從“知”到“思”
———《特殊的兩位數(shù)減法》案例分析

林小紅

計(jì)算因有其固有的方法，多數(shù)教師在組織課堂教學(xué)的時候把教學(xué)目標(biāo)集中在理解算理和掌握算法上，即使是練習(xí)課，也仍然以提高計(jì)算速度和正確率為主要目標(biāo)。這種教法，即使學(xué)生知識掌握得再扎實(shí)技能訓(xùn)練得再熟練，也只是知識與技能。

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》2011年版在傳統(tǒng)“雙基”（基礎(chǔ)知識、基本技能）的基礎(chǔ)上增加了基本思想、基本活動經(jīng)驗(yàn)。如何在計(jì)算練習(xí)課中落實(shí)“四基”？本節(jié)課以“特殊的兩位數(shù)減法為例”，在教學(xué)組織方式上，嘗試讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題——提出猜想——驗(yàn)證猜想——應(yīng)用規(guī)律的過程，通過數(shù)學(xué)知識的獲取和應(yīng)用，鍛煉學(xué)生分析、概括、推理的能力，落實(shí)數(shù)學(xué)思想與方法，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，從而使學(xué)生實(shí)現(xiàn)從“點(diǎn)”到“面”，從知”到“思”能力的提升。

過程一 提出猜想，探索規(guī)律

1.呈現(xiàn)研究素材。

（從 1、2、3、4、5 這幾個數(shù)字中選出兩個數(shù)字，組成兩個兩位數(shù)，并求出它們的差）

（通過舉例使學(xué)生理解題意）

生：52-43=9。

師：這個例子符合要求嗎？

生：不符合要求，題目要求選擇兩個數(shù)字，而他選了4個數(shù)字。我選擇“5”和“3”，組成53”和“35”，53-35=18。

2.匯報(bào)交流，發(fā)現(xiàn)算式和差的特殊性。

生：21-12=9、52-25=27、43-34=9、41-14=27、54-45=9、51-15=36 、32-23=9、42-24=18、53-35=18、31-13=18。

（根據(jù)學(xué)生的匯報(bào)，教師依次將寫有算式的磁性卡片貼在黑板上）

生：我發(fā)現(xiàn)有些算式的差是一樣的。

生：我發(fā)現(xiàn)差等于9的算式最多，差等于36的算式最少。

生：我發(fā)現(xiàn)差都是9的倍數(shù)。

（板書：9）

師:同學(xué)們都發(fā)現(xiàn)了它們的“差”很特殊，除了“差”還有什么特殊的嗎？

生：算式也很特殊，都是調(diào)換兩個數(shù)字，組成兩個兩位數(shù)再相減的。

師：你能不能用符號或者圖形表示這樣的算式呢？

生：AB-BA。

生：蜜蜂-蜂蜜。

生：□○-○□。

師：同學(xué)們想出了這么多種方法來表示這樣特殊的算式，我們用“AB-BA”來代表“蜜蜂-蜂蜜”或者“□○-○□”可以嗎？

（板書：AB-BA）

師:像“AB-BA”這樣特殊的減法算式，它們的差與“9”的倍數(shù)有什么關(guān)系呢？

（板書：AB-BA9?）

師：現(xiàn)在我們就來研究這個問題。這10道算式太亂了，你覺得我們接下來可以怎樣研究呢？

生：我們可以把這些算式分類。

過程二 發(fā)現(xiàn)規(guī)律，驗(yàn)證規(guī)律

1.分類。

學(xué)生按照計(jì)算的結(jié)果分類：

2.發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

師：你們發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律了？

生：我發(fā)現(xiàn)結(jié)果從9～36依次增加9。

生：每一列上下兩道算式比較，十位和個位依次大1。

生：我有一個小小的發(fā)現(xiàn)，比如：43-34，十位和個位上的數(shù)字相差 1，1×9=9，53-35 是2×9=18，52-25 是 3×9=27，51-15是 4×9=36。

3.驗(yàn)證規(guī)律。

師：橫著觀察的4道算式都有這個規(guī)律，其它算式也有這樣的規(guī)律嗎？能不能換個角度觀察？

生：我來解釋一下，剛才總結(jié)出每一列上下兩道算式比較，十位和個位依次大1，這也說明了十位和個位的相差數(shù)都不變。比如第①列十位上的數(shù)字和個位上的數(shù)字都相差1，1×9=9；第②列都相差 2，2×9=18；第③列都相差 3，3×9=27；第④列都相差 4，4×9=36。

4.反例加深印象。

師：課的開始有同學(xué)舉出這個例子：52-43=9，這道算式能用今天所學(xué)的方法計(jì)算嗎？

生：不能，雖然它的結(jié)果也是 9，但是它不符合“AB-BA”，不是“特殊的兩位數(shù)減法”。

5.概括總結(jié)。

師：現(xiàn)在誰能把這些特殊的兩位數(shù)減法、差的規(guī)律概括起來說一說？

生：十位和個位上數(shù)字的相差數(shù)乘9就是結(jié)果了。

師：你說的十位和個位，是指“被減數(shù)”呢，還是“減數(shù)”？

生：不管“被減數(shù)”還是“減數(shù)”，都是一樣的，只要求出它們的相差數(shù)就行了。

師：如果用字母公式來表示這個規(guī)律，又應(yīng)該怎么表示呢？

生 ：AB-BA= （A-B）×9，“A-B”就是十位和個位的相差數(shù)。

師：現(xiàn)在這個“？”可以擦了嗎？

（板書：AB-BA=(A-B)×9，擦掉之前的“？”）

過程三 增加數(shù)字，窮舉法驗(yàn)證規(guī)律

1.豐富研究的材料。

師：如果把可以選擇的數(shù)字從“1～5”增加到“1～9”，還有這樣的規(guī)律嗎？

生：有這樣的規(guī)律。

師：如果規(guī)律存在，那么“AB-BA”的結(jié)果除了“9、18、27、36”之外，還有可能是幾？

（學(xué)生猜測，還可能是45、54、63、72、81）

2.討論驗(yàn)證的方法。

師：數(shù)字增加后，符合要求的算式應(yīng)該還有很多很多。這些算式都有剛才發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？接下來你們想怎么驗(yàn)證呢？

生：可以把算式都寫出來驗(yàn)證。

師：請第一小組把結(jié)果是“9”的、符合要求的算式都寫出來，看看有沒有這個規(guī)律，其他8個小組以此類推。

3.全班以學(xué)習(xí)小組為單位驗(yàn)證規(guī)律。

師：寫得快的同學(xué)幫老師把數(shù)字卡片貼到黑板上去。

4.匯報(bào)交流。

（學(xué)生貼的數(shù)字卡片）

師：結(jié)果是“81”的算式怎么沒有，是他們偷懶了嗎？第9小組的同學(xué)你們有什么解釋的嗎？

生：結(jié)果是“81”的沒有。因?yàn)?1÷9=9，所以十位和個位相減要等于9的，可是沒有這樣的兩個數(shù)。

生：我是這樣想的，91-19，已經(jīng)選了相差最大的兩個數(shù)字了，它的結(jié)果也就“72”，所以“81”是不可能的。

師：你們能從兩個不同的角度去分析同一個問題，真是太了不起了。

生：我還有不同的方法。每一列的最后一道算式都是有規(guī)律的：98-89=9；97-79=18；96-69=27……咦，第四列怎么沒有這樣的規(guī)律了呢？

全班同學(xué)再一次陷入了沉思。1分鐘后，終于有學(xué)生大喊一聲：他沒有按順序排。

（將得數(shù)是“36”的卡片按照順序重新排列）

生：我接著說我的方法，95-59=36；94-49=45；93-39=

54；92-29=63；91-19=72。所以沒有一道算式的結(jié)果是“81”的。

生：怪不得得數(shù)越大，算式的數(shù)量就越少。

師：看來結(jié)果是“81”的不可能了。真是委屈第9小組的同學(xué)們了，雖然你們一道算式都沒有寫，但是你們思考的一點(diǎn)都不比別人少。

過程四 應(yīng)用規(guī)律，解決問題

1.呈現(xiàn)題目。

“A”和“B”分別代表不同的數(shù)字，有哪些可能？

寫出豎式

2.匯報(bào)交流。

生：我是先試出一個，發(fā)現(xiàn)“A”和“B”相差 6，然后用相差 6的兩個數(shù)試試果然成功了。

生：可以將題目轉(zhuǎn)化成：AB-BA=54。

師：學(xué)以致用乃是學(xué)習(xí)的最高境界！你的回答太精彩了。

過程五 課堂小結(jié)，拓展延伸

師：我們來一起回顧一下這節(jié)課的學(xué)習(xí)過程：發(fā)現(xiàn)問題——尋找規(guī)律——驗(yàn)證規(guī)律——應(yīng)用規(guī)律，這些解決問題的方法可以為我們以后的學(xué)習(xí)服務(wù)。比如從1～9這幾個數(shù)中，選擇三個數(shù)字，組成像ABC-CBA”這樣的減法算式，它們的差又與什么有關(guān)，有什么關(guān)系？同學(xué)們課后也可以按照今天學(xué)習(xí)的方法去思考一下，說不定你會有新的發(fā)現(xiàn)。

本節(jié)課是由兩條線交織而成的，一條明線：探究“AB-BA”這樣特殊的兩位數(shù)減法差的規(guī)律；另一條暗線：對數(shù)學(xué)思想方法的指導(dǎo)。數(shù)學(xué)教育的核心價(jià)值不僅只有知識和技能，還在于思想與方法。從“知”到“思”，學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律之旅充滿了“艱辛與曲折”，而正是這樣的艱辛與曲折，體現(xiàn)了教師“教”是為了“不教”的目的，也正是經(jīng)過了這樣的艱辛與曲折，才使數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)落到實(shí)處。