抽象、具象的聯結、跨越
——幾何直觀運用策略例談

邵志剛

幾何直觀既有形象思維的特性，又有理性思維的特征。在小學數學教學中，要使抽象的數學知識更容易理解，增強課堂教學實效，使學生充分理解數學本質，就要善用、巧用幾何直觀，把一個比較復雜、比較抽象的對象，用直觀的辦法、用圖形的辦法，刻畫出來。

一、借助幾何直觀，為形成概念提供生動表征

概念具有較強的抽象性，不容易喚醒學生的視覺映象。在引入概念和概念學習過程中，根據小學生的年齡特征和已有知識經驗，安排畫圖、操作、觀察等活動，促進學生對概念的主動認知，以直觀的圖形和相關的表象，支撐學生對抽象概念的理解，引導學生將抽象的符號、言語轉化成表象表征、數形結合，形成科學合理的概念系統。

【案例】：認識一位小數

師：0.1表示什么？

師：（出示一張正方形紙）如果這張紙的大小用數“1”來表示，那么如何表示0.1的大小？你估計是多大？誰來比劃一下？

（學生比劃）

師：0.1到底有多大呢？這樣吧，請你在紙上分一分、涂一涂。

（學生活動）

（展示交流）

（出示第一幅作品）

師：0.1表示的是這么大小的一塊嗎？生：表示得不對，畫成了。

（該學生出示第三幅自己的作品）

師：你認為他表示得對不對？你們是怎么看的？

生：這樣表示0.1的大小是對的，把這張紙平均分成10份，1份就是0.1。

師：（多媒體演示把一張紙平均分成10份，涂出1份的過程）誰再說說0.1表示的意義？

生：0.1表示把一張正方形紙平均分成10份，涂其中的1份。

師：只能用正方形紙分嗎？

生：還可以把一張長方形紙平均分成10份，涂其中1份。

生：還可以把一樣東西平均分成10份，取其中1份。

教學片斷中，教師在學生初步認識一位小數含義的基礎上，讓學生在表示整數“1”的正方形中分一分、涂一涂，表示出0.1的大小，讓學生將小數的意義通過直觀的圖形表現出來，引導學生將數變成形，再用語言描述所畫圖的含義，使學生頭腦中關于0.1的表象得以視覺化，培養學生借助圖形描述數學概念的能力，增強學生的數感，有助于積累應用幾何直觀描述數學概念的能力。學生收獲得不僅是一位小數的本質含義，更是對一位小數的直觀性認識、整體性把握。

二、借助幾何直觀，為理清算理提供具象素材

借助“幾何直觀”形象地描述和分析計算的本質 (即算理),將枯燥、機械的計算活動變成生動活潑的數學思維活動,變機械化的反復練習為自主探索本質算理的思維活動,使我們的課堂充滿活力。

【案例】：分數乘分數

師：想一想怎樣列式？

黑鷹山鐵礦床位于甘肅酒泉市正北280km處，屬內蒙古額濟納旗管轄，為中國西北地區最重要的富鐵礦床之一。該礦床是原祁連山地質隊于20世紀50年代末進行區域地質調查時發現露頭，后經鉆探和坑探查明的一處中型富鐵礦床[1]。關于該礦床的成因，目前主要存在以下幾種認識：與中酸性火山巖有關的典型淺成礦漿鐵礦床[2]，火山氣液充填交代型鐵礦床[3]；屬火山-礦漿和火山-熱泉雙重成因 [4-5]。

師：為什么這樣列式？你是怎樣想的？

生：可以用圖來畫一畫、分一分。

師：這是個好主意。大家試一試，看看能不能得出結果。

學生畫圖，展示：

師：觀察算式和結果，想一想：分數乘分數可以怎樣計算呢？

生：2×2=4，3×5=15。

生：用分子相乘的結果作積的分子，分母相乘的結果作積的分母。

分數乘分數的算理，通過理性講解、推理，學生理解起來有很大的難度。如果借助圖形表征，讓學生畫一畫、分一分、涂一涂，學生很容易得到令人信服的結果，并由此發現分數乘分數的計算方法。再如《20以內進位加法》，通過學生用小棒、圓片等實物操作來直觀感知“湊十”的過程和方法，進而理解進位加法的算理；《分數的簡單計算》，可以用圖形直觀來表征、理解算理……

三、借助幾何直觀，為解決問題拓展思路

《義務教育數學課程標準（2011年版）》明確指出：“借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。”小學生學習數學，解題的靈感很多時候來自于幾何直觀，只有把抽象的數學問題轉化為可借用的幾何直觀問題，學生才有可能展開想象和創造性的數學探究活動。正確理解了幾何直觀的本質意義，把握了幾何直觀的實質，學生在問題解決時就能靈活運用，從而幫助學生更好地分析問題、思考問題、解決問題、創生問題，激發他們想象與創造，提升解決問題的水平，弘揚數學理性精神。

【案例】：蘇教版五年級下冊《解決問題的策略》

師：這道題的加數有規律嗎？什么規律？你會計算嗎？

生：通分后再計算。

師：可以，把異分母分數轉化成同分母分數再相加。如果繼續這樣寫下去，加到第20個、30個數呢？還用通分的方法會怎樣呢？

生：會特別麻煩。

師：對呀！有沒有其他更好的轉化方法呢？

師：（出示下圖）觀察圖形，把正方形看作“1”，你有沒有什么啟發？

生：這個算式的結果就是涂色部分的面積。

生：涂色部分的面積可以用1減去空白部分的面積。

本教學片斷中，由于有了直觀圖形的啟發以及通過數形結合表達出的圖意，學生更容易理解：圖中的正方形表示數1，要求的和就是正方形里涂色部分的大小，算式轉化正是根據“涂色部分的大小等于1減去空白部分的差”進行的。如果沒有直觀圖形，學生很難體會這道題還可以這樣轉化。可見，幾何直觀在提示解題思路、激發學生創新意識等方面，作用巨大。

抽象的數學，借助幾何直觀，可以簡潔形象地表達出來，在抽象與具象之間架構起橋梁。在數學教學中，借助合適的圖形、直觀的模型，更有利于揭示數學對象的本質和聯系，使學生的思維活動容易轉向更高級、更抽象的境界。對學生幾何直觀能力的培養是一個過程，需要教師在教學中長期關注，有意識地滲透。