思維在操作中得到放飛
——由一道思考題引發的思考

文︳李蓉

思維在操作中得到放飛
——由一道思考題引發的思考

文︳李蓉

在人教版數學教材五年級上冊多邊形面積單元中，有一道特別有趣的思考題。如下：

（1）右圖是用手工紙剪的一棵小樹，它的面積是多少？（單位：cm）

（2）用一張長45cm、寬21cm的手工紙，能剪幾棵這樣的小樹？

一、題目的背景

新課程在空間與圖形板塊安排了豐富的教學內容，而“位置”“圖形的拼組”“觀察物體”“圖形與變換”這些內容都是新增的，學生學習時存在一定的困難。此題涉及圖形拼組的知識，為了加深對圖形的理解，學生需要在課堂上動一動手。尤其是解決第二問，如果采用畫草圖、剪小樹等直觀手段，學生可以打開思路，得到多樣的算法。

二、題目的分析

此題綜合性非常強，第一問是考查學生靈活運用基本圖形面積計算公式的能力，第二問則是考查學生能否將面積計算的知識運用于生活實際，這是本題的難點。很多學生會用大圖形面積除以小圖形面積的思維定勢來解決，而答案不是這樣的。要很好地解決第二問，就必須提供充足的操作材料和時間，讓學生通過動手操作開闊思路，活躍思維，使思考更深刻。

三、題目的解決

第一問的解答并不難，就是計算要細心，因為圖形中的信息非常多，學生容易漏看或錯看（如將長方形的長看成9厘米），還要熟記基本圖形的面積計算公式。教師可以讓學生說說這棵小樹是由哪些基本圖形組成的。學生通過觀察知道此圖由一個三角形、兩個梯形和一個長方形組成。由于學過組合圖形的面積計算，學生的方法可以有多種。

第二問的解答，不要急于給學生操作材料和答案，而是要讓學生先獨立嘗試。上課時，果然不出我所料，有學生很快就計算完了。

圖1

方法1：45×21÷48.6≈19（棵）。

課件出示圖1，老師問學生：都同意嗎？學生表示都同意。老師質疑，指出樹干左右兩邊空白的部分還能再剪小樹嗎？學生有的說不能，零零碎碎不能再用；有的建議拼起來再剪；有的則反駁不能拼起來再剪。

這時，有很多學生指出方法1有問題，除了小樹的面積，旁邊的空白部分因為被剪成了零零碎碎的，不能再剪成小樹了。老師肯定了學生的想法，提出小樹是不規則的圖形，不能簡單地用大長方形面積除以小樹的面積，并提問：“那應該怎么去想呢？”

學生想到先算一棵小樹所占的長方形的面積，再除。

方法2：小樹的高有3+3+3+6=15（厘米），寬有4+4=8（厘米），45×21÷（15×8）≈7（棵）。

師：這個結果大家都同意嗎？

通過剛才的分析，學生們對這個結果還是不敢肯定。有學生提出，如果有一棵這樣實際大小的小樹讓他在紙上擺一擺就好了。學生由于之前練習過的內容都是規則圖形，且適合大圖形面積除以小圖形面積得到結果。而此題采用常規思路不合適。這時如果用實際大小的長方形紙和小樹擺一擺，學生能更直觀地認識大圖形與小樹之間的關系。于是，我趁熱打鐵，讓學生們拿出信封里的若干棵小樹和手工紙（如題所述的大小），2人一組，一人擺，一人貼，再列出算式，看一張手工紙能剪多少棵小樹。

一段時間后，我收集好學生的作品，讓他們到講臺上逐一匯報。

學生匯報小樹豎著擺（如圖2所示），得到算式：45÷8=5（棵）……5（厘米）。

圖2

學生質疑：上面部分和右邊部分都不能剪了，很浪費。認為要把小樹橫著擺（如圖3所示）。得到算式：手工紙的長可以排45÷15=3（棵），手工紙的寬可以排21÷8=2（棵）……5（厘米），一共能剪3×2=6（棵）。

圖3

講到這里，學生已經基本明白不能簡單地用手工紙的面積除以小樹的面積，而是要考慮實際的排列，認為方法1和方法2不對。這時有學生質疑：如果對小樹進行交叉顛倒擺放，是否會剪得多些呢？

學生動手嘗試交叉顛倒擺放，發現手工紙的寬可以排1棵，長可以排8棵，用去4×8+4× 2=40（厘米）,剩下45-40=5（厘米）,再剪一棵樹要8厘米，就不夠了（如圖4所示）。

圖4

有學生在圖3基礎上得到圖5這樣的排法，因為寬還多5厘米，可以在中間插入2棵，所以一共可以剪：3×2+2=8（棵）。

圖5

還有學生按圖6這樣排，發現最多可以排9棵。兩棵樹交叉放，高是15+6=21（厘米），寬排出2棵；長方形的長排出45÷8=5（棵）……5（厘米），共9棵。

圖6

孩子們的智慧是無窮的，只要教師適時挖掘，就會有令人驚異的效果。這時，老師問：通過剛才的拼擺，怎樣剪才能剪出更多的小樹呢？學生思考，師生一起小結：合理安排空間，交叉剪。

孩子們受到啟發，有個學生回家思考后，竟擺出了10棵（如圖7所示）。

圖7

其實，仔細閱讀題中的問題“能剪出幾棵這樣的小樹？”我們發現這里問的是幾棵并不是最多幾棵。可見此問題是開放的，體現解決問題策略的多樣化。對此，老師針對不同學生可以有不同的要求，5棵、6棵、8棵、9棵、10棵都是應該獲得支持的答案。而對于“45×21÷ 48.6≈19（棵）”和“45×21÷（15×8）≈7（棵）”的方法則需要引導、糾正，因為這是對剪拼圖形片面的認識。盡管是思考題，5棵、6棵還是應作為全體學生的基本要求。至于交叉擺放節省空間，這在生活中有廣泛的應用，應該讓學生通過具體操作進行體驗。所以，引導學生思考了，懂得了如何巧妙利用空間的基本原理，可以為以后的幾何學習奠定良好的基礎。

（作者單位：長沙市芙蓉區東郡小學）