一道高三檢測試題的命制、解法和教學建議

☉安徽省合肥市教育科學研究院 許曉天

☉安徽省合肥市第一中學吳建平

一道高三檢測試題的命制、解法和教學建議

☉安徽省合肥市教育科學研究院 許曉天

☉安徽省合肥市第一中學吳建平

合肥市2017年第二次高三教學質量檢測于3月25日至26日進行，理科數學第21題第（2）問引起了教師在各類教研群內廣泛討論.普遍認為此問題的題面與去年高考新課標I卷21題第（2）問相似，但按照高考題提供的解答方法，無法完成此檢測試題，這也是此次檢測合肥市沒有學生完整解答此題的重要原因.下面就此題的命制、解法以及對解題教學談談筆者的拙見.

一、試題命制

（一）考題研究

已知函數f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有兩個零點.

（1）求a的取值范圍；

（2）設x1，x2是f（x）的兩個零點，證明：x1+x2＜2.（2016年新課標I理科試題）

解：（1）（解答略）.

（2）不妨設x1＜x2，由（1）知，x1∈（-∞，1），x2∈（1， +∞），2-x2∈（-∞，1），（fx）在（-∞，1）上單調遞減.

所以x1+x2＜2等價于（fx1）＞（f2-x）2，即（f2-x2）＜0.

所以（f2-x2）=-x2e2-x2 -（x2-2）ex2

.

設g（x）=-xe2-x-（x-2）ex，則g（′x）=（x-1）（e2-x-e）x.

所以當x＞1時，g（′x）＜0，而g（1）=0，

故當x＞1時，g（x）＜0，

而g（x2）=（f2-x）2＜0，故x1+x2＜2.

研究結論：（1）試題的題目簡潔，函數零點、不等式和取值范圍都是學生熟知的概念和內容.（2）可以推廣為：若f（x1）=f（x2）（x1＜x2），證明：x1+x2＜2.證明：f（x1）＞f（2-x2），也即f（x2）＞f（2-x2），即（x2-2）ex2 +a（x2-1）2＞-x2e2-x2

+ a（1-x2）2，即-x2e2-x2 -（x2-2）ex2

＜0，以下證明相同.

（二）試題命制

命題要求：1.題面盡可能與高考題一樣簡潔，可以是指數或對數與多項式函數的線性組合；2.第（1）問有分類討論滲透其中；3.第（2）問命制與題干相關的問題，類似高考題中等函數值點或零點，但要求解法不可以直接仿照高考的方法，要用其他解法，旨在考查學生的創新思維；4.第（2）問不設難度系數，啟示教師在二輪復習后期注重學生解題思維和方法的引導，避免按照“題型+方法”的套路進行教學.幾易其稿后，最后呈現試題如下：

已知f（x）=ln（x+m）-mx.

（1）求f（x）的單調區間；

（2）設m＞1，x1，x2為函數f（x）的兩個零點，求證：x1+ x2＜0.（2017年合肥市高三第二次教學質量檢測試題）

二、問題解答

針對第（2）問，命題組提供了兩種解答，參考答案只給出了解法一：解法一：（1）（解答略）.

構造函數g（x）=emx-x，則g（x）=emx-x與y=m圖像有兩交點，交點橫坐標為x1，x2，g′（x）=memx-1.

即證明f（-x1）＜0，即ln（-x1+m）+mx1＜0.又f（x1）=ln（x1+m）-mx1=0，所以ln（-x1+m）+ln（x1+m）＜0，即ln（m2-x21＜1.1）＜0.所以0＜m2-x2

所以g（x）在（1，+∞）上單調遞增，故g（m）＞g（1）=0.

故x1+x2＜0成立.

三、教學建議

檢測考試結束后，合肥一中吳建平先生提供了第（2）問另外一種證明的方法.

不妨設x1＜x2，則

令m+x1=t1，m+x2=t2，則lnt1=m（t1-m），lnt2=m（t2-m）.

此時欲證明x1+x2＜0，只要證明t1+t2＜2m.

因為lnt1+lnt2=m（t1+t2-2m），且m＞1＞0，

所以只要證明ln（t1t2）＜0，即0＜t1t2＜1.

①若0＜t1＜t2＜1，則由g（t）在（0，1）上單調遞減知，（*）式成立，此時0＜t1t2＜1.

②若t2＞t1＞1，則由g（t）在（1，+∞）上單調遞增知，（*）式不成立.

故原命題成立.

其實，證明還有其他方法，這里不再贅述.那么為什么學生在考試的時候，思路就“堵塞”了呢？從學生試卷卷面上發現：許多學生套用去年高考題的做法，終因證得不等式，其不等號方向與欲證明的目標不等式x1+x2＜0的方向不一致而無功而返.這也是許多教師研討的重點：直接利用原函數證明不行，參考答案提供的是把對數型函數轉化為指數型函數，從而順利解決，為什么這樣就可以了呢？針對以上疑問，對今后的教學，特別是高三解題教學提出幾點建議：

1.注重內容的本質

由于教師在教學中過度使用“題型+方法”的解題教學方法，特別對高考試題中出現的問題，解題方法的歸納和訓練更是細致到位，乃至學生熟練到了“自動化”的程度.因而，考試的時候，學生拿到問題，沒有仔細分析，就按照套路做，導致中間過程出現了與套路不同的結果時，考生就無所適從，只好放棄.主要原因是教師教學中沒有抓住核心內容的本質，例如，解決此題的主要工具是導數，而導數的本質是判斷函數增減性和增減速率.此題抓住了后者——增減速率，此問題就容易解決.本題轉化為指數函數的目的：改變定義域上極值點左右的速率，使得極值點右邊增加速率大于左邊減少速率，從而使得不等號方向改變，達到與所求證不等式x1+x2＜0的方向一致，再證明極值點為負值即可.不僅解題教學需要抓住問題的本質，其他教學，如概念、法則、公式和原理等課型，也要抓住其最本質的要素，這樣才能夠事半功倍，顯著提高教學效率.

2.注重問題的多解

從此題的解答也可以看出，考生利用自己的“經驗”在解題，出現了困難時，考生沒有辦法“另辟蹊徑”.也就是說，教師在平時的解題教學中，一題多解做得不夠，特別是難度大的問題，一題一解講清楚就不錯了，甚至教師根據學生的實際情況和能力，放棄了難題的解決，這也許是考生在考試中難題丟分的重要原因之一.其實，一題多解不僅能夠培養學生能力，而且也是教師解題能力的重要體現.同時，難題的多解產生的思維及方法對容易題的遷移有著不可估量的作用.這就要求教師要歷練自己的解題能力，在高三后期的復習中，例如，全國課標卷I的第12、16、20和21題，至少給出兩種以上的解法，這樣就可以培養學生對問題進行全方位思考的習慣，學生便可以對問題生成多種思考的方式，在一種方法不能夠解決時，就立馬用另一種方法嘗試解決，而不至于出現一種方法受阻就束手無策的現象.

3.注重解題的路徑

所謂解題就是在條件和結論之間架起“橋梁”的過程，是由“因為”和“所以”連接起來的邏輯關系鏈，也就是解題的路徑.在教學中讓學生自己體悟解決問題的三種思考方式：較容易解決的問題由條件直接推導至結論的“直接法”、較難解決的問題由結論尋求結論成立充分性直至題目條件的“分析法”和由條件推到中間結論與尋求結論成立的中間結論的“兩頭湊”的方法.對難度較大的問題，大都利用“分析法”或“兩頭湊”的方法才可以解決.本文的解法二和解法三就是利用“分析法”和“兩頭湊”尋找解題路徑的典范.因此，在解決有一定難度的問題，讓學生利用三種思考問題的方式，以期尋找合理的解決路徑，直至完整解決問題.

以上是合肥市2017年高三第二次檢測理科數學試題21題的命制、特別是第（2）問解答和教學建議，旨讓教師在培養學生終生受益的“智力”上下工夫，而非“題型+方法”的機械訓練.