談格點多邊形面積的教學

文︳史沛良

談格點多邊形面積的教學

文︳史沛良

格點多邊形是指每個頂點都是直角坐標平面上的格點的多邊形（如圖1所示）。關于格點多邊形的面積，有如下的結論：

圖1

Pick定理：如果一個面積為S的格點多邊形，其邊界上有a個格點，內部有b個格點，則S＝＋b－1。

蘇教版小學數學教材五年級上冊中編排了有關格點多邊形的面積問題（如圖2所示）。

圖2

在小學數學課堂中研究這個問題，其方法只能是不完全歸納，即從簡單的特例出發，尋找一般的規律。由于Pick定理比較復雜，小學生不可能像真正的科學研究那樣把這個結論發現出來，而是需要適當的引導。

首先，教材應該直接指出，我們要研究的格點多邊形面積計算方法，與這個多邊形內部的格點數及邊界上的格點數有關。蘇教版教材并沒有按這個思路編排，而是通過對三個小問題的研究逐步揭示問題——先讓學生研究如圖2所示的問題，得到結論后，再研究內部有2個點的問題，然后提出一般問題（如圖3所示）。

圖3

這個做法有一個不好的地方：學生沒有機會主動研究一個完整的問題，而是被動地研究被肢解了的問題。這里的一個完整的問題就是：格點多邊形的面積與其內部的格點數、邊界上的格點數有什么關系。

其次，應對學生進行解決問題的思路的指導。在這里，解決問題的思路包括兩個方面的意義：一是從簡單到復雜，二是分離變量。前者是我們非常熟悉的，在此，筆者著重談談后者。

格點多邊形的面積計算與兩個因素有關，為了研究方便，我們應該先固定一個因素，研究面積與另一個因素的關系。這種方法很重要，應該向學生介紹。當學生認同這種思路后（學生很容易認同這種思路，畢竟從某種意義上來說，這也是一種從簡單到復雜的思路），教師就應該讓學生主動設計研究思路：是先固定內部的點還是先固定外部的點？若是先固定內部的點，最開始應該研究內部為幾個點的情況？若是先固定外部的點，又如何？這樣的問題，學生不一定能獨立解決，但教師應該引導學生思考，直到制訂出解決問題的基本方案，然后才著手探究。

第三，探究過程應該是系統化的。以先固定內部的點數為例，所謂系統化，在這里表現為兩個方面：第一個方面，我們應該從內部點數最少的情況開始研究，逐一增加內部點數，即從內部點數為0開始，相繼研究內部點數為1、2、3……的情況，以便發現規律；第二個方面，對于確定的內部點數的問題，邊界上的點數也應該系統地變化，從最少的情況開始，逐一增加。

內部0個點，邊界上至少3個點。邊界上的點逐一增加（如圖4所示），面積分別為不難發現，每增加一個邊界上的點，面積增加或者說，邊界上的一個點貢獻面積個單位。對于邊界上有a個點而內部沒有點的情況，面積S=

圖4

內部1個點，邊界上至少4個點。邊界上的點逐一增加（如圖5所示），通過觀察，我們可以發現圖形的面積依次增加，進一步確定：邊界上的一個點貢獻面積個單位。并歸納出，對于邊界上有a個點、內部1個點的情況，面積。在此基礎上，我們可一方面繼續增加內部的點數，一方面比較當邊界上的點數相同時，內部的點數變化與面積變化的關系，繼而歸納出Pick定理。

圖5

（作者單位：長沙縣龍塘小學）