思維在操作中得到放飛
——由一道思考題引發(fā)的思考

文︳李蓉

思維在操作中得到放飛
——由一道思考題引發(fā)的思考

文︳李蓉

在人教版數(shù)學(xué)教材五年級(jí)上冊(cè)多邊形面積單元中，有一道特別有趣的思考題。如下：

（1）右圖是用手工紙剪的一棵小樹(shù)，它的面積是多少？（單位：cm）

（2）用一張長(zhǎng)45cm、寬21cm的手工紙，能剪幾棵這樣的小樹(shù)？

一、題目的背景

新課程在空間與圖形板塊安排了豐富的教學(xué)內(nèi)容，而“位置”“圖形的拼組”“觀察物體”“圖形與變換”這些內(nèi)容都是新增的，學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)存在一定的困難。此題涉及圖形拼組的知識(shí)，為了加深對(duì)圖形的理解，學(xué)生需要在課堂上動(dòng)一動(dòng)手。尤其是解決第二問(wèn)，如果采用畫(huà)草圖、剪小樹(shù)等直觀手段，學(xué)生可以打開(kāi)思路，得到多樣的算法。

二、題目的分析

此題綜合性非常強(qiáng)，第一問(wèn)是考查學(xué)生靈活運(yùn)用基本圖形面積計(jì)算公式的能力，第二問(wèn)則是考查學(xué)生能否將面積計(jì)算的知識(shí)運(yùn)用于生活實(shí)際，這是本題的難點(diǎn)。很多學(xué)生會(huì)用大圖形面積除以小圖形面積的思維定勢(shì)來(lái)解決，而答案不是這樣的。要很好地解決第二問(wèn)，就必須提供充足的操作材料和時(shí)間，讓學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作開(kāi)闊思路，活躍思維，使思考更深刻。

三、題目的解決

第一問(wèn)的解答并不難，就是計(jì)算要細(xì)心，因?yàn)閳D形中的信息非常多，學(xué)生容易漏看或錯(cuò)看（如將長(zhǎng)方形的長(zhǎng)看成9厘米），還要熟記基本圖形的面積計(jì)算公式。教師可以讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)這棵小樹(shù)是由哪些基本圖形組成的。學(xué)生通過(guò)觀察知道此圖由一個(gè)三角形、兩個(gè)梯形和一個(gè)長(zhǎng)方形組成。由于學(xué)過(guò)組合圖形的面積計(jì)算，學(xué)生的方法可以有多種。

第二問(wèn)的解答，不要急于給學(xué)生操作材料和答案，而是要讓學(xué)生先獨(dú)立嘗試。上課時(shí)，果然不出我所料，有學(xué)生很快就計(jì)算完了。

圖1

方法1：45×21÷48.6≈19（棵）。

課件出示圖1，老師問(wèn)學(xué)生：都同意嗎？學(xué)生表示都同意。老師質(zhì)疑，指出樹(shù)干左右兩邊空白的部分還能再剪小樹(shù)嗎？學(xué)生有的說(shuō)不能，零零碎碎不能再用；有的建議拼起來(lái)再剪；有的則反駁不能拼起來(lái)再剪。

這時(shí)，有很多學(xué)生指出方法1有問(wèn)題，除了小樹(shù)的面積，旁邊的空白部分因?yàn)楸患舫闪肆懔闼樗榈模荒茉偌舫尚?shù)了。老師肯定了學(xué)生的想法，提出小樹(shù)是不規(guī)則的圖形，不能簡(jiǎn)單地用大長(zhǎng)方形面積除以小樹(shù)的面積，并提問(wèn)：“那應(yīng)該怎么去想呢？”

學(xué)生想到先算一棵小樹(shù)所占的長(zhǎng)方形的面積，再除。

方法2：小樹(shù)的高有3+3+3+6=15（厘米），寬有4+4=8（厘米），45×21÷（15×8）≈7（棵）。

師：這個(gè)結(jié)果大家都同意嗎？

通過(guò)剛才的分析，學(xué)生們對(duì)這個(gè)結(jié)果還是不敢肯定。有學(xué)生提出，如果有一棵這樣實(shí)際大小的小樹(shù)讓他在紙上擺一擺就好了。學(xué)生由于之前練習(xí)過(guò)的內(nèi)容都是規(guī)則圖形，且適合大圖形面積除以小圖形面積得到結(jié)果。而此題采用常規(guī)思路不合適。這時(shí)如果用實(shí)際大小的長(zhǎng)方形紙和小樹(shù)擺一擺，學(xué)生能更直觀地認(rèn)識(shí)大圖形與小樹(shù)之間的關(guān)系。于是，我趁熱打鐵，讓學(xué)生們拿出信封里的若干棵小樹(shù)和手工紙（如題所述的大?。?，2人一組，一人擺，一人貼，再列出算式，看一張手工紙能剪多少棵小樹(shù)。

一段時(shí)間后，我收集好學(xué)生的作品，讓他們到講臺(tái)上逐一匯報(bào)。

學(xué)生匯報(bào)小樹(shù)豎著擺（如圖2所示），得到算式：45÷8=5（棵）……5（厘米）。

圖2

學(xué)生質(zhì)疑：上面部分和右邊部分都不能剪了，很浪費(fèi)。認(rèn)為要把小樹(shù)橫著擺（如圖3所示）。得到算式：手工紙的長(zhǎng)可以排45÷15=3（棵），手工紙的寬可以排21÷8=2（棵）……5（厘米），一共能剪3×2=6（棵）。

圖3

講到這里，學(xué)生已經(jīng)基本明白不能簡(jiǎn)單地用手工紙的面積除以小樹(shù)的面積，而是要考慮實(shí)際的排列，認(rèn)為方法1和方法2不對(duì)。這時(shí)有學(xué)生質(zhì)疑：如果對(duì)小樹(shù)進(jìn)行交叉顛倒擺放，是否會(huì)剪得多些呢？

學(xué)生動(dòng)手嘗試交叉顛倒擺放，發(fā)現(xiàn)手工紙的寬可以排1棵，長(zhǎng)可以排8棵，用去4×8+4× 2=40（厘米）,剩下45-40=5（厘米）,再剪一棵樹(shù)要8厘米，就不夠了（如圖4所示）。

圖4

有學(xué)生在圖3基礎(chǔ)上得到圖5這樣的排法，因?yàn)閷掃€多5厘米，可以在中間插入2棵，所以一共可以剪：3×2+2=8（棵）。

圖5

還有學(xué)生按圖6這樣排，發(fā)現(xiàn)最多可以排9棵。兩棵樹(shù)交叉放，高是15+6=21（厘米），寬排出2棵；長(zhǎng)方形的長(zhǎng)排出45÷8=5（棵）……5（厘米），共9棵。

圖6

孩子們的智慧是無(wú)窮的，只要教師適時(shí)挖掘，就會(huì)有令人驚異的效果。這時(shí)，老師問(wèn)：通過(guò)剛才的拼擺，怎樣剪才能剪出更多的小樹(shù)呢？學(xué)生思考，師生一起小結(jié)：合理安排空間，交叉剪。

孩子們受到啟發(fā)，有個(gè)學(xué)生回家思考后，竟擺出了10棵（如圖7所示）。

圖7

其實(shí)，仔細(xì)閱讀題中的問(wèn)題“能剪出幾棵這樣的小樹(shù)？”我們發(fā)現(xiàn)這里問(wèn)的是幾棵并不是最多幾棵?？梢?jiàn)此問(wèn)題是開(kāi)放的，體現(xiàn)解決問(wèn)題策略的多樣化。對(duì)此，老師針對(duì)不同學(xué)生可以有不同的要求，5棵、6棵、8棵、9棵、10棵都是應(yīng)該獲得支持的答案。而對(duì)于“45×21÷ 48.6≈19（棵）”和“45×21÷（15×8）≈7（棵）”的方法則需要引導(dǎo)、糾正，因?yàn)檫@是對(duì)剪拼圖形片面的認(rèn)識(shí)。盡管是思考題，5棵、6棵還是應(yīng)作為全體學(xué)生的基本要求。至于交叉擺放節(jié)省空間，這在生活中有廣泛的應(yīng)用，應(yīng)該讓學(xué)生通過(guò)具體操作進(jìn)行體驗(yàn)。所以，引導(dǎo)學(xué)生思考了，懂得了如何巧妙利用空間的基本原理，可以為以后的幾何學(xué)習(xí)奠定良好的基礎(chǔ)。

（作者單位：長(zhǎng)沙市芙蓉區(qū)東郡小學(xué)）