任意波形廣義失真度研究

李翔

摘 要：文章針對任意波形的質量評價問題，提出了一種以內積空間概念及性質為理論基礎的廣義失真度定義。該定義不僅與傳統的正弦波失真度定義完全相容，且與光譜分析中的夾角余弦法以及交流輸配電系統中的功率因數理論存在著密切聯系。對正弦波、方波和三角波之間的廣義失真度進行了數值仿真，實際測算結果與經典失真度相符。

關鍵詞：任意波形；失真度；內積空間

1 概述

全諧波失真（total harmonic distortion，THD）是用于衡量正弦信號波形質量的重要指標。這一指標物理意義清晰且測量手段成熟，因而被廣泛用于放大器、信號源、交流供配電系統等的質量評價。然而，THD的定義僅針對正弦波。

本文從平方可積周期函數構成的內積空間及其性質出發，定義了任意波形的廣義失真度并進行了探討。分析表明，該廣義失真度定義與傳統THD定義完全相容，可應用于各種信號檢測及波形分析領域。

2 經典失真度定義及其推廣

2.1 正弦波失真度定義與測量

全諧波失真（THD）這一概念是指某一周期信號相對于同頻率正弦信號的失真，其定義為：該周期信號所含全體諧波分量的總有效值與基波有效值之比。若設被測信號f（t）的第k次諧波振幅為Ak（基波對應k=1，直流分量對應k=0），則全諧波失真可由式（1）計算：

從能量角度看，式（1）定義的失真度等于全體諧波總能量與基波能量之比。根據Parseval定理，任一平方可積信號在時域的總能量應等于其在頻域的總能量。因此，式（1）所定義的失真度可從頻域和時域兩方面加以理解和測量[1]。

在頻域中，式（1）中的Ak與周期信號的傅里葉級數展開相對應。實際測量中，通常得到的是被測信號的離散采樣序列而非連續波形，此時可通過離散傅里葉變換（DFT）及其快速算法（FFT）求解Ak。在此基礎上計算失真度γ的方法，即為失真度測量的頻域方法（FFT法）[2-3]。

另一方面，在時域中，對于周期為T=2π/ω的信號f（t），若記其基波為f1（t），則有

即式（1）中全體諧波的總有效值可由時域波形剔除基波后直接平方積分得到，而基波f1（t）也可通過對時域波形作最小二乘擬合而求得。由此得到失真度測量的時域方法，即曲線擬合法[4-5]。

2.2 非正弦周期波形失真度

由上文所述可知，THD這一概念的實質是將被測信號人為分解成兩部分，即基波分量和去除基波后的剩余分量，前者可視為所需的“目標波形”，而后者則是被測信號波形相對于目標波形的偏差。這一思路可推廣到非正弦周期信號的波形質量評價。

仍記被測信號波形為f（t），目標波形為g（t），二者周期均為T=2π/ω。按上述思路，設法將f（t）分解為兩部分：一部分是與g（t）具有相同形態的成分，另一部分則是f（t）相對于g（t）的偏差，兩者之比即可作為被測波形質量的描述。文獻[6]-[8]采用波形擬合及相應的殘差來計算任意周期波形在離散條件下的總失真度，其評價過程分為三步。第一步是計算被測波形f（t）與目標波形g（t）的相關函數

式（3）中0≤τ

第二步是利用最小二乘擬合，求出被測波形f（t）中與g（t-τ0）具有相同形態的分量，并得到f（t）相對于g（t-τ0）的殘差。

第三步是計算上一步得到的f（t）兩部分波形各自的有效值（均方值），分別記為fr與ρ，則最終得到總失真度γM=ρ/fr。

以上所述任意周期波形失真度定義旨在以目標波形g（t）為“模板”，從被測波形f（t）中提取與之形態一致的成分，并使剩余的均方誤差達到最小，亦即γM的定義是一種基于最佳均方逼近的定義。這一定義從計量角度來說是明確、合理的，但其數學和物理意義尚有待進一步闡釋，且在實際應用中采用最小二乘擬合的計算量較大，這在一定程度上阻礙了該定義的運用。

以下，本文從內積空間的概念及性質出發，對任意周期波形的失真度定義進行了分析與詮釋。

3 任意波形的廣義失真度

3.1 基于內積的廣義失真度

對于周期為T=2π/ω且在閉區間[0， T]上平方可積的兩個實信號f（t）與g（t），定義二者的內積為

則所有周期為T且在閉區間[0， T]上平方可積的實信號構成一個完備的實內積空間（實Hilbert空間）。實際的信號總是能量有限（因而平方可積）的，因此任一周期信號f（t）均為上述內積空間中的一個向量，用粗黑體f表示。由式（4）誘導的f（t）的范數為

另一方面，上節中計算相關函數的式（3）實際上也是一個內積，若以gτ表示g（t-τ），則式（3）變為

仍記|R（τ）|取得最大值時對應的τ=τ0，將f（t）向目標波形g（t-τ0）作投影，該投影為

從f（t）中減去式（7）給出的投影分量，就得到f（t）與g（t-τ0）正交的分量：

投影分量fproj代表f（t）中與目標波形g（t-τ0）形態相同的部分，而正交分量forth則可描述f（t）相對于g（t-τ0）的偏離。因此，forth與fproj的范數之比可用于評價f（t）相對于目標波形g（t-τ0）的失真度，不妨稱之為 “廣義失真度”，記為γG。其定義式為

3.2 廣義失真度的性質

3.2.1 正交性

容易驗證，廣義失真度定義中出現的forth與fproj是被測信號f（t）在上文所述內積空間中的一個正交分解：

3.2.2 對稱性

注意到內積空間中可定義任意兩向量間的“夾角”，若記f（t）與g（t-τ0）之間的“夾角”為θ，則有

因此有

故知，對于任意兩個周期為T=2π/ω且在閉區間[0， T]上平方可積的實信號f（t）與g（t），本文定義的廣義失真度γG具有對稱性。即f（t）相對于g（t）的廣義失真度等于g（t），相對于f（t）的廣義失真度。

3.2.3 相容性

對于任一周期為T=2π/ω的實信號f（t），易知其相對于cosωT的投影分量fproj正是其基波分量，而正交分量forth則為全體諧波之和。因此，當目標波形為正弦波時，本文定義的廣義失真度γG就是全諧波失真（THD），亦即γG的定義與THD的定義是相容的。

另一方面，在所有形如k·g（t-τ0）的信號（k為任意非零實數，亦即與目標波形g（t-τ0）形態一致的信號）中。當且僅當k=R（τ0）時，||f（t）- k·g（t-τ0）||取得最小值。此時，k·g（t-τ0）正是f（t）在g（t-τ0）上的投影分量 fproj。換言之，本文定義的廣義失真度γG與文獻[6]-[8]中從最佳均方逼近的角度定義的任意周期波形總失真度γM是相容的。

必須指出，文獻[6]-[8]對任意周期波形總失真度γM的定義中有意剔除了f（t）與g（t）的直流分量，因此其定義實質上只適合于分析純交流信號。

3.3 離散條件下的廣義失真度

在實際應用場合，被測波形f（t）通常是離散的采樣序列，而目標波形g（t）可能是分段連續函數，也可能為離散序列。

第一種情形：若被測波形為離散序列x[n]而目標波形為分段連續函數g（t），設x[n]對應的采樣周期為Ts=T/N（即每個周期T內包含N個采樣點），則式（4）中的積分對x[n]改為求和即可：

第二種情形：被測波形為離散序列x[n]，目標波形亦為離散序列y[n]，則式（4）中的積分同樣改為求和：

如此，廣義失真度γG的定義在離散條件下仍然有效，且積分變為求和后更便于計算。但需注意，離散情形下，采樣周期Ts與信號周期T之比可能不是整數。此時，將式（4）的積分變為式（13）的求和會造成誤差。為消除此種誤差，設T/Ts=NF，而N=[NF]為NF的整數部分，則式（13）應改為

式（14）亦可作類似修正。

綜上所述，本文定義的廣義失真度γG可用于離散情形。

3.4 非周期情形的廣義失真度

從數學角度而言，式（4）定義的內積和式（5）定義的范數并不要求f（t）與g（t）具有周期性，因此本文定義的廣義失真度γG亦適用于非周期波形。此時，閉區間[0，T]可改為任意感興趣的區間。因此，廣義失真度γG原則上可用于對任意波形局部特征的比對和檢測。

3.5 與廣義失真度相關的概念及應用

式（12）表明，廣義失真度γG與內積空間中兩向量的夾角有關。而在光譜（包括紫外、紅外、拉曼、熒光等）分析中，“夾角余弦法”是一種常用的判斷光譜相似度的方法[9-10]。實際上，式（11）給出的cosθ反映的是f（t）與g（t）的相似度，而本文定義的γG=|tanθ|則可用于衡量f（t）與g（t）的差異。

另一方面，若以單相交流供電的電壓波形u（t）作為式（4）中的目標波形g（t），而以電流波形i（t）為f（t），則式（4）給出的內積即等于[0，T]時間段內負載的平均功率（有功功率），而式（5）定義的范數則對應電壓、電流的有效值。

進一步地，若不計算u（t）與i（t）的相對延時，而是直接計算i（t）相對于u（t）的投影分量iproj與正交分量iorth，則顯然有

故iproj與iorth分別是電流i（t）的“有功分量”與“無功分量”。這一正交分解與著名的Fryze功率理論以及基于周期函數空間的“通用功率”理論[11-12]相一致。然而，正如3.4節所述，本文對廣義失真度的定義并不局限于周期波形，因而有助于將有功功率、無功功率的計算與測量推廣到非周期情形。

4 仿真算例

對于正弦波、方波和三角波這三種常見波形，按本文定義的廣義失真度，可計算出三者之間的失真度理論值，如表1所示。

假定采樣率為250ksps，采樣分辨率為12bit，信號頻率范圍10～70kHz，失真度仿真結果如表2所示。由表2可見，對1kHz以下的信號，失真度測量結果與信號頻率基本無關，不存在FFT法固有的柵欄效應及頻譜泄漏等缺點；而當信號頻率為1kHz及以上時，失真度測量結果開始出現大于0.01%的絕對誤差。

仍設采樣率250ksps，信號頻率固定為1kHz，不同采樣分辨率下的失真度仿真結果如表3所示。由表3可知，若要使量化誤差引起的失真度絕對誤差小于0.01%，則采樣分辨率應達到10bit以上。

接下來仍取采樣率為250ksps，分辨率12bit，信號頻率1kHz。當被測波形與目標波形的相對延時τ0存在誤差時，失真度仿真結果如表4所示。由表4可見，當相對延時τ0的誤差小于采樣周期時，對失真度測量結果基本無影響。

5 結束語

本文借助內積空間的相關概念及理論，將正弦信號的失真度概念推廣到任意波形，提出了廣義失真度的定義并進行了理論分析與數值仿真。廣義失真度的概念及其相關理論不僅有助于正弦波失真度測量技術的進一步發展，也為任意波形間的比對、鑒別和評價提供了新的視角與途徑。廣義失真度與譜分析、功率因數計算與補償等密切相關，其更多的應用還有待于今后不斷地發掘與拓展。

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