在教學順序下求線性目標函數最值方法的嘗試

彭海梅

摘要：線性規劃是運籌學的一個重要分支，也是近幾年高考命題的熱點，它在實際生活中有廣泛的應用。但在實際教學中，受教材教學先后順序的限制，要求我們在教學過程中，必須有一些創新，在創新的過程中還不能丟失數學的思想。本人在教學中利用數形結合思想，借助數軸上數的大小特點，通過平移方法尋找可行域內最左（右）的點，從而得到線性目標函數的最值。

關鍵詞：線性規劃 最值 數形結合 平移

線性規劃是運籌學的一個重要分支，而簡單的線性規劃已編入高中新教材，作為一個新增知識點，它不僅只是對直線內容的深化，更多的是與其它知識的交匯，同時也是增加學生對數學在生活中應用的理解。它能解決一些線性約束條件下求線性約束條件的最值問題，其基本思想即在一定線性約束條件下，通過數形結合的思想求線性目標函數的最值，整個過程主要借助于平面圖形，運用這一思想能夠比較有效的解決線性規劃問題。近些年來線性規劃問題是解析幾何的重點，每年高考必有一道小題，分值在5分左右。

在實際的教學中，本校對數學教材的教學順序是：必修1—必修4—必修5—必修2—必修3。而我們要完成的教學任務《簡單線性規劃》在必修5第三章第3小節，在教學過程中會利用到必修3第三章《直線與方程》的相關概念（斜率、交點坐標、截距）。這又受教材教學先后順序的影響，要求我們在學習線性規劃問題時，必須要考慮回避直線與方程對教學和學生認知的影響。本人在實際教學中，對求線性目標函數最值的方法進行一些嘗試。

現舉例加以說明。

一、前期鋪墊，總結經驗

為了更好的回避必修2《直線與方程》相關知識對線性規劃的影響，在二元一次不等式（組）表示平面區域學習的時候進行升華與總結。

例1、畫出下列不等式表示的平面區域

指導學生自主完成：①建立直角坐標系；②畫出等式圖像；③確定區域。

解析如下：

總結方法：確定二元一次不等式表示平面區域方法是“線定界，點定域”，定邊界時需分清虛實，定區域時常選原點（C≠0）。

拋出問題：能否在畫出等式圖像時，快速確定不等式表示的區域呢？指導學生繼續觀察圖像。

從上面例子，我們知道一條直線就能瓜分平面了，而不等式組就是不斷確定你想要的那個平面，由此可以發現對于不等式 （A>0）表示直線 （A>0）的右上（下）方區域，越往右偏離直線的點坐標（x，y）代入式子

所得值越大；不等式 （A>0）表示直線

（A>0）的左下（上）方區域，越往左偏離直線的點坐標（x，y）代入 所得值越小。這對于解決線性規劃問題，做了很大的埋伏，為后續教學做了很好的鋪墊。

二、單點解析，檢驗成果

例2、（2012年山東高考）設變量x，y滿足約束條件

則目標函數 的取值范圍是（ ）

分析：求取值范圍，實質就是求 的最大值與最小值。

解：先畫出滿足不等式的可行域. 如圖陰影部分不妨令z=0，作參考直線 ： 。

通過平移，由圖可知，當直線 過點A時z取得最大值，當直線 過點B時z取得最小值。

由 得A（2，0），

因此zmax=6，

由 得 ，

因此 。故選A。

我們可以知道用圖解法解決線性規劃問題的一般步驟：

①畫出可行域；

②作參考直線 ；

③通過平移以及數形結合，確定目標函數最值位置 ；

④解二元一次方程組，求出點的坐標；

⑤計算線性目標函數的最值。

從上面的例子，我們知道，在線性約束條件下，求線性目標函數z=Ax+By（A>0）這種形式的最值問題，是高中線性規劃中常見的問題，這類問題的解決，關鍵在于能夠正確理解二元一次不等式組所表示的區域，利用參考直線，尋找可行域內最左（右）的點，即利用圖形及平移求最優解及線性目標函數的最值。

三、跨越障礙，思想升華

為了加深學生對數形結合思想及平移方法的理解，特舉更具有代表性的一類問題：已知目標函數的最值求參數的問題。

例3、若實數x，y滿足不等式組 目標函數 的最大值為2，則實數 的值是_____________。

分析：解答此類問題必須明確線性目標函數的最值一般在可行域的定點或邊界取得，運用數形結合的思想、平移方法求解，同時需要注意目標函數的幾何意義。

解：先畫出滿足不等式的可行域。 如圖陰影部分。

作參考直線 ： ，由圖可知，

當直線 過點A時，t取得最大值。

由 得 代入 中，解得 =2。

從上面例子可以看出今后我們在遇到此類問題時，首先想到用數形結合思想，以及平移方法去解決，因為它更直觀、形象。 在高考時，能夠讓學生做得更快、更準。

線性規劃思想不僅與函數或不等式有交匯，而且在實際生活中求最值問題時，也有交匯。如在教科書中利用線性規劃解決物資問題、產品安排問題與下料問題，引導學生應用數學知識解決實際問題，使學生體驗數學在解決實際問題中的作用，在整個的學習過程中，著重培養學生的數形結合思想。雖然解決此類問題的方法不是唯一的，但我們在教學中，需要考慮培養學生學會思考的習慣，以及數學思想的建立。

綜上所述，線性規劃是直線方程的繼續，是直線方程知識的應用，但受教材教學順序的影響，我們在教學過程中，必須要面對這樣的事實，這就要求我們在教學中必須有一些創新，在創新的過程中還不能丟失數學的思想。本人在教學中，從宏觀的角度來把握，先期借鑒數軸上數的大小特點，升華了二元一次不等式（組）表示的區域的意義，借助參考直線，學會尋找可行域內最左（右）的點，利用數形結合思想及平移的方法很容易在可行域內找到最值。通過課堂及課后的反饋來看，學生不僅解決了簡單線性規劃問題，還對數形結合思想有更進一步的思考。在教學中教師不為方法而講方法，而在此方法的啟發下，學生發現了新方法。因此，本人在教學中的嘗試，可以算是成功的，并且在解決交匯知識模塊時，思想也具有通用性。

利用線性規劃思想去理解高中一些求最值問題，實際上是對數形結合思想的提升。借助參考直線，通過平移的方法去求線性目標函數的最值，也是對教學方法的一種嘗試。 通過作圖解決最值問題，是從一個新的角度對求最值問題的理解，對于培養學生最優思想的形成是非常有益的。

（作者單位：貴州省天柱縣第二中學）