從變換中尋找二元最值問題的不變性

☉江蘇省蘇州市第四中學 校蔣艷

從變換中尋找二元最值問題的不變性

☉江蘇省蘇州市第四中學 校蔣艷

一、問題背景

二元最值是中學數學中的難點問題，其相比一元最值來說，因為變量的增加使得最值的求解難度大幅度上升.從教學經驗來看，學生對于單變量最值的求解能掌握基本方法，但是對于二元多變量問題的處理往往缺乏頭緒，無法辨別其入手的角度、方向.

從知識背景來說，對高中數學教材進行大量的研究與教學實踐發現，二元最值問題涉及的知識點廣，包括函數、向量、三角函數、線性規劃、立體幾何、解析幾何等等；在解決方法上，有代數式的變形變換、構造法、換元法等；就數學思想上，有分類討論、數形結合等基本數學思想.另一方面來說，二元最值問題正因為比較分散，也沒有完全可以套用的共性模型.這是本問題之所以成為難點的原因.

二、學習困惑

在教育改革不斷深化推進中，數學課程的編排難度遞進和知識結構呈現螺旋式上升的形式.但是二元最值問題依舊是學生感到困難與難以把握的內容，造成這種現象的原因有以下幾個方面：

1.缺乏統一的解題方法

學生最理想的學習過程是掌握一種方法解決一類問題，但是二元最值問題沒有“一招鮮”，根據實際問題派生出多種解法、多重視角、多維思考，復雜性強，要求學生考慮的方面比較多，思維量就比較大.如果某一個方面沒有考慮到的話，可能都造成錯誤的解法，或者考慮的方向不正確，也會造成錯誤.

2.問題涉及的知識面較廣

二元最值問題包括函數、向量、三角函數、線性規劃、立體幾何、解析幾何等等，尤其是需要對問題進行高技術含量的轉化與化歸，綜合性強，學生很難根據自己已有的經驗來解決此類問題.

3.數學思維能力要求較高

由于學生的思維發展水平不同，認知的結構和水平、理解能力、心理發展特點有明確的差異性特征，所以對最值問題學習對象的特點快速、全面、正確的把握，是能否解決好最值問題的一個必備條件.因此學生在處理二元最值問題的時候，自身的知識儲備：知識模塊之間橫向聯系，相關知識之間的縱向聯系，編織成一個知識網絡，對學生的思維能力與思維品質都提出了非常高的要求.

三、尋找不變性策略

二元最值問題是指含有多個變量的最大值、最小值或取值范圍的求解問題，此類問題涉及的知識廣、難度大、方法多、靈活多變、綜合性較強成為最值求解中的難點與熱點.其具體的解題策略受題設條件以及目標式的結構與形式影響最大.

二元最值問題是指含有多個變量的最值問題，數學表達式的結構會對學生形成一定的視覺沖擊.所以解題首先應該調整題設條件與目標式的結構，具體策略如下：

1.消元換元策略

數學是美的，數學是簡潔的.此類問題的解題的核心策略首先應當是減少未知量——消元.多元最值往往涉及兩元以上，通過題設的等式條件將多元降解為單元，從而形成能求解的模式.

問題1設x，y為實數，若4x2+y2+xy=1，則2x+y的最大值是_______.

分析1：題設條件是一個有關x，y的二元二次方程，目標式是有關x，y的一次式，因此可令2x+y=t，代入4x2+ y2+xy=1消元，得到t為參數，有關x的一元二次方程有解.

解法1：設2x+y=t，則y=t-2x代入4x2+y2+xy=1得到

6x2-3tx+t2-1=0.

分析2：因為2x+y是平面二維問題，兩個變量x，y之間應該存在一定的線性關系，所以我們在解決此類問題的時候可以先建立x，y線性關系，實現代入消元.

當且僅當k=2時，等號成立.

此法在多元最值問題解決中消元的效果很好，所以鼓勵學生要大膽去嘗試和運用.

2.幾何視角策略

中學數學中的兩元最值問題，往往有幾何視角.繼續觀察問題1，我們發現：4x2+y2+xy=1類似于標準的橢圓方程，因此可以猜測其是標準橢圓旋轉后的方程，而求2x+y的最大值從幾何視角解釋不正是直線截距的最大值嘛！因此可以從這樣的通性入手：

說明：消元換元是針對二元最值問題最基本的解決思路，盡管問題可能千變萬化，但是從問題解決中獲得的基本思路是不變的，消元正是將復雜問題簡單化的典型.另一方面，中學數學二元最值問題還有幾何的視角，這是教學必須滲透的，因為幾何視角往往降低了二元最值問題的代數難度，從而形成了較為簡單的解題思路.

問題2若實數x，y滿足x2+y2≤1，則F=|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值為__________.

圖1

解析：求解本題的難點是如何去掉絕對值符號，首先我們發現當x2+y2≤1時，6-x-3y≥0，所以|2x+y-2|+|6-x-3y|=|2x+y-2|+6-x-3y，為了求F的最小值，我們可以分為兩類：2x+y-2＞0與2x+ y-2≤0，把問題轉化為約束條件（x2+y2≤1及2x+y-2＞0或2x+y-2≤0）下，求F的最小值.

如圖1，直線l：2x+y-2=0將單位圓面x2+y2≤1分為兩部分：

（1）當2x+y-2＞0時，F=|2x+y-2|+|6-x-3y|=x-2y+4，即問題轉化為求目標函數z=x-2y+4在陰影區域及其邊界的最小值，由線性規劃知識可求得F＞3.

說明：這種解法的最初想法在于去掉絕對值，而這是碰到絕對值問題時最容易想到的一種思考方法，思路比較自然.本題二元最值問題轉換為幾何視角，是從條件x2+y2≤1入手思考，從而以基本的分類討論進行求解.

3.不等式視角策略

二元最值問題也可以從不等式視角切入，這是純粹代數的解決方式.從解決過程來看，能用不等式解決的問題往往來得比上述消元、幾何策略都更簡單，但思維含量比較高.但從大量的問題中，我們發現還是需要掌握下列重要的不等式結論：

結論1完全平方式a2+b2≥2ab，a2+b2≥-2ab（a，b∈R）.

結論3二維柯西不等式（x2+y2）（a2+b2）≥（ax+by）2，變量范圍：x，y，a，b∈R，等號成立的條件：bx-ay=0.

最值問題尤其是含絕對值的最值問題通常可以借助絕對值不等式、柯西不等式等重要不等式的性質進行求解.在求解時，要注意取到最值時的條件.對于任意實數a，b，|a|+|b|≥|a+b|，當且僅當ab≥0取等號；|a|+|b|≥|ab|，當且僅當ab≤0取等號.因此，繼續研究問題2我們有：

當x2+y2≤1時，易知6-x-3y＞0.由于x2+y2≤1，不妨令x=rcosθ，y=rsinθ，其中0≤r≤1，0≤θ≤2π.

（1）當2x+y-2＞0時，

F=|2x+y-2|+|6-x-3y|≥|（2x+y-2）+（6-x-3y）|=|x-2y+ 4|.①

（2）當2x+y-2≤0時，F=|2x+y-2|+|6-x-3y|≥|（2x+y-2）-（6-x-3y）|=|3x+4y-8|.②

說明：利用絕對值不等式減少絕對值個數也是解決此類問題時的一種常規方法，在選用|a|+|b|≥|a+b|還是需要分別討論，此外還要注意使用絕對值不等式時的取等號條件.在求解①與②的最小值時，由x2+y2≤1的條件進行三角代換，是非常自然的思路，但求解時易忽視對“2x+y-2＞0時”F＞3的證明.

總之，二元最值問題的解決往往涉及多個知識，因此沒有一成不變的初等方法.但是從上述列舉的典型案例中，我們不難發現其依舊有不變性可以總結——消元策略、幾何視角策略、不等式策略，相對而言這三種策略是解決二元最值最為常用的策略.教學中教師要多加以合理引導，讓學生通過嘗試獲得更為優秀的解題體驗，從而加強二元最值問題解決的信心，從高效的學習方法獲得問題解決的快樂.

1.葉燕.多元變量的最值探討［J］.中學數學（上），2013（11）.

2.石磊.例談多元最值問題的不等式解法［J］.數理化學習，2013（12）.

3.鄧城.一道多元變量最值問題的探討過程與反思［J］.福建中學數學，2011（11）.