數學課堂觀察的視角：價值、問題與方法

“教什么”“為什么教”和“怎么教”是課堂教學永恒的話題，“教什么”即教學內容與問題；“為什么教”即教學價值；“怎么教”即教學方法。教者的這節課以對教材獨到的理解、對學情充分的把握和教學過程的精彩演繹，在“教育價值”“問題解決”“教學方法”三個方面給予我們以完美詮釋。

一、教育價值引領數學教學

裴光亞先生說：“教育價值是教學設計的靈魂。”為什么要安排這一節課？也就是，本節課內容的教學價值何在？這里通過表格對小學和本節課“方程”部分內容進行比較（相同部分省略）：

一是為什么要建立“一元一次方程”概念。所有數學概念大多為解決和表達新問題、新現象，或揭示數學本質而建立，并隨著數學的發展不斷優化與完善。從表格中發現：小學教材的章節標題是“簡易方程”，給出了最上位的“方程”概念，有“簡易”就有復雜，我們在“解決問題”中遇到了具體的、更復雜的方程，這些方程與其他方程如何區別，又如何表達，這就有必要出現新的定義。這就是“一元一次方程”概念的教學價值，教者通過教學活動讓學生有了很好的價值體驗。

二是用方程刻畫現實世界（即列方程解決問題）的能力有何要求。這方面內容在小學已有接觸，用方程解決問題的基本路徑是：找相等關系、用含未知數的代數式表示，這在今后的學習中保持不變，那么這里“反復讓學生列方程”的價值何在？我們知道，“找相等關系列方程”始終是運用方程模型解決現實問題的重點和難點，從小學到初中，方程類型不斷增加，分析方法多種多樣，問題難度逐步提高。因此，這個過程是學生解決問題能力不斷升級的過程，也是一個循序漸進的過程，這正是教學價值所在。猶如小學和初中作文都可以寫“有意義的一件事”，能力要求大不一樣。可喜的是：教者始終抓住這個關鍵開展教學活動。

三是數學思想方法如何滲透。從表中發現：小學解方程是用等式的基本性質將方程轉化為形如“x=a”的形式，初步感知轉化思想。本節課還滲透這樣幾種思想：從“方程”到“一元一次方程”滲透“一般到特殊”的思想；將6個方程放在一起，通過分類比較，找出具有共性的幾種方程，從而建立“一元一次方程”概念，滲透了分類與抽象的思想；通過用方程表示相等關系解決現實問題，讓學生感受“模型”思想。從課堂來看，教者做得都非常到位。我們還注意到，教師對數學思想方法的滲透是潛移默化、潤物無聲的，而不是貼標簽式的。

二、問題解決驅動知識建構

建構主義學習理論認為：客觀的知識結構通過個體與之交互作用而內化為學生的認知結構。要實現這種內化，必須了解學生的已有認知水平和通過努力能夠達到的認知水平。學生在小學五年級下冊第一章“簡易方程”的學習中，已經初步了解了方程、方程與等式的區別、方程的解、解方程的含義、等式的性質（加、減、乘、除一個數，除數不為0），能夠列簡易方程解決實際問題的步驟、如何找數量關系等。

教者基于學生已有認知，根據本節課知識、能力要求，將教學內容轉化為3個核心問題：一是如何建立一元一次方程概念；二是如何引導學生用方程模型刻畫現實問題，并規范解決問題的步驟；三是如何在建構知識的同時滲透數學思想。通過學生自主探究和教師趁機引導，在問題解決中建構知識，并將3個核心問題通過現實情境具體化（求年齡問題），進而再將問題細化為問題鏈，啟發學生拾級而上，逐步深入探究與思考。

三、教學方法促進數學理解

教學有法，教無定法。教者來自處于教改前沿的洋思中學，他們的“先學后教”課堂教學模式聞名遐邇，也引發不少爭議。從這一節課來看，教者充分運用了學習目標領航、學生自主探究、師生問題對話、教師示范引領等多種教學形式，促進學生數學學習。可見洋思課堂教學“先學后教”的內涵得到了豐富與發展。

一是目標領航學習。任何一節課都有明確的目標，教者在引發學生認知沖突后，呈現學習目標：（1）探索多種實際問題中的數量關系，并能用方程描述；（2）了解一元一次方程的概念。這樣讓學生學有方向，習有目標。課堂目標分顯性目標和隱性目標。所謂顯性目標，就是呈現給學生的、讓學生明白的知識技能和解決問題的能力目標，讓學生帶著問題和任務學習；另一種目標是隱性的，那就是思維能力以及情感態度價值觀目標，這是教者心里明白的潛在目標。

二是探究凸顯主體。學生是課堂的主體，自主探究活動是體現學生主體地位的重要載體。課堂上，教者擇機安排多次探究活動：通過對“天平和方程”問題的探究，感受“方程就是表達數量關系的‘天平’”；通過對“籃球聯賽勝負”提出開放性問題，引導學生自主探究，學生從不同的角度提出不同的問題，列出不同的方程，為建立“一元一次方程”概念作鋪墊，進一步感受方程是刻畫現實世界的一種模型，同時培養學生數學化的能力。這些教學活動凸顯了學生在學習中的主體地位，而教者通過巡視、質疑、啟發、追問等手段，引導學生探究、思考與交流，充當了組織者、引導者與合作者的角色。

三是對話促進理解。在問題解決過程中，通過師生對話促進學生數學學習，給筆者留下了深刻的印象。教師捕捉探究活動中即時生成的問題作為對話話題，如：“怎樣描述天平所表示的數量之間的相等關系？”“如把你問題中的一個未知量設為x，可得什么方程？”“這個相等關系，信息中哪里給出了提示？”“相等關系抓的是哪個關鍵句？”“12-x是什么意思？”“方程2x+y=20怎么解釋呢？”這一系列問題，引發思維沖突，驅動認知發展，從而在生成的新問題中建構知識、滲透思想、發展能力，這種對話看似無意實則有意，具有生成性、即時性和發展性，是一種無法預約的精彩，充分顯示了教者獨到的數學理解和深厚的教學功底。另外，師生對話的話題具有開放性和民主性。如“請你根據信息提出一個數學問題”，這是極具開放性的問題，不同的學生對問題信息可能有不同的理解角度，進而提出不同的問題，列出不同的方程，這種對話方式順應了學生的個性思維與需求。再比如：“老師把時間交還給你們，由你們自己學習探究，好不好？”這種協商的口吻充滿了民主平等的氛圍，讓學生以愉悅的心情投入學習活動。

四是教師示范引領。這是數學教學不可或缺的過程。本節課中，教者善于發現生成性錯誤資源，通過師生研討，及時糾錯，達到知識內化的目的。當學生列出方程“2x×x=40”時，教者啟發學生修正為“2x2=40”；當回到解決課始時的現實問題時，教師通過板書示范，強調“找、設、列、解、驗、答”的步驟。因為這個過程在小學是初步感知，學生的認識是模糊的、膚淺的，本節課通過實際問題的解決，對解題過程和步驟初步提出了規范性、完整性、反思性要求，這在能力要求上更上一層。我們還注意到，這些錯誤和問題資源不是教者先入為主強加給學生的，而是在學習活動中產生的，這樣的糾錯和規范更能讓學生有緊迫感和切身體驗。

四、教學設計基于“三個理解”

任何一節優秀課都有值得探討的地方，正因如此，才體現出其應有的研究價值。概念課如何教學？章建躍先生提出的“三個理解”應該是教學設計的起點，也是課堂教學的歸宿，教學設計就要在“理解數學、理解學生、理解教學”的基礎上展開。就本節課而言，有兩個要點提出來與教者商榷。

一是建立新概念的必要性。為什么要建立概念，這是“理解數學”的問題；學生有什么困惑，這是“理解學生”的問題。在學生根據現實情境列出方程后，教者引導學生通過分類與比較未知數的個數、次數，從而得到“一元一次方程”概念。那么學生會問：為什么要建立這個概念？形式化與結構化是數學的基本特征之一。在所列的6個方程中，方程2x+y=20、x+y=12的解不確定，方程用現有知識無法求解，而其余3個方程與小學學過的簡易方程類似，整理后有統一的特征與結構，為了便于表達和交流，必須有一個規范的標準，我們有必要給其命名。這個過程不需花費太多時間，但不可或缺。

二是歸納小結環節的安排。這是“理解教學”的問題。課堂小結是課堂教學的重要組成部分，教者提出“通過本節課的學習，你有哪些收獲”的問題引導學生小結，但這樣的問題有些讓學生無所適從。筆者以為：課堂小結是一節課的點睛之筆，必須要有明確的指向性，并引導學生用框圖等方式將知識、方法、思想結構化（如下圖）。本節課小結可提出這樣的問題：你學到了什么知識？體會到哪些數學思想方法？你還有什么困惑？進而引導學生建構框圖。

（作者為江蘇省泰州市教育局教研室初中數學教研員）