考慮壓電傳感器漏電效應的大柔性智能結構建模方法研究

袁秋帆,劉延芳,朱東方,齊乃明

(1.哈爾濱工業大學 航天學院,黑龍江 哈爾濱 150001; 2.上海市空間智能控制重點實驗室,上海 201109;3.上海航天控制技術研究所,上海 201109)

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考慮壓電傳感器漏電效應的大柔性智能結構建模方法研究

袁秋帆1,劉延芳1,朱東方2， 3,齊乃明1

(1.哈爾濱工業大學 航天學院,黑龍江 哈爾濱 150001; 2.上海市空間智能控制重點實驗室,上海 201109;3.上海航天控制技術研究所,上海 201109)

針對采用壓電元件構成的大柔性智能結構基頻較低、壓電傳感器漏電流效應明顯而不能忽略等問題，對考慮壓電傳感器漏電流效應的結構建模方法進行了研究。推導了考慮壓電傳感器漏電效應的數學模型，根據等效電路，在傳遞函數中添加了一階環節建立漏電流模型。搭建了壓電型大柔性智能結構試驗系統，用掃頻測量技術獲得了智能結構的幅頻響應，用非線性最小二乘擬合的參數辨識方法計算了模型參數。通過分析試驗數據，對比考慮和不考慮壓電傳感器漏電效應的智能結構模型的擬合結果，發現考慮壓電傳感器漏電效應的智能結構數學模型與實驗結果吻合，尤其是在低頻區域，驗證了提出的智能結構數學模型的準確性。

大柔性智能結構； 壓電傳感器； 漏電效應； 參數辨識； 掃頻； 非線性最小二乘擬合； 一階環節； 低頻

0 引言

隨著空間科學技術的發展，大型化的大柔性結構在航天器中的應用日益廣泛。大柔性結構的基頻較低，其振動一旦被激發，衰減緩慢。大柔性結構的振動會影響航天器的姿態穩定精度，對載荷造成振動干擾，甚至會導致結構損壞、航天器失效。近年來，為減弱或避免大柔性結構的振動，提出了主動振動控制技術，采用智能元件與大柔性結構整合形成智能結構實現振動抑制[1]。

智能結構數學模型的精確度直接影響振動抑制控制器設計的優劣，從而影響振動抑制的效果。對壓電型智能結構的建模方法，已有文獻提出了多種方法。柔性結構具無窮階諧振模態，是一個分布參數系統，每階模態都可用偏微分方程描述[2]。對撓性結構建模時，忽略結構帶寬外的振動模態對結構整體振動的影響雖簡化了控制器設計，但這些忽略的振動模態會影響系統傳遞函數的零點，導致設計的閉環控制系統不穩定。因此，文獻[3]在系統傳遞函數中引入了饋通項作為對其的補償。現有的研究中，智能結構的基頻均較高(1 Hz以上)，壓電式傳感器在1 Hz以上的頻率區間內，對振動的測量準確，效果較好[4]。在低頻條件下，壓電傳感器特性不理想，漏電流效應(電荷泄露)較明顯，在進行準靜態校準時，就必須考慮漏電流效應[5-8]。但在對大柔性壓電型智能結構建模時，目前尚無文獻考慮漏電流效應。大柔性結構基頻較低，對測量其頻率的壓電傳感器進行建模時，若不考慮壓電元件的漏電流效應，則數學模型將產生較大誤差。本文針對壓電型大柔性智能結構，考慮壓電傳感器的漏電流效應，給出了數學建模方法。采用參數辨識技術，通過實驗測量和對比，對提出的大柔性智能結構數學模型的準確性進行驗證。

1 大柔性智能結構數學模型

薄板大柔性結構是典型的大柔性結構，如航天器的太陽能電池陣、大型陣面天線等。本文以薄板結構為例進行壓電型大柔性智能結構的建模研究。

懸臂薄板如圖1所示。采用貼壓電陶瓷片構成大柔性智能結構時，常采用同位粘貼[9]。即壓電執行器和壓電傳感器對位分別貼于薄板結構兩側，薄板表面任意位置(xi,y0) 處兩個側面分別貼有壓電傳感器(Si)p個和壓電陶瓷執行器(Ai)1個，壓電元件施加在薄板上的載荷等效為力矩M(x，t)。

1.1 壓電執行器模型

壓電執行器的原理是逆壓電效應，在壓電片式執行器兩個表面電極上施加電壓，會在其主方向上產生應變，從而對柔性板產生彎矩的作用。第i個執行器上的電壓Va,i(t)與產生彎矩滿足關系

(1)

(2)

式中：Eb，Ib分別為薄板的楊氏模量和橫截面慣性矩；ρb為薄板x方向線密度；p為執行器數量[10]。

將式(1)代入式(2)，并考慮薄板的阻尼，得

(3)

1.2 壓電傳感器模型

不考慮漏電流效應時，壓電傳感器利用壓電效應，當傳感器發生應變時，傳感器上下表面的電極會產生電荷，通過線性電荷放大器，得到電壓模擬量，從而測量得到傳感器處的平均應變。壓電傳感器有一個主方向，其上電荷量的變化與主方向上的應變成正比。如圖2所示，壓電傳感器的主方向為x向，即柔性板的長度方向。

壓電傳感器產生的電荷量與應變關系可表示為

(4)

式中：d31為壓電常數；Ep，hp，lp分別為壓電陶瓷片的楊氏模量、寬度和長度；εi為壓電陶瓷片在x向上的應變。

由基爾霍夫梁假設，可得應變與撓度關系

(5)

式中：tb，tp分別為薄板和壓電陶瓷片的厚度。

將式(5)代入式(4)，得

(6)

設電荷放大器增益為gc，則電荷放大器輸出電壓與模態坐標間的關系為

(7)

考慮漏電流效應時，壓電傳感器的基本電路原理如圖3所示[5，11]。

壓電傳感器受到應力產生電荷時，壓電傳感器內部就構成了一個RC電路，為一階慣性環節，漏電時間常數τL=CsRs。此處：Cs為等效電容；Rs為等效電阻。傳遞函數可表示為

(8)

式中：gL為增益。

綜上，當考慮壓電傳感器漏電流效應時，傳感器的數學模型為

(9)

1.3 大柔性智能結構傳遞函數描述

根據壓電執行器和傳感器的數學模型，應用薄板振動基本方程和哈密頓原理，結合文獻[12]給出的數學模型，不考慮壓電元件的漏電流效應，從壓電執行器上的輸入電壓至壓電傳感器的輸出電壓的傳遞函數為

(10)

式中：Φk=[ψk,1ψk,2…ψk,i…ψk,p]T。

為獲取可用的數學模型，將模態截斷到第N階，直接截斷有可能出現外溢現象，從而導致控制系統不穩定。結構帶寬內高于N階的模態可用饋通項近似，則控制系統開環傳遞函數可表示為

(11)

式中：gvv=gLgsga；D為饋通項，又稱為模態截斷誤差[13]。若考慮壓電傳感器的電荷泄露，則控制系統開環傳遞函數可表示為

(12)

2 大柔性智能結構試驗分析

2.1 大柔性智能結構振動測量試驗系統組成

壓電智能結構的基本組成如圖4所示。其中：壓電傳感器和壓電執行器為壓電陶瓷元件。壓電傳感器采集的電荷通過電荷放大器線性轉換為電壓值，經模數轉換(AD)模塊，計算機采集到壓電傳感器的測量值，以電壓表示。計算機為主動振動抑制控制器，根據壓電傳感器的測量值，計算控制量，并通過數模轉換(DA)模塊，經功率放大器放大，輸出電壓至壓電執行器，壓電執行器產生一定的伸縮應變，從而產生應力，實現主動振動抑制控制。

柔性板如圖5所示，懸臂固定于基座上，為降低板的第一階模態頻率，在板的端部添加集中質量塊。在柔性板根部，對位粘貼兩對壓電陶瓷片，分別為S1/A1和S2/A2；在板的一側，粘貼的是S1，S2(傳感器)，則在對側，對應的是A1，A2(執行器)。

2.2 壓電傳感器漏電流時間常數測量

可用階躍響應的方法測量壓電傳感器的漏電時間常數，如圖6所示。具體方法為：在板靜止狀態下，在距離板端部l0處放置擋板，對板端部施加力，使板變形至擋板位置，即對壓電傳感器近似輸入一個階躍信號，采集壓電傳感器的反饋，即能獲得壓電傳感器的階躍響應。

測量并繪制壓電傳感器測量電壓隨時間變化的曲線，結果如圖7所示。根據階躍響應，可算得時間常數τ=0.51 s。

2.3 大柔性智能結構模型參數辨識方法

薄板振動變形量為小量，多個執行器施加電壓對單個傳感器測量電壓的影響滿足疊加關系。同位控制時，設壓電執行器/傳感器對有m對，則第i個執行器施加電壓到第j個傳感器測量電壓的傳遞函數可表示為

(13)

開環傳遞函數中未知參數有gvv，τL，ψk,i，ψk,j，Dij，ζk，ωk，gvv，τL。用參數辨識方法獲取這些參數時，需要結構的頻率響應數據，這可用掃頻的方法得到結構的頻率響應。在第i個執行器上加載掃頻信號電壓Vi，其信號形式為

(14)

式中：K為增益；vω為頻率增加速度，且vω∈R；ω0為掃頻初始頻率。采集p個傳感器的電壓輸出，令第j個傳感器上的輸出電壓為Vs,j，對其進行快速傅里葉變換(FFT)，得到Vs,j在頻域上的信號描述fVs,j。則由第i個執行器輸入電壓到第j個傳感器輸出電壓的頻率響應為

(15)

由此，則求解傳遞函數參數問題轉為以下數學問題：已知函數形式為

(16)

當函數自變量s=Vi時，函數值為Gij，求解式(16)中ψk,j，ψk,i，Dij，ζk，ωk，gvv，τL的值。

選取價值函數

(17)

式中：‖ ‖表示復數的模。用非線性最小二乘擬合方法，使價值函數為最小，得到ψk,j，ψk,i，Dij，ζk，ωk，gvv，τL。從而得到由p個執行器輸入電壓至p個傳感器輸出電壓的傳遞函數。

2.4 模型參數辨識試驗

設掃頻信號頻率范圍(0.01，1.5) Hz，信號長度1 800 s，則FFT變換結果如圖8所示。用掃頻方法測得傳感器的測量結果如圖9所示。

對測量數據進行FFT變換，得到幅頻響應曲線如圖10所示。

由傳感器測量值的幅頻響應可知：在掃頻0.01～15 Hz范圍內，共有2個共振頻率(0.80，9.53 Hz)，分別對應撓性柔性板的第一階面外彎曲模態和第二階面外彎曲模態。

2.5 試驗數據分析

根據大柔性智能結構傳遞函數的數學模型，若不考慮壓電傳感器漏電效應，數學模型可描述為

(18)

基于式(17)給出的價值函數，分別采用考慮和不考慮壓電傳感器漏電效應的數學模型，采用最小二乘擬合的方法，擬合得到式(16)、(18)中的ψk,j，ψk,i，Dij，ζk，ωk，gvv，τL的值，結果分別見表1、2。擬合結果分別如圖11～16所示。

表1 考慮壓電傳感器漏電效應的數學模型參數Tab.1 Parameters of mathematical model considering leakage effect of piezoeleectric sensor

表2 不考慮壓電傳感器漏電效應的數學模型參數Tab.2 Parameters of mathematical model not considering leakage effect of piezoeleectric sensor

由圖11～16可知：當頻率大于0.5 Hz時，擬合效果較好，壓電傳感器的漏電效應產生的影響小，在一階和二階模態頻率處，兩種數學模型均有較好的擬合結果；在小于頻率0.5 Hz的低頻段，由于壓電傳感器漏電流的影響，幅頻響應幅值隨掃頻頻率降低而逐漸減小。比較發現，在頻率低于0.5 Hz的范圍內，用式(18)描述的數學模型是不準確的，而式(16)可準確反映低頻情況，得到的擬合曲線擬合度為0.984 0，表明式(16)給出的數學模型較準確。

3 結論

針對大柔性智能結構基頻較低，壓電傳感器漏電流效應明顯，不能忽略的問題，本文首先推導了考慮壓電傳感器漏電效應的數學模型，搭建了壓電型大柔性智能結構試驗系統，用掃頻測量技術獲得了智能結構的幅頻響應，用非線性最小二乘擬合方法獲得了模型參數。通過對試驗數據分析，對比考慮和不考慮壓電傳感器漏電效應的智能結構模型的擬合結果，所提出的考慮壓電傳感器漏電效應的數學模型較準確地描述了大柔性智能結構特性，提出的數學模型和建模方法可用于大撓性智能結構主動振動控制等領域，提高低頻狀態下主動振動控制器設計的準確性，有潛在的應用前景。

[1] 黃文虎, 王心清, 張景繪, 等. 航天柔性結構振動控制的若干新進展[J]. 力學進展, 1997, 27(1): 5-18.

[2] 陸佑方. 柔性多體系統動力學[M]. 北京: 高等教育出版社, 1996.

[3] MOHEIMANI S O R, ANDREW J F. Piezoelectric transducers for vibration control and damping[M]. Berlin: Springer, 2006: 9-66.

[4] 李東旭, 劉望, 蔣建平, 等. 空間智能桁架的傳感器作動器位置優化和分散化自適應模糊振動控制[J]. 中國科學: 技術科學, 2011, 41(5): 605-606.

[5] 章勁秋, 孔德仁, 王芳, 等. 壓電式壓力測量系統準靜態校準壓力脈寬分析[J]. 測控技術, 2016, 35(6): 121-128.

[6] 何建中, 周貽潔. 壓電傳感器二次儀表——電荷放大器的準靜態特性研究[J]. 華東工業大學學報, 1995, 17(2): 28-32.

[7] 楊凡, 孔德仁, 孔霖, 等. 壓力電測系統的靜態及準靜態校準適用性探討[J]. 測控技術, 2016, 35(5):129-136.

[8] 吳曉娜, 侯小兵. 擴展壓電傳感器頻率響應范圍的方法研究[J]. 電子測量技術, 2015, 38(6): 100-103.

[9] 陳勇, 陶寶祺, 劉果, 等. 柔性結構振動控制的初步分析與試驗研究[J]. 機械強度, 1998, 20(3): 208-209.

[10] MEIROVITCH L. Elements of vibration analysis[M]. 2nd Edition. Sydney: McGraw-Hill, 1996.

[11] MOHEIMANI S O R, BEHRENS S. Multimode piezoelectric shunt damping with a highly resonant impedance[J]. IEEE Transactions of Control Systems Technology, 2004(3): 484-491.

[12] PETERSEN I R, LANZON A. Feedback control of negative imaginary systems[J]. IEEE Control Systems Magazine, 2010, 30(5): 54-72.

[13] HALIM D, MOHEIMANI S O R. Reducing the effect of truncation error in spatial and pointwise models of resonant systems with damping[J]. Mechanical systems and signal processing, 2004, 18: 291-315.

《上海航天》征稿簡則

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《上海航天》雜志編輯部

Study on Modeling Method of High Flexible Intelligent Structure Considering Leakage Effect of Piezoelectric Sensor

YUAN Qiu-fan1, LIU Yan-fang1, ZHU Dong-fang2, 3, QI Nai-ming1

(1. School of Astronautics, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, Heilongjiang, China;2. Shanghai Key Laboratory of Aerospace Intelligent Control Technology, Shanghai 201109, China;3. Shanghai Institute of Spaceflight Control Technology, Shanghai 201109, China)

For the problems of high flexible smart structure composed of piezoelectric components which had low nature frequency and obvious leakage effect of piezoelectric sensor not being neglected, the modeling method of the structure considering leakage effect of piezoelectric sensor was studied in this paper. A mathematical model of high flexible smart structure with considering the piezoelectric sensor leakage effect was established. According to the equivalent circuit, a first order damp element was added into the model to build the leakage model. An experiment system was built and the amplitude frequency response of the structure was obtained through the sweep frequency technique. The parameter identification method was used to calculate the model parameters by nonlinear least squares fitting. Based on the analysis of the experimental result, the models with and without considering the leakage effect were compared. It found that the model with considering the leakage effect were agreed with the experimental result, especially in low frequency range. The proposed model is verified and it is a more accuracy model.

high flexible smart structure; piezoelectric sensor; leakage effect; parameter identification; sweep-frequency technique; nonlinear least squares fitting; first order damp element; low frequency range

1006-1630(2017)02-0177-07

2017-01-22；

2017-03-31

中央高校基本科研業務專項資金資助(HIT.NSRF.201622)；微小型航天器技術國防重點學科實驗室開放基金資助(HIT.KLOF.MST.201507)

袁秋帆(1992—)，男，博士，主要研究方向為撓性結構動力學。

劉延芳(1986—)，男，博士后，講師，主要研究方向為飛行器動力、制導與控制、智能材料動力學與控制、空間柔性機構展開動力學與控制等。

O482.41

A

10.19328/j.cnki.1006-1630.2017.02.020

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