論類比在中職數學教學中的作用

胡瑩

一、引言

在2009年版的《中等職業學校數學教學大綱》中提到的技能與能力培養要求中，對數學思維能力的培養是這樣要求的：“依據所學的數學知識，運用類比、歸納、綜合等方法，對數學及其應用問題能進行有條理的思考、判斷、推理和求解；針對不同的問題（或需求），會選擇合適的模型（模式）。” 大綱要求中職學生要掌握類比的思想方法，在解決數學及相關問題時，能夠做出理性的思考、合理的判斷以及正確的求解。教師可以在平時的教學中充分利用各種條件加強學生在類比思維方面的訓練。

類比作為數學方法中較為常見的一種思維方法，對中職數學教學的有效展開起著重要作用。其在概念學習、解題方法、運算法則和定理教學諸方面都起著積極的作用。為了幫助學生在學習數學的過程中能夠熟練掌握并運用類比方法，教師在整個課堂教學演示過程中應該由淺入深、舉一反三地為學生示范類比方法的運用，以開發學生思維的創造力。

二、類比的概念

1.定義

類比，就是根據兩個對象在屬性上的相同或相似，而推斷它們在特征上的相同或相似的一種推理形式。類比，實際上具有一定程度上的主觀性，故也被認為是一種不充分的似真推理。要確定其主觀性的正確性，就必須以邏輯論證的清晰性來確認。簡單來說，類比就是從特殊推到特殊。類比推理的基本原理可以通過下列表達式闡釋其內涵： A有a、b、c三屬性，也有d屬性；B有a、b、c三屬性，所以，B也有d屬性。這個結論并不是必然的。因為上述推論只是聯想，如果想證明這個結論的正確性，就需要驗證過程。經過檢驗確實無疑后，上述結論即為成立。如果不能完成證明過程，就不能確認上述結果成立。但是無論何種情況，都可以算是類比推理過程的完成。

通過上述內容，我們可以發現學生在利用類比方法的過程中，可以提高自身學習能力。因此，類比是需要學生在掌握原有的知識結構下去尋找新知識與舊知識的聯系，利用舊知識解決新問題。只要堅持這個過程，學生就會養成運用類比的習慣，這對學生的后續學習大有裨益。

2.與其它推理方法的差異

作為思維方法的類比，意在對比發現不同對象、不同領域在屬性上的相同或相似，而推斷它們在特征上的相同或相似。由于它是從一個個別的對象、領域推論到另一個個別的對象、領域，故既與從普遍到特殊的演繹推理不同，也從特殊到普遍的歸納推理不同。由于教學本身的特點，在概念的推導過程中，以及平常的解題教學中，用演繹推理和歸納推理較多，而常常忽視了類比推理的運用。因此，類比推理運用的知識跨度往往很大，學生不一定能夠很好地找到類比的對象，這就需要教師尋找類比源，然后在教學過程中滲透類比的思維方法。

三、類比的分類

在使用類比時，最關鍵的是要確定一個恰當的參照對象。依據確立參照對象的角度，類比可以大致分為三種類別：降維類比、結構類比、簡化類比。

所謂降維類比，就是將對象從高維度降到低維度層面進行比較。例如，在講解立體幾何圖形的一系列相關定理的證明時，就可以將對象從二維空間降到一維平面層面上來比較說明。

所謂結構類比，就是從對象的結構上來尋找參照對象而進行比較。例如，在講解三角函數的性質時，由于已經講解了f（x）=sinx的圖象及其性質的諸方面內容，當講解f（x）=cosx時，就可以通過誘導公式，將其與f（x）=sinx進行類比而獲得余弦函數的圖象及性質。

所謂簡化類比，就是將對象與比其更簡化簡單的對象進行比較。例如，在講解求長方體對角線長度時，由于已經講解了長方形對角線長度的求解方法，這時就可以將長方體的對角線問題簡化為長方形對角線問題來講解，從而令學生更容易理解接受。

四、類比法的作用

1.培養學生知識遷移能力

在數學學習過程中，各個知識點之間或直接或間接地有著各種聯系。只有學生掌握各個知識點間的聯系，學生才能建構自己的知識體系，在解題過程中才能激發多種想象和靈感，建立知識間的聯系，才能有效應對學習中的各種問題。知識遷移能力對學生學習數學尤為重要。而類比教學可以逐步開發學生在知識遷移方面的思維能力。類比教學利用學生的已有知識學習新知。

在數學教學中，如果教師有意識地引導學生進行類比思維的訓練，學生就會主動利用熟悉的知識不斷進行類比聯想，建立知識間的有效聯系，不斷激活思維，遷移能力得以提升。類比教學講究同中有異，學生進行類比學習需要大膽創新，學生會從同中找不同，掌握全新的方法，不斷解決問題，創造性思維得到，進而提升探究未知領域的能力。

2.培養學生運用基礎知識的能力

數學學習的一個關鍵點在于如何培養學生對數學知識和習題的分析能力，能夠提高學生對習題的辨識度，在遇見習題的時候，能夠充分利用類比來分析新知識和遇見的新題型。例如，在學習等差數列的過程中，會用倒序相加法，運用公差和通項公式推導求和公式，那么在學習等比數列的時候，就可以讓學生利用類比，推算出等比數列的求和公式。

3.培養學生學習的積極性

在數學教學中，許多學生對數學學習并不感興趣，因為他們感到數學學習很有難度，而類比教學是引導學生基于已有的知識基礎，學生對自己熟悉的事物極為感興趣，類比教學能夠帶給學生那種熟悉感，學生也更積極追求新知。在新知學習中，完全可以憑著自身努力習得知識，如此一來，學生學習數學的興趣就可以得到極大提升，在此基礎上，學生可以不斷地掌握新知，探索數學規律，不斷地積淀自己的知識，學生的數學基礎可以為日后的數學教學奠定堅實的基礎。

例如，在高中數學中，有指數函數的定義域和值域，在確定了指數函數的值域和定義域之后，再學習對數函數時，就可以利用類比演示出：對數函數的值域和定義域與指數函數是相對的，這能夠讓學生更加注重知識學習中的細節之處，也可以讓學生更易理解對數函數。

五、類比的應用

1.數學概念的類比

中職數學教學涉及到很多數學概念，需要學生花大量時間去理解不同的數學概念。因此，為了減輕學生的記憶負擔和加深概念的理解程度，教師在進行教學時可以通過類比教學法提升學生對數學概念的把握程度。

例如，在講等比數列的概念時，我們可以讓學生先復習等差數列的概念，然后類比等差數列的特點，得出等比數列的概念。在對這兩個概念進行記憶時，也可以讓學生借助類比的方法進行記憶，這樣學生只要記住一個概念就能聯想到另一個。

再如，對球的概念進行教學時，教師可以引入圓的概念與之進行類比教學，使學生有效地理解并掌握球的概念。首先，教師可以引導學生回憶圓的概念：“平面內到定點的距離等于定長的點的軌跡是圓。其中，定點是圓心，而定長是半徑。”然后，教師引出球的概念，“到定點的距離等于或小于定長的點的軌跡叫做球體，定點叫球心，定長叫做球的半徑。”球體的概念有一定的抽象性，學生在頭腦中難以有效建立起球體的形象認知，難以有效理解球的概念。學生借助圓的概念來學習和理解球的概念時，就可以達到較好的教學效果。操作過程如下：在進行兩個概念的類比時，教師可以引導學生設想“如果我們將概念中的‘平面換成‘空間會得到什么結果呢？” 這樣，學生會進行不斷的聯想，并尋找兩者之間的聯系，他們不斷討論，概念學習的積極性很強。在學生充分聯想的過程中，他們可以有效地掌握球的概念。因此，在數學教學中，教師可以引導學生進行類比學習，從而激發學生的學習興趣，使學生能夠建立自己的知識體系。

2.解題方法上的類比

波利亞指出：“選出一個類似的，較易的問題，去解決問題，以便日后成為一個模式。然后，利用剛剛建立的模式，以解決原有的問題。這種方法看來似乎是一個迂回繞圈子的過程，但在數學或數學以外的科學研究中是十分普遍的。”波利亞所指的就是用類比的方法來解題。我們在課堂教學時，也應借助于學生熟悉的知識或以前做過的題目，用類比的方式，找到要解決問題的方法。

例如，求cos75°的值。前面學習了求sin75°=sin（30°+45°）=sin30° ·cos45°+cos30°·sin45°， 那么在解決求cos75°這個問題時，就可以讓學生運用類比借助于兩角和的正弦公式的解法解決這一問題。對于這樣簡單的類比，學生自然而然地就會想到問題的答案。

3.在數學運算法則、定理教學中的類比

平面向量的運算法則可以利用含字母的類比運算法則來進行。又如，在講空間兩個平面平行的定理時，α∥β，β∥γ=>α∥γ，我們就可以類比平面幾何中的兩條直線平行的定理：a∥b，b∥c =>a∥c。運用平面幾何中兩直線平行的傳遞性，類比推出空間平面的平行定理。

六、結語

總之，在學習中，類比是有效地發現、分析、解決問題的思維方法。在實際的教學過程中，類比相對于嚴密的邏輯推證更容易取得顯著效果。需要注意的是，在用類比來探究新概念、新規律時，一定不能忽視二者之間的差別。教師在課堂教學中一定要恰當使用類比教學法，以幫助學生理解和掌握這一思維方法。這不僅有利于學生有效積累具體的知識要點，還有利于其深層次思維創造潛力的發掘和培育。

責任編輯 何麗華