利用動作思維有意義地建構(gòu)除法豎式
——對《有余數(shù)除法豎式》教學(xué)的思考

周春芝

蘇教版教材在二年級下冊安排了有余數(shù)除法的內(nèi)容，同時教學(xué)除法的豎式計(jì)算。這部分知識是在學(xué)生已經(jīng)掌握了表內(nèi)乘、除法的口算，以及用豎式計(jì)算兩位數(shù)加法和減法的基礎(chǔ)上教學(xué)的。教學(xué)時要引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系操作過程來理解除法豎式中每部分的實(shí)際意義，并從中體會除法豎式結(jié)構(gòu)的合理性，同時強(qiáng)化“余數(shù)要比除數(shù)小”的認(rèn)知和理解。

在教學(xué)時我調(diào)整了教學(xué)順序，同時緊密聯(lián)系操作過程，讓學(xué)生參與除法豎式的建構(gòu)過程，取得了較好的教學(xué)效果。

現(xiàn)展示如下。

師：你能用圓片或小棒代替蘋果分一分嗎？

（學(xué)生操作學(xué)具）

學(xué)生匯報：每5個放一盤，就是5個一份，分成2份，還剩2個。

填寫算式：12÷5＝ 2（盤）……2（個）

師：你能看著這道算式，說一說剛才是怎樣分蘋果的？結(jié)果是什么？

生：12個蘋果，每5個放一盤，放了2盤，還剩2個。

師：沒有分完，那分掉了多少個蘋果？說一說你是怎么知道的。

生：10個。每盤放5個，放了2盤，想口訣“二五一十”。

師：能不能完整說一說分蘋果的過程？

生：12個蘋果，每盤放5個，放了2盤，分掉了10個蘋果，還剩2個。

師：當(dāng)有很多個蘋果，你還愿意擺一擺、分一分嗎？

生：不愿意，這樣太麻煩了。

師：有一種方法能快速地知道平均分的結(jié)果，那就是用豎式來計(jì)算。

師：剛才通過分一分，知道還有剩余，沒有正好分完。可以想成“12里面最多有（ ）個5”。因?yàn)?2里面最多有2個5，所以商就是2。

師：你覺得商寫在什么位置比較好？可以寫在除數(shù)的左邊，或者被除數(shù)的右邊嗎？

生：不行，如果寫在除數(shù)的左邊，別人以為除數(shù)是25；如果寫在被除數(shù)的右邊，別人以為被除數(shù)是122。

師：那寫在哪里比較合適呢？請同學(xué)間商量一下。

生：我們可以學(xué)加法和減法的樣子，在被除數(shù)下面先畫一條橫線，然后再寫上商2。

師：同意嗎？

生：（眾）同意。

師：想一想，怎樣求剩下的蘋果？

生：用原來的蘋果減去分掉的蘋果。

師：豎式中能看出原來的蘋果嗎？如果能，是多少個？

生：能，有12個。

師：哦！原來被除數(shù)就表示原來蘋果的個數(shù)。

師：那分掉的蘋果是多少？豎式中有沒有表示出來？

生：是10個，沒有表示出來。

師：說一說分掉10個蘋果是怎樣計(jì)算出來的？

生：放了2盤，每盤5個，一共分掉了10個。

師：我們都知道要求剩下的蘋果，應(yīng)該用原來的蘋果減去分掉的蘋果。那這分掉的10個蘋果寫在豎式中的什么位置比較合適呢？請同學(xué)間再次討論一下。

生：我們覺得10寫在被除數(shù)12下面比較好。這樣就可以用12減10等于2，這個2就是剩下的蘋果，減法豎式計(jì)算中，就是被減數(shù)在上面，減數(shù)在下面。

生：可是被除數(shù)下面已經(jīng)有商2了，再在下面寫上10，不知道的人看了會誤解的。

師：那如何解決這個矛盾呢？

生：我們只要把商2，寫到被除數(shù)的上面，別人就不會誤解了。

師：（故意把商2寫在除號和被除數(shù)之間）是這樣嗎？

生：不是，是橫線的上面。

師：你的意思是除號的上面嗎？怎樣對齊呢？

生：2對 12中的“2”。

師：理由是什么？

生：個位對個位。

師：下面算什么？

生：12減10，再畫一條橫線，右邊寫上減號，下面寫2。

師：以后等熟練計(jì)算后，右邊的減號可以省略不寫。直接寫成這樣的格式，但是心中要明白最后是算減法。

師：請同學(xué)們看著這個豎式，說一說，可以看出分蘋果的哪些信息？

生：原來有12個蘋果，每5個放一盤，放了2盤，分掉了10個蘋果，還剩2個。

師：豎式中10是怎樣得到的？

生：二五一十。

師：意思就用商“2”乘除數(shù)“5”得到的，是嗎？

生：是的。

師：看著豎式再說一說，剛才我們是先算什么，再算什么，最后算什么？

生：先想“12里面有（ ）個5”，再寫商2，然后算 2乘5等于10，最后算12減10等于2。

……

【反思】

教材編寫者先安排表內(nèi)除法豎式，再教學(xué)有余數(shù)的除法豎式，其目的是遵循由易到難，分散難點(diǎn)，逐層突破的原則。編者認(rèn)為表內(nèi)除法的商與除法相乘的積剛好等于被除數(shù)，所求口訣中的積就是被除數(shù)，而有余數(shù)除法中商與除數(shù)的乘積小于被除數(shù)，其難度要大于前者，不利于知識難點(diǎn)的突破。根據(jù)筆者以往教學(xué)反饋情況來看，由于大部分學(xué)生不理解算理和除法豎式的特殊形式，錯誤地認(rèn)為被除數(shù)是多少，下面的乘積也是多少，上下兩個數(shù)應(yīng)該相同，并把這種錯誤的認(rèn)知推廣至有余數(shù)除法的豎式計(jì)算中，甚至有部分學(xué)生認(rèn)為求商和除數(shù)的乘積這步計(jì)算是多余的，因?yàn)楫?dāng)正好分完時被除數(shù)、除數(shù)和商已經(jīng)把平均分蘋果的結(jié)果準(zhǔn)確、完整地表達(dá)出來了。如果先教學(xué)有余數(shù)的除法豎式，再放手讓學(xué)生自主嘗試解決表內(nèi)除法的豎式計(jì)算，通過對比使學(xué)生清醒認(rèn)識到如果沒有分完，那么商和除數(shù)的乘積就小于被除數(shù)，只有正好分完的時候乘積才和被除數(shù)相同。而且正因?yàn)槌朔e小于被除數(shù)，最后相減后才有余數(shù)，而正好分完被除數(shù)和乘積相同，相減后得數(shù)為0，則說明沒有余數(shù)。先教學(xué)有余數(shù)的豎式，有利于學(xué)生在注意力最集中的時候突破難點(diǎn)知識。

同時，要想讓學(xué)生在有意義理解的基礎(chǔ)上建構(gòu)豎式計(jì)算的算理和算法，除了要引導(dǎo)學(xué)生把操作過程和計(jì)算步驟建立有機(jī)的聯(lián)系外，至少還要讓學(xué)生部分參與豎式結(jié)構(gòu)的生成過程。讓學(xué)生在討論、碰撞、交流、協(xié)商中自主感悟、體驗(yàn)這種特殊結(jié)構(gòu)的合理性和簡潔性。上述案例中有余數(shù)除法豎式生成的過程不是一帆風(fēng)順的，而是學(xué)生在不斷矛盾沖突中調(diào)整、完善、重構(gòu)以至趨于合理和認(rèn)同的過程。在這一過程中學(xué)生不是旁觀者，而是主動參與者和商討者，學(xué)生的主觀能動性得到充分的發(fā)揮。由于豎式結(jié)構(gòu)是全體成員共同協(xié)商和制定的智慧結(jié)晶，當(dāng)然能被學(xué)生接受和悅納，所以在下面的學(xué)習(xí)過程再也沒有出現(xiàn)上述依葫蘆畫瓢的現(xiàn)象。

只有明晰了算理，明確了計(jì)算方法，才有助于學(xué)生計(jì)算能力的形成和提高。除法豎式計(jì)算規(guī)則，看似一種人為規(guī)定，然而這種規(guī)定背后隱藏某種必然的緣由，而教師需要做的就是引導(dǎo)學(xué)生挖掘并展現(xiàn)出其合理因素。本節(jié)課中除法豎式計(jì)算過程映射的生活原型就是學(xué)生分蘋果的操作過程，只有學(xué)生理解這個豎式結(jié)構(gòu)中每一部分?jǐn)?shù)量的實(shí)際意義以及它們之間的聯(lián)系，才能弄懂算理、掌握算法。案例中教師引導(dǎo)學(xué)生不停地在豎式計(jì)算和操作過程之間來回穿梭，當(dāng)學(xué)生講清楚豎式中被除數(shù)、除數(shù)、商、乘積和余數(shù)實(shí)際意義的時候，算理和計(jì)算方法已經(jīng)不言自明了。這時計(jì)算過程就是對操作過程的符號化提煉，學(xué)生對數(shù)和數(shù)量關(guān)系的理解不是停留于外在的模糊認(rèn)知，而是內(nèi)在意義的深刻理解，此舉有利于學(xué)生數(shù)感的建立和培養(yǎng)。