一道高考數(shù)學(xué)試題的命題賞析與啟示

一、試題解析

（Ⅰ）在圖中畫出這個(gè)正方形（不必說明畫法和理由）；

（Ⅱ）求直線AF與平面α所成角的正弦值.

【解析】（Ⅰ）交線圍成的正方形EHGF如圖2所示.

二、命題賞析

要設(shè)計(jì)一道好的解答題，一般要經(jīng)歷如下幾個(gè)步驟：選材與立意；搭架與構(gòu)題；加工與調(diào)整；審查與復(fù)核.本題作為解答題的第三題，難度適中，確實(shí)是近些年來立體幾何解答題中難得一見的好題.其在考查學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)、基本能力的同時(shí)，還考查了學(xué)生的個(gè)性品質(zhì)，更重要的是體現(xiàn)了一定的創(chuàng)新性.

1.試題立足基礎(chǔ)，平和中見新奇

本題以長方體為載體，立足立體幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，重點(diǎn)考查學(xué)生的空間想象、抽象概括、推理論證、運(yùn)算求解等基本能力.試題難易適中，略顯平和.縱觀近幾年新課標(biāo)全國卷（2012年開始云南省使用）理科數(shù)學(xué)立體幾何解答題的第（Ⅰ）問，其考查要求如下表所示：

不難看出，除2015年外，立體幾何解答題的第（Ⅰ）問都直接考查學(xué)生的推理論證能力.但為了突出新課標(biāo)在立體幾何部分對(duì)學(xué)生提出的學(xué)習(xí)要求——直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證、度量計(jì)算，2015年該題的第（Ⅰ）問并未一如既往地直接考查線面平行與垂直，而是要求學(xué)生在圖中畫出正方形且不必說明畫法和理由.事實(shí)上，在“操作確認(rèn)”的過程中，學(xué)生還是要進(jìn)行“思辨論證”的，只不過不必寫出.這在一定程度上節(jié)省了學(xué)生的答題時(shí)間，體現(xiàn)了對(duì)學(xué)生的人文關(guān)懷.可見，試題立意較為深遠(yuǎn)，立足基礎(chǔ)，平和中見新奇.

2.試題突出能力，平淡中見新意

立體幾何解答題的一個(gè)主要任務(wù)就是考查學(xué)生的空間想象能力.所謂空間想象能力，就是人們對(duì)客觀事物的空間形式進(jìn)行觀察、分析和抽象概括的能力.其主要包括四個(gè)方面的要求：一是對(duì)基本的幾何圖形必須非常熟悉，能正確畫圖；二是能借助圖形反映客觀事物的空間形狀及位置關(guān)系，并加以思考；三是能借助圖形反映用語言或式子表達(dá)的空間形狀及位置關(guān)系；四是具備較強(qiáng)的識(shí)圖能力，即能從復(fù)雜的圖形中區(qū)分出基本圖形，能分析基本圖形和基本元素之間的基本關(guān)系.

本題第（Ⅰ）問，要求學(xué)生通過思辨論證，直接在圖中畫出正方形，即能從復(fù)雜的圖形中區(qū)分出基本圖形.第（II）問以此為基礎(chǔ)，要求學(xué)生求出線面角.從一定程度上講，在第（Ⅰ）問中，學(xué)生若不能正確作出此正方形，第（II）問的線面角將無從談起.當(dāng)然也可通過其他方法進(jìn)行求解，但由于不具體，無論選擇何種方法，都難以正確求解和進(jìn)行必要的論述.如此設(shè)計(jì)，一方面不同于平常訓(xùn)練常見的題型——已知線、面求線面角，本題只給出線，要求學(xué)生自己作出面；另一方面，本題在第（II）問中，突出考查了求線面角的方法.眾所周知，立體幾何中線面角的求法眾多.除前面給出的法向量法外，還可以通過“作，證，算”，利用幾何法求解.如圖3所示，因?yàn)槠矫鍭HE⊥平面EFGH，于是可過點(diǎn)A在平面AHE中作AM⊥EH，垂足為M.連接FM，則∠AFM就是直線AF與平面α所成的角.在△AHE中，由■EH·AM=■AH·AA■，可得AM=8，在Rt△AFM中，因?yàn)锳F=6■，所以，sin∠AFM=■=■=■.不難看出，此法計(jì)算較簡單，但對(duì)思維能力要求較高.

命題要求立意新，情境新，思維價(jià)值高.試題的精心設(shè)計(jì)旨在深化能力立意，從不同角度檢測考生的探索、反駁和否定的能力.

此題如此設(shè)計(jì)，匠心獨(dú)運(yùn)，充分體現(xiàn)了命題者的良苦用心.這樣的高考試題，重點(diǎn)考查學(xué)生的能力和創(chuàng)新意識(shí).更準(zhǔn)確地說，這樣的試題給學(xué)生提供了充分展示能力的空間，而不是在狹小的范圍內(nèi)考查學(xué)生的能力.“展示”與“考查”是完全不同的評(píng)價(jià)理念.強(qiáng)調(diào)“考查”，學(xué)生往往被限制在某一特定范圍內(nèi)，被動(dòng)地接受審查；而強(qiáng)調(diào)“展示”，學(xué)生則可以在比較自由的空間里，以自己擅長的方式構(gòu)思或?qū)ふ医鉀Q問題的方法，創(chuàng)造出各種獨(dú)特的解法，從而使學(xué)生充分發(fā)揮自己的創(chuàng)造力.這種命題方式有助于學(xué)生在考試中充分體現(xiàn)主體性和建構(gòu)性，對(duì)今后考試內(nèi)容改革的發(fā)展將產(chǎn)生重要的影響.

3.試題言簡意賅，平實(shí)中領(lǐng)新潮

幾乎任何一道數(shù)學(xué)題都要通過語言進(jìn)行表述，可以是文字、符號(hào)，也可以是圖象.考試時(shí)，考生通過閱讀語言，理解題意，同時(shí)又利用語言進(jìn)行思考和答題.為了不影響考生快速理解題意，試題語言的表述就顯得非常重要.本題第（Ⅰ）問中，“在圖中畫出這個(gè)正方形（不必說明畫法和理由）”，這樣的表述十分簡潔明了.為了避免與解答題的總要求“解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟”產(chǎn)生沖突，題目還特意進(jìn)行了補(bǔ)充說明，從而使考生更清楚題目的要求.

如此表述不僅言簡意賅，而且有助于學(xué)生自由發(fā)揮.答案雖然唯一，但思考過程卻是開放的，有效考查了學(xué)生的探究精神，鼓勵(lì)學(xué)生創(chuàng)造性地解決問題.

在教育比較發(fā)達(dá)的美國，其心理學(xué)家一般將大學(xué)入學(xué)考試中的能力要求劃分為晶體能力測試和流體能力測試兩種.受環(huán)境和經(jīng)驗(yàn)的影響，流體能力主要反映在解決某些沒有學(xué)過的、非詞語的任務(wù)中，較少受知識(shí)的影響.在晶體能力測試中，題目的設(shè)問、答案的要求等，一般都比較確定，基本上限制在教學(xué)大綱以內(nèi)；而流體能力測試側(cè)重考查開放性問題，要求學(xué)生自己探究、解決問題.本題結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，鼓勵(lì)考生大膽創(chuàng)新，動(dòng)手嘗試，要求考生打破常規(guī)思路，獨(dú)立思考，積極探究.試題不落俗套，深入考查了考生的創(chuàng)新意識(shí)和探究能力.不經(jīng)意間，于平實(shí)中引領(lǐng)了命題的最新潮流.

4.試題源于生活，平常中顯新穎

一道好的數(shù)學(xué)試題一定擁有非常深邃的背景，它往往源于生活，在生活中能找到它的原型.背景創(chuàng)新也是試題創(chuàng)新的常見方式.本題由于采用了數(shù)學(xué)的形式化表述，考生很難體會(huì)到其生活化的一面.事實(shí)上，如圖4所示，考生所使用的橡皮擦就是長方體的原型，這在生活中隨處可見，甚至所要畫的正方形也可在橡皮擦中找到原型，這似乎有些過于巧合了，不知命題者在尋找命題素材時(shí)是否考慮了這樣的生活背景，但至少對(duì)于所有考生來說，這都是公平的，橡皮擦誰沒見過啊！

還有，本題第（Ⅰ）問要求：“在圖中畫出這個(gè)正方形（不必說明畫法和理由）”，其實(shí)這也源于生活實(shí)踐.眾所周知，木工在鋸一塊方形木料時(shí)，往往根據(jù)需要先畫線（俗稱“彈墨線”），當(dāng)然在這個(gè)過程中，也不必說明畫法和理由，但都要經(jīng)過思考，確保準(zhǔn)確無誤.由于現(xiàn)在的學(xué)生缺少生活實(shí)踐，特別是動(dòng)手實(shí)踐的機(jī)會(huì)，于是很難體會(huì)這樣的背景，因此，他們覺得第（Ⅰ）問很難把握.擁有如此深邃的生活背景的好題，在平常中顯現(xiàn)出其創(chuàng)新的一面.考題雖然以數(shù)學(xué)的形態(tài)呈現(xiàn)，但在解答題目時(shí)，猶如置身于生活場景中，體驗(yàn)生活實(shí)踐卻渾然不覺，這是一件多么愜意的事情.

客觀地講，此題的創(chuàng)新性不僅僅體現(xiàn)在以上幾個(gè)方面.當(dāng)然，要評(píng)價(jià)創(chuàng)新是否得當(dāng)，我們還得將其置于整份試卷中，看其是否“偏、怪、難”.但是，此題在保持整體穩(wěn)定的前提下，加大了改革創(chuàng)新的力度，形成了“立意鮮明，背景新穎，設(shè)問靈活，層次清晰”的特色，這更有利于大學(xué)選拔創(chuàng)新人才和中學(xué)實(shí)施素質(zhì)教育，充分體現(xiàn)了“一體四層四翼”的評(píng)價(jià)要求.

三、教學(xué)啟示

通過前面的賞析，筆者反思平時(shí)的教學(xué)和復(fù)習(xí)過程，感悟頗多.

1.與時(shí)俱進(jìn)，培養(yǎng)創(chuàng)新能力

在當(dāng)今知識(shí)經(jīng)濟(jì)的時(shí)代和信息化的社會(huì)，創(chuàng)新是發(fā)展的靈魂和強(qiáng)大的動(dòng)力，具有深刻的時(shí)代內(nèi)涵和意義.而縱觀我國數(shù)學(xué)教育的成功與不足，基礎(chǔ)扎實(shí)，但能力的培養(yǎng)特別是創(chuàng)新能力的培養(yǎng)是最大的不足和根本性的不足.史寧中教授認(rèn)為，在基礎(chǔ)教育階段，我們應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力，這是制定課程標(biāo)準(zhǔn)和規(guī)劃未來教學(xué)安排最基本的出發(fā)點(diǎn).《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》把“發(fā)展創(chuàng)新意識(shí)”作為基本課程目標(biāo)，《考試大綱》將“創(chuàng)新意識(shí)”特別是“創(chuàng)造性地解決問題”的能力作為基本考查內(nèi)容.

由此可見，當(dāng)今社會(huì)，各行各業(yè)都倡導(dǎo)創(chuàng)新，為了體現(xiàn)與時(shí)俱進(jìn)，高考對(duì)考生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力也提出了較高的要求.在考查考生創(chuàng)新能力的同時(shí)，命題自然也要體現(xiàn)創(chuàng)新精神，力爭使試題富含時(shí)代氣息.為了適應(yīng)這樣的新形勢，平時(shí)在教學(xué)和復(fù)習(xí)過程中，我們應(yīng)緊跟時(shí)代步伐，全面培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力.

2.回歸教材，以不變應(yīng)萬變

教材歷來都是眾多高考題的發(fā)源地.本題自然也不例外，一方面，如圖5所示，本題的載體長方體是人教A版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修2的封面圖形.此外，在第二章“點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系”中，該圖形隨處可見，而且在本章第一節(jié)中，開篇便指明“長方體是我們非常熟悉的空間幾何圖形”.可見，對(duì)于該圖形，學(xué)生應(yīng)該不會(huì)陌生.另一方面，教材第59頁的例3為：如圖6所示的一塊木料中，棱BC平行于面A′C′.

（1）要經(jīng)過面A′C′內(nèi)的一點(diǎn)P和棱BC將木料鋸開，應(yīng)怎樣畫線？

（2）所畫的線與平面AC是什么位置關(guān)系？

該例題不僅要求畫出圖形，還要說明畫法，并進(jìn)行必要的推理證明.這需要用到直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理，以及公理4和公理2等立體幾何的基礎(chǔ)知識(shí).不難看出，該例題就是前面所論述的高考題第（Ⅰ）問的原型.只不過高考題融入了創(chuàng)新元素，難度有所降低，但基本要求大致相同.在平時(shí)學(xué)習(xí)中，如果我們真正理解了例題的本質(zhì)，練就了一雙火眼，那么，對(duì)于高考題的變化，我們也就能應(yīng)對(duì)自如了，而且還能領(lǐng)悟命題者的用意.

由此可看出，無論平時(shí)學(xué)習(xí)，還是高考總復(fù)習(xí)，充分利用教材強(qiáng)化基礎(chǔ)知識(shí)，掌握基本技能，這應(yīng)是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主旋律.任何舍本逐末的行為都是不可取的.如此，學(xué)生在高考中方能以不變應(yīng)萬變.

3.摒棄題海，提高教學(xué)效率

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，一定量的訓(xùn)練必不可少.從本題的創(chuàng)新設(shè)計(jì)不難看出，太多的訓(xùn)練沒有必要.只要能夠畫出平面與長方體的截面圖形，然后利用幾何法或向量法求出線面角即可.因?yàn)楫嫿孛鎴D形只需要邏輯辨認(rèn)、簡單推理，所以，解答此題時(shí)，平時(shí)針對(duì)這一內(nèi)容進(jìn)行的諸多訓(xùn)練都難以派上用場.當(dāng)然，熟練掌握求線面角的方法必然離不開一定量的訓(xùn)練，但只要理解線面角的實(shí)質(zhì)，進(jìn)而進(jìn)行適量的訓(xùn)練即可.殊不知，多數(shù)時(shí)候，考生由于未能真正理解線面角的定義，即使進(jìn)行再多的訓(xùn)練也很難得出正確答案.加之，如果教師明確《考試大綱》對(duì)空間角的考查要求，學(xué)生有必要盲目步入“題海”嗎？更多的時(shí)候，是教師將學(xué)生推入“題海”之中，從而大大降低了學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)的效率.

如何培養(yǎng)學(xué)生的解題能力？如何提高學(xué)生的學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)效率？摒棄“題海”，我們能否通過其他途徑達(dá)到高考的要求？這道高考題的創(chuàng)新設(shè)計(jì)給了我們太多的啟示.

4.關(guān)注個(gè)性，實(shí)現(xiàn)全面發(fā)展

從2004年開始，高考數(shù)學(xué)在考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本能力的基礎(chǔ)上，首次將個(gè)性品質(zhì)的考查列入了《考試大綱》.個(gè)性品質(zhì)是指考生個(gè)體的情感、態(tài)度和價(jià)值觀.這就要求考生克服緊張情緒，以平和的心態(tài)參加考試，合理支配考試時(shí)間，以實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度解答試題，樹立戰(zhàn)勝困難的信心，體現(xiàn)鍥而不舍的精神.多年來，個(gè)性品質(zhì)一直是高考隱性考查的內(nèi)容.但高考是如何考查學(xué)生的個(gè)性品質(zhì)呢？平時(shí)對(duì)其關(guān)注相對(duì)較少.

事實(shí)上，解題大師波利亞曾說過：“認(rèn)為解題純粹是一種智能活動(dòng)是錯(cuò)誤的，決心和情緒所起的作用同樣重要.”當(dāng)學(xué)生接觸到全新的事物時(shí)，心理上的反應(yīng)首先表現(xiàn)為情緒上的變化，如果調(diào)節(jié)得不好，將會(huì)影響解題的效果，從而影響考試成績.在高考試卷中設(shè)置一定數(shù)量的創(chuàng)新試題，不僅能考查考生的能力，而且還在一定程度上考查了考生的“個(gè)性品質(zhì)”.所以，在平時(shí)教學(xué)與復(fù)習(xí)過程中，教師應(yīng)充分關(guān)注學(xué)生的個(gè)性，強(qiáng)化其品質(zhì)，從而促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展.

每年高考都會(huì)涌現(xiàn)出許多具有一定考查功能又兼具創(chuàng)新性的好題.在賞析其命題創(chuàng)新性的同時(shí)，我們更應(yīng)該明確高考的大方向，認(rèn)真透徹地理解新課標(biāo)的理念，并結(jié)合實(shí)際，在平時(shí)教學(xué)中堅(jiān)定不移地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，提高學(xué)生的創(chuàng)新能力，從而真正實(shí)現(xiàn)全面提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)這一教學(xué)目標(biāo).