石墨烯中的量子輸運性能簡析

趙珊

摘 要：石墨烯作為目前發現的最薄、導電導熱性能最強、結構強度最大的新型納米材料已經廣泛應用于各個領域，其中，最有潛力的應用則是成為硅的替代品。所以，對石墨烯中量子輸運性能分析與建模已經成為當今的研究熱點。文章采用從相對論流體磁動流體力學出發，結合Boltzmann方程（BTE）推出石墨烯的流體力學方程，引入剪切粘度與雷諾數（Reynolds number）作為石墨烯輸運性能分析指標，表明了石墨烯作為納米材料的優異性能。

關鍵詞：石墨烯；量子輸運；流體力學方程；剪切粘

石墨烯由于其準粒子的無質量相對分散特性和高遷移率吸引了各界關注，并且它還顯示出了一系列優異的性質，如：超高的導電率[1]；剪切粘度與熵之比超低[2]；不僅有特殊的結構強度，而且結合了力學靈活性[3]和光透明度[4]。最近的研究顯示石墨烯提供了一種特有方式，去觀察在適度的高溫下，極端相對論粒子的等離子體輸運特性[5]。如將純石墨烯設在一個特定的參數空間，則其費米表面收縮至兩點，且在許多其他方面的表現，也與接近更復雜量子臨界點的系統非常相似[6]。由于石墨烯的無質量狄拉克（Dirac）粒子，其相對極端夸克-膠子等離子體性質也很特別。通過對這些性質的分析和計算可以推導出其流體力學方程。

1 性能介紹

剪切粘度η用來測量流體阻值，從而建立橫向速度梯度，見圖1，粘度越小則其流體力學越趨于復雜。類似于導體的電阻率，粘度通過降低速度場中的多相性而引出熵增率。雖然η=0的理想流體不存在，但能找到非常接近于理想流體的完美的流體。

（b）在一個分源點和漏極點保持在±V/2的四點幾何形中，不均勻電流的預期分布。當沒有粘性和其他非局域效應時，電流將與外加電壓V成比例，與兩點之間的距離L無關，而粘性效應隨著L減小而減小。

粘度的單位為？捩n，其中，n表示密度。為了量化剪切密度的大小，通常將η/？捩與熱激勵nth比較，nth可以通過熵密度計算，s～kBnth。受石墨烯在RHIC實驗[7]中優異性能的啟發，Kovtun等人提出廣泛系統中η與s之比的下限[8]：

由于在無碰撞的光學區間？捩ω>>kBT[12]內，電子間相互作用對導電性σ（ω，Τ）的影響非常小，而在相反區間？捩ω<

石墨烯中，當能量低于幾個電子伏，其電子特性則如Hamiltonian所示：

其中，費米速度υF≈108cm/s， 為動量算子，l=1，…，N為N=4自旋和谷自由度的下標，σ（σx，σy）為Pauli矩陣在蜂巢晶格結構兩個底晶格空間的表示。如果沒有庫倫相互作用，公式（2）則變成自由無質量狄拉克粒子的N類Hamiltonian[14]。

2 流體力學方程推導

接下來討論在存在庫倫相互作用的相對論流體磁動流體力學，在流體力學模型中的響應函數適用于在狄拉克點附近的石墨烯[17]。特征速度υF≠c決定了相對分散，在流體中的（反）粒子的電荷為±e。下面采用υF=e=？捩=1為單位。

由于庫倫作用傳播速度約為光速c>>υF，所以可認為它是瞬時的，則很顯然通過將實驗框架設為一個特定的參照系，打破了流體的相對不變性。

上述表達式包含了耗散項νμ，？子μν用來計算熱電流和粘性力，P代表壓強，ρ代表電荷密度。若無粘性項，則在流體元在類空間入口的壓力以及在類時間入口的能量密度這樣的靜止參考系中，應力能量張量為一個對角矩陣。坐標系中各分量為：

T00=ε，（5）

其中，ε，P，ρ為局域化學勢μ（r）的函數，ε表示能量密度，局域溫度T（r），磁場為B，μ（r）包含了由不均勻的電荷分布而引起的庫倫勢。

電荷、能量及動量守恒如下：

其中，電磁場張量，

包含一個由于系統本身的不均衡電荷密度而自發產生的空間變化場：

其中，式（14）中已將統一的本底電荷密度減去。

在坐標系中線性守恒定律則明確表示為：

此外，包含了一個由于微弱雜質散射而產生的弛豫時間τ。電流的本構方程如下：

基于上述推導出的流體力學方程以及石墨烯中電子的量子BTE，分析出了傳輸系數——流體剪切粘度[18]，也即下述模型中的輸入參數。當電子-電子間相互作用主導無彈性散射率時，即低雜質、高溫且穩定場情況下，流體力學方法就能有效應用于石墨烯[19]。為了忽略電子-聲子間作用，選擇在100K左右的合適高溫區間[20]。無磁場時，即B=0，準粒子分布函數為f，由BTE，則：

其中，-Ω[f]表示考慮電子-電子間相互作用的碰撞項，

則式（17）、（18）、（19）、（20）可推導為：

其中，式（23）為電荷守恒，式（24）為能量密度守恒，式（25）為動量守恒，ρr≡（ε+P）/υF2。

3 性能分析

對于純石墨烯（μ=0），電荷密度由于熱能而存在，則可寫成，

然而，當石墨烯摻雜時，雜質會使石墨烯樣品產生電位，此時，則必須要考慮由于化學勢產生的修正，

其中，Φρ為無量綱遞增函數。

式（25）中的剪切密度η可由下述方程計算：

其中，Cη～Ο（1）為一個數值系數。熵密度可由Gibbs-Duhem關系ε+P=Ts計算，此等式是在|■|<υF的假設下推導出來的，因此相對修正項∝？墜P/？墜t可忽略，而恢復為經典的Navier-Stokes方程。所以，盡管電子速度很快，|■|～0.1υF，但由于樣品的納米級尺寸和石墨烯中電子流的高剪切密度，雷諾數依然穩定。

基于式（25），線性尺寸為L0的石墨烯樣品其動態粘度由式（28）給出，此等式可寫成以下形式：

其中，引入特征頻率ωf=υF/L0，通過解合適的量子BTE，得Cη？勰0.45[21]。式（29）也可以寫成η=Cηqf-2 ？捩/L02，qf≡？捩ωf/（kBT）。由此，為了應用經典電子流體力學描述，激勵能量必須遠低于熱能，即qf<<1，也是所謂的碰撞主導模式。拿一組特定參數，υF=106，L0=10-6，T=100K，η/s～0.2？捩/kB，則得到η～10-20。因雷諾數由流體的動力粘度，而非動態粘度所決定，則就不涉及質量密度，這有利于估算石墨烯中電子流體的動力粘度。

為了達到這個目的，鑒于式（25），定義雷諾數為：

其中，ν0=υFL0。通過將雷諾數寫成Re=υ0L0/ν，與上述方法類似，可得到：

利用η/s=0.2？捩/kB3，qf？勰0.07，則得到ν？勰10-2。盡管石墨烯動態粘度極低，但石墨烯的動力粘度依然大約比水的動力粘度大四個數量級。這四個數量級的差距是由于電子的高速而產生的，也即電子的高速是雷諾數產生高值的最終決定因素。

4 結束語

在本文中，忽略了電子-雜質及電子-聲子的相互作用，僅基于對石墨烯中的電子流體力學方程描述，對其剪切粘度、動力粘度、動態粘度及雷諾數進行了探討，表明石墨烯具有低剪切粘度與熵密度之比、高動力粘度以及低動態粘度。而通過對石墨烯動力粘度的分析，可以看出，在微米級的比例下，雷諾數可以在石墨烯樣品中實現高值。在后續的研究工作中，還將對電子-聲子、電子-雜質和聲子-聲子建模及量子輸運性能分析。

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