“增根問題”兩次教學的對比與思考

筆者在“分式方程”（北師大版《義務教育教科書·數學》八年級下冊第五章第4節）第2課時的教學中，就“增根問題”的教學在兩個班級采用了不同的處理方式，并對教學效果進行跟蹤，結果發現，兩個班（兩個班均為平行班，每次考試成績大體相當，學生數均為50）的學生對“增根”的理解和掌握程度相去甚遠，由此引發了筆者對數學教學的進一步思考.

一、兩次教學對比

1.在A班的教學片斷簡述

學生類比一元一次方程的解法，通過恒等變形得到x=3.

師：我們應該如何判斷答案是否正確呢？

生：（眾）檢驗.

師：如何檢驗？

生1：把x=3分別帶入原方程的兩邊進行計算，看結果是否相等.

學生通過計算，發現當x=3時，方程中的分母x-3=0.于是，筆者指出，在解分式方程時可能產生增根，因而在求出方程的解后，我們必須進行檢驗.然后，筆者告訴學生檢驗的方法，并把剛才的解答補充完整，同時，強調解題的步驟和規范.

（3）強化練習：在課堂上，筆者先安排了三道練習題，并請三位同學到臺前板演（其中一位同學忘記檢驗）.接著，筆者依次對每一小題進行講評，并再次強調解分式方程時一定要檢驗.隨后，筆者布置了三道練習題，要求學生課后完成，以強化鞏固相關知識.

2.在B班的教學片斷簡述

（1）開門見山，引入課題

學生認真思考，并嘗試求解.筆者在巡視時發現兩種典型的解法，就請兩位學生到臺前分別板演這兩種解法.

學生2的解法如下：

所以，原方程無解.

學生3的解法如下：

解：方程兩邊同時乘以x-3，得x-3=2（x-3），-x=-3，所以，x=3.

（2）引發討論，深化理解

看到兩位同學的解答后，班里的學生對于同一道題目出現兩種截然不同的答案感到疑惑，課堂氣氛一下子活躍起來，有的同學支持學生2，也有的支持學生3.支持學生2的同學認為，先對方程左邊的式子進行同分母的減法，接著，對式子■約分，得出一個矛盾的結論：1=2，因此，原方程無解；支持學生3的同學認為，第一步的變形是通過“去分母”得到的，后面的每一步也都正確無誤.雙方爭得面紅耳赤，等待筆者去評判.但筆者并不急于把結果告訴他們，而是耐心地引導學生認真地分析解題的每一個步驟.

師：兩位同學的每一步解答都是同解變形嗎？

生4：生2的每一步變形都是同解變形.

生5：那就說明生2的做法是正確的，生3做錯了.

生6：（激動地說）我知道了，生3的第一步變形不是同解變形.因為原方程的未知數要滿足x≠3，而兩邊同時乘以x-3后，得到x-3=2（x-3），這時未知數x的取值范圍是一切實數.也就是說，變形后，未知數的取值范圍擴大了.

師：說得對！那么，大家能確定方程的解是x=3嗎？學生3的解法可取嗎？

生7：當x=3時，原方程中的分母x-3=0，導致方程無意義，所以，原方程無解，這樣，就與學生2的答案一樣了.也就是說，學生3的解法是可取的，但必須在他的解法后添加說明.

（3）歸納提煉，總結方法

筆者肯定了學生7的發言，師生共同分析，一致認為只要在學生3的解法后，添加學生7的說明即可，并強調這是解分式方程非常重要的一步，稱之為檢驗.接著，教師進一步啟發學生：x=3不是原方程的解，那它是什么呢？我們給它取個名字——增根.隨后，筆者繼續提出問題：增根是怎樣產生的？學生分組討論，認真分析學生3的解題過程，最終，得出結論：分式方程本身隱含著分母不為零的條件，當把分式方程轉化為整式方程以后，未知數的取值范圍就擴大了，如果轉化后的整式方程的解恰好使原方程的分母等于0，那它就不是原方程的解，而是增根.由此，師生達成共識：①增根不是原分式方程的解，但它是“去分母”后的整式方程的解；②增根會使分式方程的最簡公分母為0.這樣，學生就弄清了增根產生的原因和檢驗的方法.最后，師生共同總結求解分式方程的步驟.課后，教師布置了一組配套練習，要求學生鞏固相關知識.

二、教學效果跟蹤

筆者分別在上完這節課后的第二天、一星期后安排解分式方程的小測驗，每次3小題，并就學生是否對求出的解進行檢驗實施了統計，結果如下：

從上表可以看出，短時間內，兩個班的學生對“驗根”這一關鍵步驟的掌握沒有明顯區別，但隨著時間的推移，兩個班的測試結果差異較大，B班學生對該知識點的掌握情況明顯優于A班學生.

三、原因分析

我們知道，課堂教學的過程由教師的教學行為與學生的學習活動兩方面構成.從前面的教學簡述我們發現，筆者在A班和B班的教學行為以及這兩個班學生的學習活動都有顯著的區別.在A班，筆者采用的是正面講授法.當學生發現x=3會導致方程的分母等于0時，筆者就直接告訴學生，解分式方程可能產生增根，因此，求出方程的解后要進行檢驗.這樣的講授缺少對教材知識的加工和提煉，同時，未充分揭示驗根的必要性，學生只是被動地接受知識，單純地模仿例題完成練習，并沒有在頭腦中留下深刻的印象.這樣憑死記硬背得到的知識，學生只能短暫地記憶，再加上學生以往求解整式方程時，并沒有養成“驗根”的習慣，受到這一思維定式的影響，一個星期后，A班只有將近50%的學生具有“驗根”意識，這也就不足為奇了.反觀在B班的教學，當兩個同學呈現不同的答案后，學生產生困惑時，筆者不急于表態，而是給學生留足時間，讓他們自己去討論，去辨析，去感悟.筆者只是在學生的思維障礙處適時點撥，引導他們在思維的碰撞中抽絲剝繭，層層深入，弄清本質.在這個過程中，分式方程產生增根的原因是學生自己探究出來的，“驗根”的方法是學生自己找到的，學生在感受學習數學的樂趣的同時，知識技能、思維能力、情感態度與價值觀等方面都得到了發展.經歷這樣的探究過程后，學生對“增根問題”自然悟得透，記得牢，一星期后的測試結果勢必優于A班.

四、教學思考

1.吃透教材是有效教學的前提

受篇幅限制，教材往往把數學知識以結論的形式直接呈現在學生面前，學生看到的只是思維的結果——數學結論，而看不到思維活動的過程.如果教師沒有依據課標，認真研究教材，理解教材，吃透教材，僅單純地依照課本按部就班地上課，那么，他傳授的只是結論本身，留給學生的只是機械的記憶和模仿.長此以往，學生就會散失學習數學的興趣，培養和發展思維能力、提高數學素養更是無從談起.因此，教師在備課時要立足教材，吃透教材，通過“二次創造”，努力使靜態的教材知識動態化，同時，教師應準確把握每節課的切入點、關鍵點，圍繞核心知識展開教學，使零星的知識條理化、結構化.一個好的切入點可以形成認知沖突，激發學生的興趣.在B班的課堂上，由于學生2和學生3得到的答案不同，在學生遇到思維障礙后，筆者不失時機地抓住這一切入點，提出“兩位同學的每一步解答都是同解變形嗎”這一關鍵問題，有效地突破難點，引導學生從更高層次理解增根的含義.而這個關鍵點教材中并沒有直接呈現，需要教師吃透教材，挖掘隱藏于文字背后的數學學科本質，從而使其教學功能得到最大限度的發揮.

2.關注學生是有效教學的核心

學生是數學學習的主體，教師的“教”要服務于學生的“學”.一節課成功與否，不是看教師展示了多少才華，而是要關注學生，看他們是否掌握了知識，其思維能力是否得到培養，情感體驗是否得到落實.關注學生，首先要關注學生的學情，準確定位其知識的最近發展區.在A班的課堂上，筆者先安排一道解一元一次方程的題目.學生采用的兩種解法都在意料之中，學生2的解法受到前面剛學習的分式加減運算的影響，學生3類比解含有分母的一元一次方程的方法，求解分式方程，兩個學生都成功地對原有知識進行了遷移應用.正因為筆者恰當地把握了學生的知識生長點，才會生成后面精彩的思維碰撞.正是因為對同一個細節采用了不同的方法加以處理，才會產生截然不同的教學效果.關注學生還應該讓學生經歷知識的形成過程.正所謂“學的真諦在于悟”，學生只有親身體驗，才能獲得屬于他們自己的經驗，才能實現遷移應用.數學學習不應僅限于接受、記憶、模仿，而應倡導自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學等學習方式，讓學生在探究的過程中，悟透學科知識，提高數學能力.在教學中，我們應遵循這樣一個原則：學生會做的，教師不講；學生經過努力能想出來的，教師少講；點撥后學生能理解的，教師不包辦.只有當學生以為理解了但其實并未扎實地掌握，以為明白了而又難于言表時，教師再畫龍點睛，使其茅塞頓開，從而引導學生掌握相關知識.