陀螺轉子偏轉角的測量模型

徐明坤+丁斯昊+尚孟瑤

摘 要：針對陀螺轉子偏轉角的測量，采用降維分析的方法，建立了靜態模型與動態模型。首先根據空間幾何關系和坐標變換原理得出陀螺轉子相關參數間的關系式，基于此推導出具有垂直關系的兩個低維度偏轉角測量公式，合成偏轉角在三維空間中關于占空比的二元關系式；并對線性關系的條件進行了仿真分析，發現方位角在±30°內一元線性關系良好。此種測量方法便捷、精確度較高，具有一定的應用價值。

關鍵詞：降維分析；靜（動）態模型；線性度；MATLAB仿真；占空比

1 概述

從力學角度分析，陀螺轉子可近似為繞一定支點的做三自由度運動的剛體，即繞其對稱軸高速旋轉的飛輪轉子。陀螺轉子通常采用同步電機、磁滯電機等拖動方法來使其繞自轉軸高速旋轉，且轉速近似為常值。

當陀螺轉子以一定的角速度繞其自轉軸旋轉時，其自轉軸在三維空間內相對于原自轉軸位置所偏轉的角度為偏轉角（工程上稱為方位角），廣泛應用于導彈的離軸發射和制導、雷達搜索及隨動、飛機船舶的航向陀螺儀等。因此其測量精度具有至關重要的意義。

典型的陀螺轉子成球臺結構，在其表面涂覆有黑、白相間的條紋圖案，一個黑色條紋和與其相鄰的白色條紋為一組條紋，如圖1所示。工程上常采用光電傳感器測量陀螺轉子的方位角，光電傳感器可以接收到黑、白條紋所反射的光，由于黑白條紋對信號光的反射率差異，可以定義光電傳感器接收到白條紋反射光的時間與接收到該組黑白條紋反射光的時間之比為占空比k。若陀螺轉子的自轉速度恒定，則占空比可以轉換為光電傳感器所在的平面與陀螺轉子表面相交的交線在白條紋部分的弧長與在該組黑白條紋部分的弧長之比。

2 位標器的分布及基本模型的搭建

2.1 位標器分布模型

考慮到陀螺轉子做三自由度的運動，其自轉軸在三維空間的偏轉角Φ可降成兩個維度的分量，那么用一個位標器測量的占空比k必然不能反映偏轉角Φ真實值作用，因此在每個獨立的維度上放置位標器。為了防止位標器分布造成的微小誤差，每個維度上兩個方向各放置一個位標器，位于與陀螺轉子轉軸垂直的同心圓上，如圖1所示。

2.2 模型準備

以陀螺轉子的球心為坐標原點，自轉軸為X軸，建立右手坐標系。

假設在轉子表面涂覆的黑、白條紋的數目均為n，則赤道圓上每個黑條紋或白條紋所對應的角度α=π/n；陀螺轉子上下表面對應的球心角為Φm，如圖2所示（以紅色標識白條紋）。弧DBI所在大圓可以看作是過B點的經線圓（即弧ABC所在的大圓）以OB為軸（即Y軸）逆時針旋轉β角而得到的，弧DEF所在的大圓可以看作是過B點的經線圓繞X軸順時針旋轉α角而得到的。

當轉子以一定的角速度繞其自轉軸旋轉時，自轉軸會隨著外界環境以球心為定點發生偏轉。若陀螺轉子沒有發生偏轉，四個光電傳感器所測得的占空比是相同的；若自轉軸發生偏轉，則四個傳感器所測得的占空比也會發生變化，根據光電傳感器測得的占空比即可計算出陀螺轉子的偏轉角度。

3 陀螺轉子參數α、Φm和β之間的關系

模型準備里已提到，弧DBI所在的大圓（設為圓O1）可以看作是過B點的經線圓以OB為軸逆時針旋轉β角而得到的，弧DEF所在的大圓可以看作是過B點的經線圓繞X軸順時針旋轉α角而得到的。兩圓交點為D，由幾何關系：

設過D點的緯度圓為圓O2，在OXYZ坐標系內 ，圓O2的方程為：

圓O1的坐標在OXYZ坐標系內不易直接求出，可以通過坐標變換的方法求出，設OXYZ坐標系以同樣的方式旋轉β角后得到的新坐標系為OX1Y1Z1，則在新坐標系內，圓O1可以表示為：

根據坐標變換原理，從坐標OXYZ到OX1Y1Z1的坐標變換矩陣可以表示為：

從而：

將式（3）代入式（2）得圓O1在OXYZ坐標系內的公式為：

聯立式（4）與式（1），求得D點坐標為：

則有：

4 陀螺轉子偏轉角測量模型

4.1 靜態模型與動態模型的建立

轉子偏轉角為Φ，但自轉軸偏轉的方向不定。將偏轉角的運動分解為一個自轉軸在XOY平面的偏轉角為Φ1的運動與一個自轉軸在XOZ平面的偏轉角為Φ2的運動，Φ1與Φ2所對應的k值由對應的兩個相鄰的傳感器測得。

利用幾何關系得Φ、Φ1與Φ2關系為：

Φ1與Φ2的求法相同，下面以求Φ1與占空比k1的關系為例，通過建立靜態坐標系與動態坐標系求解。

設轉子的自轉軸為X'軸，建立右手坐標系O'X'Y'Z'該坐標系不隨轉子的運動而變，稱為靜態坐標系。然后z軸不動，以z軸為軸逆時針轉過一個角度Φ1，從而z軸與z′軸仍然重合，x軸與y軸相比于X'軸和Y'軸都偏轉Φ1角（∠XOX'=∠YOY'=Φ1），此時旋轉軸為X軸，坐標系OXYZ與轉子固連，稱其為動態坐標系。為圖示方便，把偏轉后的陀螺轉子擺正，如圖3所示。

陀螺轉子的自轉速度恒定，則占空比k1可以轉換為傳感器所在的平面（圓O3）與轉子表面相交的交線在白條紋部分（弧MP）的弧長與在該組黑白條紋部分（弧MN）的弧長之比，而弧MP與弧MN均在圓O3上，故弧長之比可等價為弧所對應的圓心角之比。設弧QP在圓O1上對應的圓心角為γ，則：

γ對應弧QP，由幾何關系得到，sin？酌=■，問題轉化為求出點P的縱坐標。P點坐標可以由弧EPC所對應的圓（設為圓O4）的方程與圓O3所對應的方程聯立求得（在同一坐標系下）。

在此過程中，陀螺轉子一直以x軸為自轉軸高速旋轉。聯立圓O3、圓O4在OXYZ坐標系內的方程解得交點P的坐標為：

則有：

聯立式（7），得：

同理可得Φ2的表達式，聯立（6）式，得出Φ與占空比k的解析關系式：

容易知道，偏轉角Φ在兩個維度的分量只需兩個傳感器測量即可，對于其余兩個傳感器，其測量結果是與其在一個條直線上的另一個傳感器的測量值之和是1，因為轉子關于赤道對稱，占空比是互補的，另外兩個傳感器是起檢測作用。

4.2 對Φ關于k是否達到線性關系的分析

將式（5）代入式（10），可得：

式中，φm和α為參數，k1、k2為自變量，Φ為因變量，所得圖形應為三維空間中的曲面。現論證是否可以改變參數φm和α使Φ關于k達到線性關系，即觀察對應不同的參數，該曲面是否能變成平面。

先從二維角度分析，即僅考慮Φ1與k1的情況，由式（9）（5）可得：

固定α=■，得出Φ1關于k1的曲線，如圖4所示。多條曲線中Φ∈[-30°，30°]的部分線性較好，Φm∈（0，30°]時均有良好的線性。測量角φm顯然越大越有利于傳感器的測量，因此盡可能取更大的值30°。固定φm=30°得出Φ關于k的曲線，可以看出當α≤π/16時曲線基本重合，即此時α的大小對線性基本無影響。但考慮實際情況，n的數目應該適當，且保證傳感器對稱性，取n=16，即α=π/16。

綜上所述，φm=30°，α=π/16可以使Φ關于k達到線性關系。可見，只有在一個維度的測量時，且Φm∈（0，30°]，偏轉角分量與該維度的占空比具有良好的線性關系。

5 結束語

本文基于光電傳感器的分布測量，采用降維分析的思想，建立了陀螺轉子高速旋轉下的靜態模型與動態模型，給出了陀螺轉子相關參數之間明確的關系表達式及偏轉角的計算公式。并對偏轉角與兩個維度的占空比是否成線性關系及線性關系成立的條件進行了分析，得出當Φ∈[-30°，30°]時，線性關系良好。相比電磁線圈法，無論是測量范圍還是精度，該方法測量方位角具有較大的優勢，具有一定的應用價值。

參考文獻

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