活用教材 滲透“極限”

王炎萍

極限思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，靈活地借助極限思想，可以將某些數(shù)學(xué)問題化難為易，探索出解題方向或轉(zhuǎn)化途徑。那么，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中如何去挖掘“極限”并適時(shí)地加以滲透呢？下面筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)踐談?wù)勛约旱拇譁\見解。

一、在形成新概念時(shí)滲透極限思想

小學(xué)幾何概念中有許多概念是具有無限性的，如直線、射線、角的邊、平行線的長(zhǎng)度等，它們都是可以無限延伸的。這些概念在現(xiàn)實(shí)生活中并不是真實(shí)存在的（現(xiàn)實(shí)生活中你找不到一條能無限延伸的線），它們只是存在于人腦的想象中，而這種想象又是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的必不可少的基礎(chǔ)能力。

【案例1】射線的初步認(rèn)識(shí)

師：請(qǐng)同學(xué)們?cè)诎准埳袭嬕粭l3厘米長(zhǎng)的線段，說一說它有什么特點(diǎn)。

生：它是直的，用尺可以量出長(zhǎng)度；它有兩個(gè)端點(diǎn)……

師：請(qǐng)同學(xué)們?cè)诎准埳袭嬕粭l5厘米長(zhǎng)的直線，有什么問題？

生a：好了！（得意）

生b：不對(duì)！（反對(duì)）直線是沒有長(zhǎng)短的……

師：為什么？

生：因?yàn)橹本€可以向兩邊無限延長(zhǎng)。

師：無限延長(zhǎng)是什么意思？

生：就是無限的長(zhǎng)，沒完沒了的意思……

師：（用紅外線光電筒照在黑板上）請(qǐng)同學(xué)們畫出來。

師：（打開窗戶，將紅外線光電筒照射向天空）如果光束沒有受到阻礙的話，請(qǐng)你畫出來……

（學(xué)生畫的線有很多種情況，請(qǐng)學(xué)生自己說出自己的理由，交流反饋）

師：這就是我們今天要學(xué)的射線。

讓學(xué)生一下子認(rèn)識(shí)到圖形的無限性是有一定難度的，上面的教學(xué)片段中，教師通過讓學(xué)生自己動(dòng)手，在認(rèn)知上建立起對(duì)“線段”“射線”“直線”的矛盾沖突，這樣巧妙的教學(xué)設(shè)計(jì)使得學(xué)生輕松地建立了對(duì)“直線”“射線”的“無限”的空間感觀，真實(shí)、自然又不失嚴(yán)密。在我們周圍的事物中，是找不到那種可以真正地被看成是“無限的直線”的東西的。那么今后學(xué)生因?yàn)橄胂蟪隽藷o限的直線，他們的空間圖形觀念則產(chǎn)生了質(zhì)的飛躍，因?yàn)榻柚谶@樣的直線去認(rèn)識(shí)世界，將比沒有它要方便得多。學(xué)生在教師的引領(lǐng)下，走出有限的幾何觀念，形成無限的幾何觀念，極限思想在圖形概念形成初期呼之欲出，迸發(fā)出絢麗的色彩！

二、在公式推導(dǎo)過程中滲透極限思想

數(shù)學(xué)思想方法呈隱蔽形式，滲透在學(xué)生獲得知識(shí)和解決問題的過程中，如果能有效地引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)形成的過程，讓學(xué)生在觀察、實(shí)驗(yàn)、分析、抽象、概括的過程中，看到知識(shí)背后負(fù)載的方法、蘊(yùn)涵的思想，那么，學(xué)生所掌握的知識(shí)才是鮮活的，可遷移的，學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)才能得到質(zhì)的飛躍。我們要力爭(zhēng)做到讓學(xué)生以后即使具體的知識(shí)忘了，但用數(shù)學(xué)來思考問題的方法還常存于腦中。

【案例2】圓的面積

師：我們學(xué)過了一些圖形的面積計(jì)算公式，今天我們來研究圓的面積公式。你們有什么辦法嗎？

生：可以把圓轉(zhuǎn)化為我們學(xué)過的圖形。

師：怎么轉(zhuǎn)化？

生：把圓平均分。（大屏幕上演示把圓平均分成了2份，把兩個(gè)半圓使勁地拼，結(jié)果還是一個(gè)圓）

師：轉(zhuǎn)化不成已經(jīng)學(xué)過的圖形，怎么回事？

生：平均分的份數(shù)不夠多。

師：是這樣嗎？那我們分得多一些，請(qǐng)大家仔細(xì)觀察。（演示把一個(gè)圓分割為完全相同的小扇形，并試圖拼成長(zhǎng)方形。從平均分成4個(gè)、8個(gè)到16個(gè)）

師：你們有什么發(fā)現(xiàn)？同桌輕輕交流一下。

生1：16個(gè)拼起來，比較像長(zhǎng)方形。

生2：分的份數(shù)越多，拼成的圖形就越接近長(zhǎng)方形。

師：你們都同意他們的看法嗎？（學(xué)生表示同意）那我們?cè)賮矸忠环诌@個(gè)圓。（課件演示把圓平均分成32個(gè)、64個(gè)……完全相同的小扇形）

師：大家再仔細(xì)看一看，想一想，如果一直這樣分下去，拼下去會(huì)怎樣？

生1：拼成的圖形就真的變成了長(zhǎng)方形，因?yàn)檫呍絹碓街绷恕?/p>

師：拼成的長(zhǎng)方形與原來的這個(gè)圓究竟有怎樣的關(guān)系啊？

……

這個(gè)過程中采用了“變曲為直”“化圓為方”極限分割思路。從“分的份數(shù)越來越多”到“這樣一直分下去”的過程就是“無限”的過程，“圖形就真的變成了長(zhǎng)方形”就是獲得的結(jié)果。通過有限想象無限，根據(jù)圖形分割拼合的變化趨勢(shì)，想象它們的最終結(jié)果，讓學(xué)生既掌握了計(jì)算公式，又萌發(fā)了無限逼近的極限思想。學(xué)生經(jīng)歷了從無限到極限的過程，感悟了極限思想的巨大價(jià)值，學(xué)生有了這個(gè)基礎(chǔ)，到將來學(xué)習(xí)圓柱體積公式的推導(dǎo)時(shí)就會(huì)很自然地聯(lián)想到這種辦法，從而再一次加以利用解決問題，在不斷的應(yīng)用中學(xué)生的極限思想會(huì)潛移默化地形成。

三、在數(shù)的認(rèn)識(shí)過程中滲透極限思想

小學(xué)生從一年級(jí)開始就認(rèn)識(shí)了自然數(shù)0、1、2、3…同時(shí)知道每個(gè)自然數(shù)加1就等于它的后繼數(shù)。到了認(rèn)識(shí)億以內(nèi)的數(shù)時(shí)，進(jìn)一步知道了最小的自然數(shù)是0，沒有最大的自然數(shù)，自然數(shù)的個(gè)數(shù)是無限的。也就是說，任意給定一個(gè)足夠大的自然數(shù)n，只需要把它加1就會(huì)得到一個(gè)更大的自然數(shù)n+1，n+1>n，所以總是找不到一個(gè)最大的自然數(shù)，從而體會(huì)到自然數(shù)數(shù)列的無限多和趨向無窮大。由此可以推廣到奇數(shù)、偶數(shù)、一個(gè)數(shù)的倍數(shù)、兩個(gè)數(shù)的公倍數(shù)等都沒有最大的，都有無限多個(gè)。在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)時(shí)，學(xué)生知道分母不同、分?jǐn)?shù)值相等的分?jǐn)?shù)有無限多個(gè)。整數(shù)和有限小數(shù)化成分?jǐn)?shù)是大家非常熟悉的，那么，循環(huán)小數(shù)怎樣化成分?jǐn)?shù)呢？

【案例3】把循環(huán)小數(shù)0.999…化成分?jǐn)?shù)

分析：0.999…是一個(gè)循環(huán)小數(shù)，也就是說，它的小數(shù)部分的位數(shù)有無限多個(gè)。對(duì)于小學(xué)生來說，能夠接受的方法就是數(shù)形結(jié)合思想和極限思想的共同應(yīng)用和滲透，通過構(gòu)造一個(gè)直觀的幾何圖形來描述極限思想。先看這個(gè)數(shù)列：0.9， 0.09、0.009、…用數(shù)形結(jié)合的思想，把這個(gè)數(shù)列用線段構(gòu)造如下：把一條長(zhǎng)度是1的線段，先平均分成10份，取其中的9份，然后把剩下的1份再平均分成10份，取其中的9份……所有取走的線段的長(zhǎng)度是：0.9+0.09+0.009+…=0.999…如此無限地取下去，剩下的線段長(zhǎng)度趨向于0，取走的長(zhǎng)度趨向于1，根據(jù)極限思想，可得0.999…=1。

通過這個(gè)例子進(jìn)一步說明，極限方法只關(guān)注一個(gè)無限的變化過程的確定趨勢(shì)是什么，只要趨勢(shì)確定并且符合極限的定義，那么這個(gè)無限變化的過程的結(jié)果就用極限來表示，它就是一個(gè)解決問題的方法而已，只要符合極限的規(guī)則和邏輯，就可以用極限來表示無限變化的過程的結(jié)果，它并不關(guān)心這個(gè)無限變化的過程何時(shí)能到達(dá)極限，它在本質(zhì)上不同于有限個(gè)數(shù)的和。

四、在實(shí)際應(yīng)用中滲透極限思想

在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)后的練習(xí)中，要求學(xué)生在1分鐘內(nèi)寫一些二分之一相等的分?jǐn)?shù)。學(xué)生嘗試寫了一些后，教師追問：“如果有時(shí)間讓你們繼續(xù)寫，還能寫嗎？”如果單從解題的角度看，學(xué)生很容易找到答案，而且不會(huì)費(fèi)時(shí)太多，但學(xué)生還沒有得到此題的精髓，也就是題中包含著什么樣的規(guī)律，體現(xiàn)了怎樣的數(shù)學(xué)思想，教師還應(yīng)該給學(xué)生挖出來。這能為他們將來學(xué)習(xí)極限理論、提高抽象思維做很好的鋪墊。

【案例4】用轉(zhuǎn)化的策略解決問題

計(jì)算：1/2+1/4+1/8+1/16

師：仔細(xì)觀察這個(gè)算式有什么特點(diǎn)？

生：任意相鄰的兩個(gè)分?jǐn)?shù)，后一個(gè)分?jǐn)?shù)總是前一個(gè)分?jǐn)?shù)的一半。

師：用什么方法求和？

生1：通分轉(zhuǎn)化。

生2：可以轉(zhuǎn)化成小數(shù)求和。

師：還有不同的方法嗎？

生：用數(shù)形結(jié)合的方法。

交流：先畫一個(gè)大正方形，它的面積是1，先“取”其1/2，再“取”剩下的1/2，也就是整個(gè)圖形面積的1/4，依次不斷“取”下去，從圖中可以直觀地發(fā)現(xiàn)：1/2+1/4+1/8+1/16=1-1/16=15/16

在此基礎(chǔ)上可以把問題進(jìn)一步變化為：1/2+1/4+1/8+

1/16+1/32+1/64+…=？用數(shù)形結(jié)合的方法，從圖中直觀地看出隨著加數(shù)的不斷增加，空白部分的面積逐漸擴(kuò)大，并且越來越接近正方形的面積，即不斷地逼近1，當(dāng)有無限多項(xiàng)相加時(shí)其結(jié)果為1。

通過多種辦法的解決，學(xué)生在收獲知識(shí)的同時(shí)，也為以后思考問題提供了多種可能，培養(yǎng)了思維的靈活性。

總之，極限思想是人類思想文化寶庫(kù)中的瑰寶，是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)反映，是知識(shí)向能力轉(zhuǎn)化的紐帶。在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，能夠體現(xiàn)數(shù)學(xué)極限思想方法的因素極為廣泛，教師在教學(xué)中應(yīng)該刻意挖掘，并適時(shí)將這一思想和方法適度地滲透給學(xué)生，這樣學(xué)生得到的就不只是數(shù)學(xué)知識(shí)，更重要的是一種科學(xué)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。