基于解決抗生素危機的數(shù)學模型

肖樂樂，游仁青，呂 通，趙巧佳，呂 波

1吉林大學；2齊魯師范學院；3重慶師范大學；4長安大學

基于解決抗生素危機的數(shù)學模型

肖樂樂1，游仁青2，呂 通3，趙巧佳2，呂 波4

1吉林大學；2齊魯師范學院；3重慶師范大學；4長安大學

從供需角度分析抗生素動態(tài)利益鏈，構建蛛網(wǎng)動態(tài)分析模型，采取二階差分，預測感染率并以此檢驗模型合理性。預測危機的發(fā)展趨勢，及其危機性的強弱。在大自然環(huán)境制約下，基于大腸埃希菌對抗生素數(shù)據(jù)構建Logistic回歸模型，并對模型進行了優(yōu)化，構建M althus模型，最大限度的擬合抗生素耐藥菌的增長狀況。設計一種使用抗生素的超級細菌可用的管理系統(tǒng)，進行OLS估計，得到OLS估計方程，同時依據(jù)激勵相容約束與參與約束基本理論，給出建議。

Logistic回歸模型；抗生素利益鏈；二階差分模型

1 有關抗生素問題分析

在抗生素利益鏈的基礎上建立一個“抗生素戰(zhàn)爭”模型。提供一個關于抗生素與敏感性利益鏈的量化模型，構建影響供需主因子CGE模型，抗生素效果可用耐藥菌數(shù)目反應，基于蛛網(wǎng)理論構建蛛網(wǎng)模型，并優(yōu)化模型，采取二階差分預測同一季度不同年份的感染率來檢驗模型的可靠性。在完全競爭市場中預測抗生素危機發(fā)展趨勢，通過耐藥菌數(shù)量與增長速度變化預測危機性強弱。基于大腸埃希菌對抗生素數(shù)據(jù)構建Logistic回歸模型。設計使用抗生素的超級細菌管理系統(tǒng)，進行OLS估計，得到OLS估計方程，同時依據(jù)激勵相容約束與參與約束基本理論，給出建議。

2 抗生素利益鏈的模型建立與求解

2.1 抗生素利益鏈

由于抗生素藥物是處方藥，國家對抗生素藥物使用具有一定的控制，但醫(yī)藥代表會根據(jù)藥店進貨量給予相應提成，藥企通過他們把抗生素流向藥店，至少藥店有30%的利潤回扣。

2.2 模型建立

在抗生素利益鏈中存在三個經(jīng)濟主體，即抗生素的生產(chǎn)者、消費者、政府，其中政府主要起到監(jiān)管作用，CGE模型以一般均衡理論為基礎，結合理性經(jīng)濟主體的行為假設來分析一般均衡條件，并在比較靜態(tài)框架下模擬政策干預和外生沖擊的影響。

（1）對消費者行為進行分析,效用函數(shù)采用柯布道格拉斯函數(shù)：

其中，ai是第i種抗生素在消費中所占的比例，α1+α2+…+αN=1；Ac是規(guī)模參數(shù)，ci是消費者對各種抗生素的消費量。

消費者在預算約束下最大化效用，其行為可描述如下：

其中，m是消費者的要素稟賦收入，vfj是廠商j對第f種要素的支出，h是易感人群數(shù)目。

解得消費者的各種抗生素需求為：

（2）廠商利潤受收益和成本的影響，建立利潤函數(shù)：

（3）對政府行為進行分析，政府主要通過經(jīng)濟稅收手段，政府行為可用如下公式描述：

T=τy（其中，T為政府對濫用抗生素的處罰。）

2.3 基于蛛網(wǎng)模型的動態(tài)分析

把長周期內量化的耐藥菌株數(shù)看做是時間的函數(shù)，抗生素產(chǎn)量也看做時間函數(shù)。

抗生素藥物產(chǎn)量視作經(jīng)濟單位產(chǎn)品，經(jīng)過易感人群產(chǎn)生的耐藥菌株數(shù)作為經(jīng)濟單位需求，細菌要取得耐抗生素付出的成本作為價格Pt。供給者根據(jù)上期的價格決定本期的產(chǎn)量，即本期的耐藥菌數(shù)受到上期抗生素的供給的影響，現(xiàn)實中只能按照本期的價格Pt出售由預期價格決定的產(chǎn)品。由此分析，當隨時間的推移易感人群對抗生素的依賴程度小于細菌的耐藥基因遺傳速度時，抗生素的影響逐漸趨于減弱，最終趨向于均衡水平點E，是模型均衡穩(wěn)定的條件，如圖1所示；同理，當隨時間的推移易感人群對抗生素的依賴程度大于細菌的耐藥基因遺傳速度時，抗生素的影響越來越強，最終遠離均衡點E形成發(fā)散，如圖2所示；當隨時間的推移易感人群對抗生素的依賴程度與細菌的耐藥基因遺傳速度一致時，其波動將最終始終與均衡點保持一定的距離，就構成了一個封閉型的蛛網(wǎng)，如圖3所示。

圖1

圖2

圖3

3 抗生素危機發(fā)展趨勢的預測.

3.1 Logistic回歸模型構建與預測

表示利益鏈使用抗生素狀況，優(yōu)先選擇DDDS,即抗生素年消耗量，而直接觀測DDDS顯然不切實際，因此用耐藥率表示耐藥菌種數(shù)目，λ表示總菌種數(shù)，即DDDS）定量變化表征感染強度，感染輕度恰恰是在理想市場下的首要風險。該模型得到量化，在環(huán)境制約下，耐藥率ψ基本近似人口阻滯增長模型，構建Logistic模型：

設x（t）為t日的初始菌種數(shù)，（rx）為x的線性函數(shù)，r(x)=r-sx.

再設自然資源與社會制約之下，耐藥菌最大增加限度為xm

即當x=xm時，增長率r(xm)=0，得到：

構建Logistic回歸模型：

聯(lián)立，解得：

3.2 模型求解

引入線性最小二乘估計法估算模型的參數(shù)r與xm，將Logistic方程轉化為：

向后差分，得到差分方程如下：

根據(jù)此方程，即可求解參數(shù)。

3.3 模型進一步推廣與修正

3.3.1 Malthus模型在分析耐藥菌菌種數(shù)變化中的應用基本假設：

（1）設x（t）表示t日的菌種數(shù)目，x（t）連續(xù)可微。

（2）假設耐藥菌平均增長，即r為常量。

其解為：

根據(jù)表格：

年份耐藥菌數(shù)目2011 89124 2015 18431 2012 97926 2013 12368 2014 17896

該模型確實有可取之處，短期內擬合的效果好，但長期來看，預測耐藥菌菌種數(shù)量的變化不準確，原因在于對增長率r因子估計過高，需要修正r因子。

3.3.2 修正r因子優(yōu)化模型

考慮到r因子是常數(shù)時，擬合不好，因此，將r修正為a-bx,即加入競爭項-bx2（規(guī)定b＞0）,建立方程如下：

4 便攜式管理抗生素的效用

為有效遏制過度使用抗生素藥物，衛(wèi)生部對抗生素藥物開展專項整治。

4.1 對抗生素使用量與耐藥菌株關系的討論

采用1996-2010年的數(shù)據(jù)對抗生素的使用量與耐藥菌株數(shù)進行OLS估計，得到OLS估計方程：

Y=-1690.29269633+0.421125021335*X

運用EVIEWS軟件可得DW統(tǒng)計量為0.562497，即抗生素的使用量與耐藥菌株數(shù)具有顯著的正相關性。

4.2 政策性建議

對企業(yè)來說，當它生產(chǎn)均衡產(chǎn)量q時獲得的利潤大于生產(chǎn)過多產(chǎn)量q’的利潤時，它才會選擇以q產(chǎn)量進行生產(chǎn)，否則它只會以q’產(chǎn)量生產(chǎn)；一般情況下，均衡產(chǎn)量獲得的利潤比較小，政府為了鼓勵廠商生產(chǎn)均衡就需要給予廠商一定的補貼t。

激勵相容約束：

參與約束：

由此可知，合理使用抗生素是解決耐藥問題的根本途徑。

[1]俞慎，王敏，洪有為.環(huán)境介質中的抗生素及其微生物生態(tài)效應[J].生態(tài)學報.2011.

[2]王冉，劉鐵錚，王恬.抗生素在環(huán)境中的轉歸及其生態(tài)毒性.生態(tài)學報，2006,26（1）：265-270.

[3]章明奎,王麗平,鄭順安.兩種外源抗生素在農(nóng)業(yè)土壤中的吸附與遷移特性.生態(tài)學報,2008,28（2）：761-766.

[4]鮑艷宇,周啟星，萬瑩,謝秀杰.土壤有機質對土霉素在土壤中吸附-解吸的影響.中國環(huán)境科學,2009,29（6）：651-655.