高效課堂案例分析——勾股定理

汪洪丹

初二學生大部分都有玩闖關游戲經驗，通過游戲設置關卡，充分激發(fā)學生的求知欲，體現學生學習的主觀能動性；讓學生參與，讓學生講，讓學生議論，讓學生驗證、論證，讓學生練，幫助學生正確建構自己的數學認知結構，提高他們的數學水平.

教學目標：

1.經歷勾股定理的探究過程，感受數學問題由“觀察——猜想——驗證——論證”的科學研究方法，體會數學問題中由特殊到一般的數學思想。

2.能用勾股定理解決一些簡單問題。

教學重點：探究勾股定理探索并證明勾股定理。

教學難點：勾股定理的探究和證明。

教學過程：

老師導入語：同學們，我們今天來玩游戲吧！我設置了一個闖關游戲，分為五關，每關都設有相應的分值，小組比賽制，最后看總分，分高組有獎哦！請看第一關：眼力大比拼。

設計意圖：重視引言教學，以游戲名義開始教學，吸引學生的興趣。

第一關：眼力大比拼——【導入】

問1：這是我家的地板，請觀察上圖中三個正方形的面積之間有什么關系？

問2：等腰直角三角形的三邊之間又有什么關系？

結論：等腰直角三角形兩直角邊的平方和_____斜邊的平方。

設計意圖：通過生活常見的地板，引出特殊的直角三角形的三邊關系，體會數學問題來源于生活，而且處處都可以發(fā)現問題。

老師：第一關你們闖關成功。通過第一關我們知道等腰直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，那你們接下來會有什么猜想呢？

第二關：大膽猜想

老師：你們會有什么猜想呢？

學生猜想：一般的直角三角形兩直角邊的平方和是否等于斜邊的平方？

猜想：一般的直角三角形兩直角邊的平方和是否等于斜邊的平方？

設計意圖：通過引導，大膽猜想，體會由特殊到一般的數學思想。

第三關：驗證猜想

【探究一】

請測量下列直角三角形的三邊長，并分別計算出兩直角邊的平方和與斜邊的平方。

老師：為節(jié)約時間，我指定第1，2小組測量圖（1）；第3，4組測量圖（2）；第5，6組測量圖（3）；測完后各小組派個代表報數，并說明實驗數據能不能驗證猜想。

設計意圖：通過實驗操作，來驗證猜想；通過參與驗證的過程，增強學生學習數學的自信心。

老師：我現在用幾何畫板向大家展示，任意畫一個直角三角形，并把兩直角邊及斜邊長度量出來了，算出它們的平方，你們注意觀察數據的變化，看是否是一直滿足兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。

老師：通過幾何畫板可以畫出無數個的直角三角形，這些三角形是否驗證了我們的猜想關系式？

設計意圖：體會數學是一門嚴謹的學科，實驗只能驗證猜想，還需要理論論證。

第四關：論證猜想

拼圖游戲：用相同的直角三角形拼一個特殊的圖形。

游戲規(guī)則：（1）以4個全等的任意直角三角形的邊為界，拼成一個外圍是正方形的圖形。（2）游戲在3分鐘之內完成。

老師：小組進行比拼，看哪組拼的方法多且快。拼完的小組舉手。學生基本上會拼出兩種圖形：

老師：我們拼圖的目是想通過拼圖來論證我們的猜想，下面各組討論，我把那全等的直角三角形的兩直角邊令為a、b，斜邊令為c，怎么通過我們的拼圖來論猜想。（小組討論3分鐘后，請小組講解）

小組通過面積關系，可以推出直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。

設計意圖：展示小組合作能力；發(fā)展學生的形象思維；體會數形結合思想；提高分析問題能力和解決問題能力；通過證明的過程，增強學生學習數學的自信心。

【勾股定理】

勾股定理：直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。

（數學符號語言表達）：

∵在Rt△ABC中，∠C=90°

∴_____

學習勾股定理后，用語音播放勾股定理的發(fā)展歷史，及我國古代的前輩們早在公元前1000多年前就發(fā)現了勾股定理。

設計意圖：了解我國古代數學家對勾股定理的發(fā)現及證明做出的貢獻，增強民族自豪感。

思考：（公式變形）

在直角三角形中，兩直角邊分別為a和b，斜邊為c：

（1）若已知a，b，則c2=_____，即c=_____。

（2）若已知c，b，則a2=_____，即a=_____。

（3）若已知c，a，則b2=_____，即b=_____。

設計意圖：學生要掌握勾股定理的變形，體會勾股定理可以用來求直角三角形的邊長。

第五關：知識應用大比拼

1.已知直角三角形的兩條直角邊分別為a和b，斜邊為c。

（1）若a=6，b=8，則c=_____。

（2）若c=3，b=2，則a=_____。

（3）若c=4，a=3，則b=_____。

2.已知一個直角三角形的兩邊長分別為3和4，則第三邊長是（ ）。

A.5 B.7 C.[7] D.5或[7]

3.判斷對錯：若a、b、c為Rt△ABC的三邊，則a2+b2=c2。（ ）

設計意圖：考察學生能否掌握勾股定理的表達式，體驗強調直角的重要性；以及分類討論的數學思想。

4.如圖，受臺風彩虹的影響，一棵大樹在離地面9米處斷裂，樹的頂部落在離樹根底部12米處。求這棵樹原來有多高？

設計意圖：通過學生親身經歷的生活背景，來考察勾股定理在實際生活中的應用。

小結：教師和學生一起回顧本節(jié)課所學內容，總結這節(jié)課體會的從特殊到一般及數形結合的數學思想；在研究問題的過程是：觀察，猜想，驗證，論證。

設計意圖：感悟數學思想，引發(fā)學生更深層次的思考，促進學生數學思維品質的提高。

思考題：湛江海灣大橋是“廣東省第一跨海大橋”。如圖，已知橋塔高AD=150米，其中有兩條拉索：AB=AC=170米，求橋面BC的距離。

設計意圖：通過學生周圍的事物來出題，體會數學來源生活，用于生活。