基于分塊壓縮感知圖像重構算法研究

黃寒冰

摘 要：近年來，壓縮感知作為一種新型的信息獲取與壓縮框架，被廣泛用于圖像的編解碼。其中分塊壓縮感知作為一種有效的編解碼框架，得到了國內外廣泛的關注。該框架首先對圖像進行分塊處理，依次對每個分塊進行采樣和壓縮傳輸。在其解碼端依次對每個分塊進行重構，最后將分塊重組成完整的圖像。這一框架能有效降低編碼的復雜度，減少內存的開銷；并使得解碼端圖像重構的速度得到顯著提高，保證傳輸的實時性。然而，采用塊處理的方式會降低圖像的重構質量。針對這一問題，文章對其閾值迭代重構算法進行了研究，采用自適應硬閾值方案，保留圖像更多的細節信息，從而提高圖像重構質量，并通過仿真實驗驗證了方案的可行性。

關鍵詞：分塊壓縮感知；重構算法；閾值迭代

Abstract： Recent years， compressed sensing as a novel information acquisition and compression framework has been widely exploited into image compression codec. Whereby， Block Compressed Sensing is considered as an efficient framework having received widespread attention. In the framework， firstly， the image is blocked， and the blocks are sampled and compression transmitted by using the traditional compression sensing mode. The decoder successively reconstructs each blocks， and finally recombines blocks into a complete image. This framework can reduce the complexity of coding and overhead of memory efficiently， and improves the speed of decoding so that the real-time transmission of image is guaranteed. However， the quality of reconstruction would be reduced by the way of block processing. In this paper， we introduce the principle and framework of block compression sensing， and study the corresponding iterative threshold reconstruction algorithm. As a result， the soft threshold scheme is used to preserve more details of image， so as to improve the quality of reconstruction. Finally， the feasibility is verified by simulation results.

Keywords： Block compressed sensing； Reconstruction algorithm； Threshold iteration

1 概述

在傳統數字圖像系統中，圖像通過JPEG[1]或JPEG2000[2]圖像編碼器對數字圖像進行編碼，從而使圖像信號能夠得到有效的壓縮和存儲。然而，這類編碼器的運算復雜度高，不適合應用于低功率、低像素的圖像設備。

近年來，一種新型的采樣方案壓縮感知理論被提出。壓縮感知理論[3]中證明，若信號存在稀疏表示，那么就可以通過一個與變換基不相關的測量矩陣對信號進行稀疏采樣，獲得的觀測信號就是原信號的壓縮形式。

但是在實際應用中，若對圖像進行整體的觀測壓縮，那么在解碼端計算復雜度會隨著圖像尺寸的增大呈幾何倍數增加，導致解碼速度緩慢。Lu Can[4]受到JPEG分塊結構的啟發，提出了分塊壓縮感知框架。編碼端不再需要大尺寸的觀測矩陣，在減小了編碼端的內存開銷的同時，提高了處理的實時性，同時對于解碼端的處理，因為觀測尺寸減少、重構復雜度下降，加快了重構速度。

2 壓縮感知概述

壓縮感知原理：

壓縮感知是近年來被提出的新型信號采樣理論，該理論的兩大特點是不受限于奈奎斯特采樣速率，以及在采樣的同時，對信號進行壓縮。在2004年，Donoho、tao[3]等人證明了，只要一個信號在某個變換域中存在稀疏表示，那么就可以對信號進行降維采樣，而采樣得到的信號包含原始信號的全部信息。

假設有一個 維信號x∈RN×1，若x是稀疏的，不同于傳統的采樣，壓縮感知理論對信號進行線性測量：

y=？椎x （1）

這里y∈RM×1，？椎稱為測量矩陣，維度為M×N。

然而通過壓縮感知得到的信號y是M維的，已知測量矩陣是M×N維的，如果希望通過求解線性方程對信號進行重構是不可能的。但是由于這里的？茲是K稀疏的，即可以將原問題的求解轉換為求解x在字典？追的最稀疏表示，即：

3 分塊壓縮感知

3.1 編碼端結構

考慮有一幅Lr×Lc的圖像，其像素為N=Lr×Lc。在分塊CS中，圖像被分為B×B的塊，令xi代表第i個塊的向量表示，CS的采樣輸出可以表示為：

這里的？椎B為一個mB×B2的矩陣，mB=■，M為測量數。為了滿足RIP條件，這里？椎B為正交化的i.i.d高斯隨機矩陣。對整幅圖像而言，原式（1）的？椎等價于如下的塊對角化矩陣：

由此可知，若對？椎B的采樣率進行調整，就能夠改變整體系統的采樣率，這為硬件設計提供了便利。同時，不同塊大小的也會給圖像重構帶來不同的影響。若塊過小，雖然可以減少重構的復雜度、加快重構速度，但同樣也降低了質量。

3.2 解碼端結構

在文獻[4]中指出，分塊壓縮感知的重構效果之所以隨著塊尺寸減小而下降，是因為隨著分塊的數量變多，重構的塊效應的影響也就越大。所以該文獻提出了基于分塊壓縮感知的迭代硬閾值重構方案，在提高運算速度的前提下，消除塊效應，提高圖像的重構質量。

第一步是對每次迭代得到重構圖像去塊效應，這里采用維納濾波進行平滑處理。第二步是將上一步得到圖像進行域變換，通過硬閾值操作保留最大的K個系數，其余設為零，再進行反變換恢復圖像，這樣做的意義是去除重構帶來的高斯噪聲。

3.3 算法改進

上述算法忽略了由于硬閾值操作丟失了部分的細節信息，導致了圖像質量的下降。通過改進現有的閾值操作，提高了圖像的重構質量。

對閾值處理的改進：

自適應硬閾值方案[5]與硬閾值方案最大的區別在于，自適應硬閾值則是通過設定一個門限值。若系數大于該門限值則保留，反之舍棄。通過該方案的優勢在于，該門限值的設定是參考了全體的系數，能夠根據系數的分布情況，保留能量占多數的系數。對于能量分散的圖像保留的系數將增加，對于能量集中的圖像保留的系數也會相應減少。以下是自適應硬閾值的函數表示：

這里的？子（i）代表第i次迭代閾值函數的門限值，其計算公式如式（6）：

這里的？姿是控制收斂速度的常數因子，K代表變換系數的個數，而？滓（i）在文獻中指出是通過中值估計得到的：

改進之后的重構算法如表1所示：

4 仿真結果

為了評估上述壓縮感知重構方案，采用matlab搭建平臺進行仿真驗證。

這里采用離散傅立葉基作為變換域的基，首先比較在0.3采樣率的情況下，對lenna圖的恢復。由于lenna圖存在大量的細節信息，采用自適應硬閾值可以保留更多的細節信息，可以直觀地體現出其優勢。

圖1（a）為自適應硬閾值重構lenna部分圖像，圖1（b）為硬閾值重構lenna部分圖像，從帽子的細節可以看出，自適應硬閾值的表現力更強，還原度更高，而硬閾值重構的圖像在羽毛部分存在大量的模糊。所以從視覺的角度考慮，自適應硬閾值更符合人的觀察習慣。

從仿真曲線來看，不論是高采樣率還是低采樣率，自適應硬閾值方案的重構質量都高于硬閾值方案。尤其是在低采樣率的情況下，自適應硬閾值方案能夠保留更多的細節信息，使其重構質量得到明顯的提升。

最后，為了驗證方案的普適性，加入更多的圖像對兩種閾值方案進行比較。

從最后的仿真結果可以發現，在多數情況下，自適應硬閾值的重構質量都優于硬閾值。尤其是在低采樣率的情況下，自適應硬閾值的優勢更加明顯。由此可以得出結論，自適應硬閾值方案更加適合分塊壓縮感知的重構框架。

5 結束語

本文主要介紹了分塊壓縮感知框架，討論了該框架應用于圖像壓縮的優缺點以及如何去除塊效應帶來的重構噪聲，并對重構算法中的閾值函數進行了改進。最后，通過與硬閾值函數的對比，發現自適應硬閾值算法適合更多場景的重構。雖然壓縮感知圖像編解碼的效率依然不及傳統的圖像編解碼框架，但相信在未來，基于壓縮感知的低編碼復雜度的圖像或視頻框架將得到廣泛的應用。

參考文獻

[1]Digital Compression and Coding of Continuous-tone Still Image-Part 1：Requirements and guidelines ISO/IEC 10918-1， JPEG Coding Standard，1991.

[2]Information Technology-JPEG 2000 Image Coding System-Part 1： Core Coding System ISO/IEC 15444-1， 2000.

[3]D. L. Donoho， "Compressed sensing，" IEEE Trans. Inform.Theory， vol. 52， pp. 1289-1306， July 2006.

[4]L. Gan， "Block compressed sensing of natural images，" in Proceedings of the International Conference on Digital Signal Processing， Cardiff， UK， July 2007， pp. 403-406.

[5]D. L. Donoho， "De-noising by soft-thresholding，" IEEE Transactions on Information Theory， vol. 41， no. 3， pp. 613-627， May 1995.