從混沌擺到混沌理論的探索研究

勞奇奇+余熙玥

摘 要：隨著我國(guó)社會(huì)經(jīng)濟(jì)和科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，人民生活水平不斷提高。在物質(zhì)文明進(jìn)步的同時(shí)，人們對(duì)精神文明的追求日益強(qiáng)烈。科普知識(shí)作為精神文明的重要組成部分，也日益受到人們的關(guān)注。從普及科普知識(shí)的角度出發(fā)，從混沌擺講到混沌理論，用通俗易懂的各種生活現(xiàn)象解釋晦澀難懂的混沌理論，力求讓更多人了解混沌現(xiàn)象。

關(guān)鍵詞：蝴蝶效應(yīng)；混沌擺；混沌理論；邏輯斯蒂方程

中圖分類號(hào)：O415.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10.15913/j.cnki.kjycx.2017.06.004

一只南美洲亞馬遜河流域熱帶雨林中的蝴蝶，偶爾扇動(dòng)幾下翅膀，2周以后在美國(guó)德克薩斯州引起一場(chǎng)龍卷風(fēng)。這就是蝴蝶效應(yīng)。其原因是蝴蝶扇動(dòng)幾下翅膀，會(huì)引起蝴蝶身邊氣流微弱的變化，微弱的氣流變化又會(huì)引起周圍的空氣變化或其他系統(tǒng)的變化，從而引起一連串的連鎖反應(yīng)，最終導(dǎo)致其他系統(tǒng)極大的變化。

1 “蝴蝶效應(yīng)”是混沌理論的一個(gè)概念

“蝴蝶效應(yīng)”是混沌理論的一個(gè)概念。一件芝麻綠豆大的小事，經(jīng)過(guò)一傳十，十傳百，可能被放大改變成一條天要塌下來(lái)的大新聞。所謂“失之毫厘，謬以千里”，就是蝴蝶效應(yīng)最簡(jiǎn)略的表示。也許如此比喻有些言過(guò)其實(shí)，但卻充分展示了初值對(duì)結(jié)果的重要性。“混沌”就是指在確定性系統(tǒng)中因?qū)Τ跏贾得舾卸憩F(xiàn)出不可預(yù)測(cè)，不可重復(fù)，類似隨機(jī)性的運(yùn)動(dòng)。任何事物的發(fā)展都存在確定性和不確定性，事物在發(fā)展過(guò)程中有規(guī)律可循，但一個(gè)微小的變化可以影響甚至改變事物的發(fā)展過(guò)程，說(shuō)明事物發(fā)展的復(fù)雜性。混沌理論就是一個(gè)既存在確定性又存在不確定性的系統(tǒng)理論。

如何清晰直觀地演示混沌理論中的確定性和不確定性呢？紹興科技館的一件創(chuàng)新展品——混沌擺或許可以給出答案。

圖1為混沌擺。該混沌擺展品為“T”字?jǐn)[，“T”字的頂點(diǎn)處各安裝一個(gè)小擺，“T”字的交點(diǎn)處安裝一個(gè)旋轉(zhuǎn)手柄。轉(zhuǎn)動(dòng)手柄時(shí)，3個(gè)頂點(diǎn)的小擺隨之被帶動(dòng)，并互相影響，呈現(xiàn)出不規(guī)則的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。在每一個(gè)擺的擺桿底部都安裝有紅外發(fā)射器，攝像機(jī)實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)地捕捉紅外發(fā)射器的運(yùn)動(dòng)軌跡，并通過(guò)差值算法生成平滑軌跡曲線顯示在屏幕中。

單擺的運(yùn)動(dòng)很容易預(yù)測(cè)，但將3個(gè)單擺用T形桿固定，每個(gè)擺的運(yùn)動(dòng)會(huì)影響其他2個(gè)擺的運(yùn)動(dòng)，這樣就使運(yùn)動(dòng)復(fù)雜無(wú)序，無(wú)法預(yù)測(cè)。即使旋轉(zhuǎn)手柄時(shí)，初始力度或者方向只差一點(diǎn)點(diǎn)，最終屏幕中顯示的曲線也將是截然不同、無(wú)法預(yù)測(cè)的。同時(shí)，可以確定的是，無(wú)論初始力度或者方向如何變化，單擺都始終活動(dòng)在一個(gè)圓形范圍之內(nèi)。這樣就很好地演示了晦澀難懂的混沌理論中的確定性和不確定性。

在說(shuō)起蝴蝶效應(yīng)或者混沌理論時(shí)不得不說(shuō)一下愛(ài)德華·洛倫茨。他是美國(guó)麻省理工學(xué)院做氣象研究的一位科學(xué)家。20世紀(jì)60年代，他使用笨重而龐大的計(jì)算機(jī)模擬影響氣象的大氣流。由于不放心第一次計(jì)算的結(jié)果是否正確，他決定用計(jì)算機(jī)再計(jì)算一次，最后居然出現(xiàn)完全不一樣的結(jié)果。最終發(fā)現(xiàn)是初始數(shù)據(jù)略有不同，第一次是使用計(jì)算機(jī)中存儲(chǔ)的數(shù)據(jù)，第二次是洛倫茨自己將計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)的眾多數(shù)據(jù)中的其中幾個(gè)進(jìn)行了四

舍五入，初值出現(xiàn)微小的差別，結(jié)果卻千差萬(wàn)別。洛倫茨發(fā)現(xiàn)，初始值的微小變化，會(huì)隨著時(shí)間的變化被指數(shù)放大。那么，這樣的天氣預(yù)報(bào)是否還有實(shí)際意義呢？于是，洛倫茨開(kāi)始研究動(dòng)力系統(tǒng)的相空間。相空間中的一個(gè)狀態(tài)點(diǎn)，確定了系統(tǒng)的一個(gè)狀態(tài)，也叫該系統(tǒng)的吸引子，即系統(tǒng)最后的歸屬。例如，一個(gè)帶有阻尼運(yùn)動(dòng)的單擺，如果沒(méi)有其他情況發(fā)生，靜止不動(dòng)就是它最后的歸屬，因此單擺運(yùn)動(dòng)的吸引子是它的相空間中的一個(gè)固定點(diǎn)。如果這是一個(gè)帶有動(dòng)力的鐘擺，它將會(huì)做周期性運(yùn)動(dòng)，鐘擺運(yùn)動(dòng)的吸引子便是一個(gè)橢圓。洛倫茨將氣象預(yù)報(bào)的參數(shù)和方程簡(jiǎn)化成一個(gè)由3個(gè)變量及時(shí)間系數(shù)決定的微分方程組，最終得到如圖2所示的奇異吸引子圖。這個(gè)系統(tǒng)似穩(wěn)非穩(wěn)，似亂非亂，亂中有穩(wěn)，穩(wěn)中有亂。這是一個(gè)外表規(guī)則有序的兩翼蝴蝶形態(tài)，內(nèi)部卻無(wú)序而隨機(jī)的復(fù)雜的混沌過(guò)程。這恰巧與混沌擺展示的混沌現(xiàn)象不謀而合。

2 各行業(yè)中的混沌理論

除了氣象變化中存在混沌，股票市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)發(fā)展中也存在混沌現(xiàn)象。傳統(tǒng)金融學(xué)觀點(diǎn)認(rèn)為股票市場(chǎng)遵循有效市場(chǎng)和隨機(jī)變動(dòng)的規(guī)律。這2個(gè)因素使得收益率的概率近似于正態(tài)分布。然而，分形之父物理學(xué)家曼德勃羅研究發(fā)現(xiàn)收益曲線并不是正態(tài)分布，而是一種“穩(wěn)定帕累托分布”。穩(wěn)定帕累托分布是一種不連續(xù)的分形分布，用來(lái)描述財(cái)富在個(gè)人之間的分配情況，即20%的人占有80%的社會(huì)財(cái)富，而80%的人只占有剩下的20%.混沌理論正好可以解釋80/20法則。混沌理論的觀點(diǎn)認(rèn)為50/50的分配是極不穩(wěn)定的，就像蝴蝶效應(yīng)，微小的偏差將會(huì)很快被放大，最終離開(kāi)平衡狀態(tài)，導(dǎo)致向一邊傾斜。有錢人會(huì)越來(lái)越有錢，因?yàn)樯鐣?huì)財(cái)富會(huì)產(chǎn)生社會(huì)財(cái)富。但最終也不可能變成99/1這樣的分配，混沌理論中雖蘊(yùn)藏?zé)o序隨機(jī)，但也不是盲目的無(wú)序隨機(jī)，始終不能脫離其確定性。在財(cái)富分配中，如果出現(xiàn)99/1的情況，貧富差距特別巨大，社會(huì)必然出現(xiàn)動(dòng)蕩不安的情況，最終實(shí)現(xiàn)財(cái)富的重新分配。隨后有經(jīng)濟(jì)學(xué)家在貨幣指數(shù)中發(fā)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)混沌，并用數(shù)學(xué)方程描述了經(jīng)濟(jì)混沌，呈現(xiàn)出金融世界的非線性動(dòng)力學(xué)本質(zhì)。混沌理論中的混沌實(shí)際是一種紊亂現(xiàn)象背后蘊(yùn)藏著確定的邏輯，蘊(yùn)藏著一個(gè)可知的非線性。混沌經(jīng)濟(jì)學(xué)家們就是在努力找尋這種非線性關(guān)系。宏觀經(jīng)濟(jì)的混沌運(yùn)動(dòng)，與一般的混沌還存在不同之處，即混沌中疊加了一個(gè)周期的波動(dòng)，即經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)周期或金融危機(jī)周期。

生態(tài)繁衍也有混沌理論的影子。生兒育女，生老病死，生命的誕生和消亡，其內(nèi)部都蘊(yùn)藏著混沌理論。人口論簡(jiǎn)單的基本公式為：

Xn+1=（1+r）Xn=kXn.

式（1）中：Xn+1為第n+1代的人口數(shù)；Xn為第n代的人口數(shù)；r為人口增長(zhǎng)率。

有了這個(gè)公式，我們以某年的人口作為初始人口來(lái)迭代，便可以推算下一年的人口，以此類推。實(shí)際上，戰(zhàn)爭(zhēng)、瘟疫、饑荒等情況是伴隨著人口繁衍而同時(shí)發(fā)生的，必須在公式中加以考慮。因此，我們對(duì)它進(jìn)行修正，在式（1）右方減去一個(gè)平方修正項(xiàng)，變?yōu)椋?

Xn+1=kXn-（k/N）·（Xn）2.

也可寫成：

xn+1=kxn-k（xn）2=kxn（1-xn）.

負(fù)號(hào)表明各種不利影響導(dǎo)致下一代人口Xn+1的減少。這就是生態(tài)學(xué)著名的邏輯斯蒂方程。參數(shù)k的數(shù)值大小決定了混沌的出現(xiàn)與不出現(xiàn)。當(dāng)k較小時(shí)，混沌并不出現(xiàn)；當(dāng)k大到一定數(shù)值時(shí)，混沌才出現(xiàn)。具體如圖3所示。

3 哲學(xué)思想中也蘊(yùn)含著混沌理論

中國(guó)傳統(tǒng)文化的哲學(xué)思想中也蘊(yùn)含著混沌理論。邏輯斯蒂分岔圖描述的是生態(tài)繁衍，如果最后的群體數(shù)趨向一個(gè)固定值，叫作周期1；如果最后群體數(shù)在2個(gè)固定值之間變來(lái)變?nèi)ィ凶髦芷?；如果最后群體數(shù)在3個(gè)值之間跳動(dòng)，就叫周期3.群體繁殖的周期數(shù)目逐漸增多，最后導(dǎo)致奇異現(xiàn)象出現(xiàn)。有科學(xué)家證明，如果一個(gè)連續(xù)函數(shù)有一個(gè)周期為3的點(diǎn)，這個(gè)函數(shù)的長(zhǎng)期行為將十分奇特，就像洛倫茨發(fā)現(xiàn)的奇異吸引子那樣，最終會(huì)走向混沌。老子在《道德經(jīng)》中寫道：“道生一，一生二，二生三，三生萬(wàn)物。”這是對(duì)宇宙起源的探索和認(rèn)識(shí)，有物混成，先天地生。周期3即混沌，這也很好地驗(yàn)證了老子說(shuō)的“三生萬(wàn)物”。為何不是二生三，三生四，而是三生萬(wàn)物，說(shuō)明到三后事情就變化了，這個(gè)“三”似乎是線性到非線性的轉(zhuǎn)折點(diǎn)。“事不過(guò)三”“三人成虎”“三陽(yáng)開(kāi)泰”“三人行必有吾師”等都與“三”有關(guān)。《周易》記載，盤古開(kāi)天辟地，混沌初分。《莊子·應(yīng)帝王》記載，南海之帝為倏，北海之帝為忽，中央之帝為混沌。幾千年前的中國(guó)哲人就已經(jīng)使用“混沌”一詞，并將“三”和混沌相聯(lián)系。

4 結(jié)束語(yǔ)

混沌理論無(wú)處不在，它藏于我們工作、生活的方方面面。有些已經(jīng)為我們所用，但我們?nèi)匀恍枰眯娜ヌ剿髋c追尋，也許你就是下一個(gè)洛倫茨，下一個(gè)龐加萊。對(duì)混沌理論的研究從未停止，我們一直在路上。

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