對含有“任意”與“存在”不等式問題的解題探析

內蒙古赤峰第四中學 張子慧

對含有“任意”與“存在”不等式問題的解題探析

內蒙古赤峰第四中學 張子慧

高考試題多數都是在知識的交匯點處命題，而不等式問題恰好是知識交匯點的最好載體之一。在解決不等式問題中，經常含有“任意”與“存在”等詞，因對這兩個詞理解不透，同學們往往用盡了洪荒之力，也不得其解。下面通過幾例及變式（即題組）對這兩個概念進行深入探析，希望起到拋磚引玉的作用，解除你的煩惱。

一、“任意”、“存在”僅含一個

解：已知m的范圍，可設關于m的一次函數或常數函數為：

點評：1.在例1與變式1中，都出現“任意”指的是對于給定的區間的每個值都能使不等式成立，“任意”等價于“所有”、“一切”、“都”、“每一個”等詞語。

2.對于例1與變式1，若不仔細看，還誤認為是一個題，其實它們區別很大，例1知道x的范圍，所以x是自變量，它就是關于x的二次不等式，求m的范圍，m就是參數。變式1知道m的范圍，所以m是自變量，它就是關于m的一次不等式，求x的范圍，x變為參數。

3.無論是相應的一次函數還是二次函數，恒大于零等價于在給定區間上其相應的函數圖象都在x軸的上方，否則相反。上面兩個題還可以用分離變量，然后設一個新函數，再求導，確定增減區間來求解。

點評：此處“存在”指在某區間內只要有一個值滿足不等式成立即可，因此直接求不易操作，但它是特稱命題，這個命題的否定形式就是全稱命題，這樣就容易解了，運用了“正難則反”方法，然后再求補集即可，給解題者帶來了耳目一新的感覺。

二、“任意”、“存在”含有兩個

以上對含有“任意”與“存在”不等式問題的解題探析可知，只有清楚“任意”與“存在”問題的內涵與外延以及它們的區別與聯系，才能正確解題。同時也知道含有“任意”與“存在”的不等式與對應的函數在定義域上的值域的最值有著密切關系。例題及例題的變式，從不同角度、不同側面研究了一串問題，通過類比、拓展，摒棄了題海戰術，變被動思維為主動自覺思維，形成“趣學”、“樂學”的氛圍，培養良好的求異思維，發散性思維，從而對分析問題和解決問題能力的培養大有裨益。由此可見，對含有“任意”與“存在”的不等式問題及變式的探析較好地體現了新課程的理念，具有鮮明的時代性。