果相當于振動頻率的拉偏。

d)若機動過程中帆板發生轉動，則需在理論上說明帆板轉動對衛星振動抑制的影響。

首先分析原因b)、c)。帆板振動頻率拉偏產生的偏差可直接轉化為成型器時間節點的不準確。這樣轉化的根據是：在成型器的兩個參數(脈沖幅值與作用時間)中，只有作用時間是振動頻率的函數，由式(7)可知：脈沖幅值是關于K的函數，作用時間是關于t的函數，振動頻率的拉偏將導致脈沖作用時間不準確。但這可通過應用魯棒性更強的輸入成型器盡量減小由振動頻率拉偏帶來的影響。

其次分析原因a)。這相當于將脈沖作用時間延后，脈沖作用時間變為實際脈沖作用時間后且距其最近的離散時間整數倍的時間點。如離散時間為0.5 s，脈沖作用時間為2.6 s，則實際的脈沖作用時間為3 s。這種由離散化造成的脈沖作用時間的不確定性可轉化為振動頻率的不確定，相當于振動頻率正向拉偏。對一階頻率，相當于撓性頻率5%之內的拉偏。

最后分析原因d)。對帆板的耦合矩陣參數進行分析可知：帆板轉動對衛星振動頻率的影響很小，而耦合系數的變化將導致脈沖作用時間點的輸入矩陣B不同，這樣導致的等效變化相當于脈沖幅值發生了變化；但若帆板的轉動速度較慢，則B的變化速度也相對較慢，這樣在兩個脈沖作用時間間隔內B的變化就非常小，因此對振動抑制效果的影響也就非常小。

5 仿真

本文以某衛星為例進行仿真。該衛星太陽電池陣展開后的面積31 m2，第一階模態0.181 Hz，第二階模態0.589 Hz，姿軌控分系統采用角動量50 N·m·s的五棱錐構型控制力矩陀螺群作為執行機構，需繞滾動方向在180 s內機動66°，姿態機動結束指標為姿態角小于0.02°，姿態角速度小于0.000 5 (°)/s。

由于采用控制力矩陀螺群作為執行機構，輸出力矩達到10 N·m，此大力矩作用于衛星上，姿態機動時電池陣撓性模態激發嚴重，無法滿足姿態機動時間的指標要求。取整星的慣量參數為：Ixx=8 063 kg·m2；Iyy=14 784 kg·m2；Izz=12 225 kg·m2；Ixy=-368 kg·m2；Iyz=2 657 kg·m2；Ixz=345.6 kg·m2。PD控制器參數設計為：無阻尼角頻率ωn=0.2 rad/s；阻尼比ξ=0.9；最大機動角速度ωn=0.8 (°)/s；歐拉軸方向最大力矩Tx=10 N·m。

因系統控制周期0.5 s，離散時間較長，僅能對一階與二階振動頻率產生一定的抑制作用，故只設計了抑制一階、二階頻率的ZVD、EI、ZVDD、EI-Twohump輸入成型器，各成型器參數見表9～12。期望軌跡時間節點見表13。

表9 ZVD輸入成型器參數Tab.9 Parameters of ZVD input shaper

表10 EI輸入成型器參數Tab.10 Parameters of EI input shaper

表11 ZVDD輸入成型器參數Tab.11 Parameters of ZVDD input shaper

表12 EI-Twohump輸入成型器參數Tab.12 Parameters of EI-Twohump input shaper

表13 期望軌跡時間節點Tab.13 Anticipant track time node

5.1 輸入成型方法比較

分別用ZVD，EI，ZVDD，EI-Twohump輸入成型器進行姿態機動控制仿真，所得兩翼太陽電池陣的撓性模態激發分別如圖2～9所示，對太陽陣殘余振動的抑制結果見表14。

成型ZVDEIZVDDEI-Twohump右翼帆板2%2%2.5%2.5%左翼帆板10%4.4%5%5%

由表14可知：ZVDD，EI-Twohump輸入成型方法對太陽陣撓性振動的抑制效果相當，且均優于EI，ZVD輸入成型方法，ZVD輸入成型方法的抑制效果最差。

5.2 姿態機動仿真

用Matlab/Simulink軟件編制仿真程序，針對PD控制的跟蹤輸入成型軌跡方法進行仿真，采用ZVDD輸入成型方法。采用ODE4算法，取積分步長0.02 s，仿真時長6 000 s，在時刻2 000 s機動。慣量和撓性參數為標稱值時，仿真所得姿態角誤差、姿態角速度誤差、兩翼帆板振動模態分別如圖10～15所示。

帆板模態頻率拉偏+20%時，仿真所得姿態角誤差、姿態角速度誤差、兩翼帆板振動模態分別如圖16～21所示。

帆板模態頻率拉偏-20%時，仿真所得姿態角誤差、姿態角速度誤差、兩翼帆板振動模態分別如圖22～27所示。

慣量拉偏+15%、帆板模態頻率拉偏+20%、耦合系數拉偏-20%時，仿真所得姿態角誤差、姿態角速度誤差、兩翼帆板振動模態分別如圖28～33所示。

慣量拉偏-15%，帆板模態頻率拉偏-20%，耦合系數拉偏+20%時，仿真所得姿態角誤差、姿態角速度誤差、兩翼帆板振動模態分別如圖34～39所示。

在標稱和上述不同拉偏條件下，仿真所得姿態控制和撓性模態振動幅值見表15。

5.3 仿真小結

由圖10～15可知：采用本文簡化的輸入成型參數獲取方法，結合跟蹤期望軌跡的PD控制算法，在標稱的慣量和撓性參數條件下，姿態機動結束用時131 s，遠優于總體對姿態機動的指標要求(180 s)。與其它方法相比，本文提出的設計方法可有效抑制姿態機動過程中的撓性模態激發，縮短了姿態機動時間。

由表15可知：在各種參數拉偏情況下，系統的控制精度和穩定度一致，但姿態機動時間和模態抑制程度相當，姿態機動時間最大136 s，最小123 s，相差不大，對應的撓性模態振幅分別為0.25，0.009。由此可認為，本文提出的方法能適應衛星慣量參數和附件模態的拉偏，具一定的魯棒性，可滿足工程應用。

表15 姿態控制和撓性模態振動幅值Tab.15 Attitude control and flexible modal vibration range

6 結束語

本文針對衛星控制系統進行狀態空間建模，從理論上推導出了系統設計輸入成型器時等效頻率與狀態矩陣的關系，結合PD控制器的形式，設計了一種誤差范圍在工程中可接受的簡單的特征值求取方法。將輸入成型器的脈沖對姿態機動路徑進行卷積處理得到期望的軌跡，設計了跟蹤期望軌跡的PD控制方法。以某衛星為背景進行了數學仿真，結果表明：采用該方法后姿態機動過程中附件的撓性振動被有效抑制，姿態機動時間遠優于技術指標的要求。分析仿真可知：該方法對參數的拉偏具魯棒性，能適應慣量參數±15%、帆板撓性模態參數±20%的拉偏。

本文方法依賴于地面整星慣量和撓性參數的準確測量，如整星參數的地面測量誤差較大，輸入成型器所需的等效頻率就會產生較大的誤差，這會對控制效果產生一定影響。后續將對在軌整星慣量和撓性參數的辨識進行研究，以獲得較準確的辨識參數，用辨識參數對輸入成型器和PD控制器進行修正，期望獲得更好的控制效果。

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Research on Input Shaping Attitude Maneuver Method for Large Flexible Satellite Based on PD Control

ZHONG Chao, WU Jing-yu, LU Zhi-jun

(Shanghai Institute of Spaceflight Control Technology, Shanghai 201109, China)

For some large flexible satellites required fast attitude maneuver, an input shaping attitude maneuver method based on PD control was studied to reduce the effect of flexible vibration on attitude maneuver time in this paper, in which input shaping method was applied to suppress adjunct’s flexible vibration during fast attitude maneuver. The dynamic equation was extended to the state space. The equivalent vibration frequency and damping ratio of the system were solved by computing eigenvalue of the state matrix, so the input shaper was obtained. An input shaping frequency parameters determination method was designed, which was simple and met the requirement in engineering. The PD controller of input shaping was designed, which could realize fast attitude maneuver by Euler axis and reduce adjunct flexible vibration as well. The errors of input shaper were analyzed. The suppress effects of flexible vibration for solar array of some satellite using ZVD, EI, ZVDD and EI-Twohump input shapers were analyzed by simulation. And the attitude error and vibration modal under nominal and deflection of inertia and flexible parameters in maneuvering were also discussed. It found that the method proposed could satisfy the engineering requirement. This method can satisfy engineering requirement, obtain input shaping parameters simply, design approximately the shortest maneuver route, restrain flexible vibration effectively, and complete fast attitude maneuver.

large flexible satellite; input shaping; PD control; attitude maneuver; flexible parameter; attitude control; bandwidth isolation; flexible supression

1006-1630(2017)02-0085-14

2017-02-14；

2017-03-22

鐘 超(1984—)，男，高級工程師，主要從事航天器控制研究。

V448.2

A

10.19328/j.cnki.1006-1630.2017.02.009